Exercicis: Integració de racionals

En una investigació sobre la propagació d'una notícia a les xarxes socials, s'ha determinat que la velocitat de difusió segueix una funció racional. Calcula la primitiva de la funció següent, que representa aquesta velocitat, per trobar la funció d'impacte total:

Calcula la integral indefinida de la funció $f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}$. Pista: Observa si el numerador és la derivada del denominador.

Una empresa de components electrònics ha calculat que el cost marginal de produir un nou model d'auriculars sense fil ve donat per la funció $C'(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 10}$, on $x$ és el nombre d'unitats produïdes. Determina la funció de cost total $C(x)$, sabent que els costos fixos (quan $x=0$) són de 500 euros.

Per resoldre integrals racionals pel mètode de descomposició en fraccions simples, primer hem de descompondre el denominador. Calcula la integral següent sabent que el denominador ja està factoritzat:

Quan el grau del numerador és major o igual que el del denominador, hem de fer una divisió polinòmica prèvia. Fes la divisió i calcula la integral de la funció següent:

Troba la família de primitives de la funció racional $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$. Pista: Divideix cada terme del numerador pel denominador.

Calcula l'àrea del recinte ombrejat en la figura següent, que està delimitat per la funció $f(x) = \frac{1}{x}$, l'eix $OX$ i les rectes $x = 1$ i $x = e$.

Determina la integral indefinida de la funció racional següent ajustant les constants necessàries per obtenir un logaritme neperià:

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II, es demanava calcular la següent integral indefinida:

En Hugo va resoldre l'exercici escrivint de manera immediata:

justificant al seu full que «sempre que al denominador hi ha un polinomi, la integral és el seu logaritme neperià».

1. a) Explica detalladament quin és l'error conceptual d'en Hugo. Indica quina relació matemàtica exacta hi ha d'haver entre el numerador i el denominador perquè aparegui de manera directa un logaritme neperià, i què li falta al numerador d'aquesta integral per complir-ho.
2. b) Mostra com s'ha de resoldre correctament la integral descomponent la fracció en suma de fraccions simples amb arrels reals simples, determinant pas a pas els coeficients i calculant la primitiva final.

Es plantegen les dues integrals racionals següents:

Una comanyera afirma que, per resoldre qualsevol de les dues, és obligatori calcular les arrels del denominador ($x = 2$ i $x = 3$) i plantejar la descomposició en fraccions simples $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$.

1. a) Analitza l'estructura de tots dos integrands i raona per què la seva afirmació resulta innecessàriament llarga per a $I_1$. Quin mètode directe permet resoldre $I_1$ en un sol pas ajustant si calgués una constant?
2. b) Justifica per què per a $I_2$ sí que és imprescindible recórrer a la descomposició en fraccions simples.
3. c) Resol raonadament totes dues integrals aplicant en cadascuna el camí més eficient.

Calcula la integral indefinida de la funció racional següent descomponent-la prèviament en fraccions simples:

Per a resoldre'ho, identifica primer les arrels del denominador i descompon l'integrand en la forma $\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}$.

Troba la primitiva $F(x)$ de la funció $f(x) = \frac{x + 4}{x^2 + 4x}$ que compleix la condició de passar pel punt $(1, \ln(5))$.

Recorda que per determinar la constant d'integració $C$ has d'utilitzar el valor de la funció en el punt donat un cop feta la integració per descomposició.

En l'estudi d'una campanya de màrqueting digital, s'ha determinat que la velocitat de captació de nous usuaris segueix la funció $v(t) = \frac{t^2 + 2t + 3}{t + 1}$, on $t$ és el temps en dies.

Calcula la funció d'usuaris totals $U(t)$, sabent que en l'instant inicial ($t=0$) hi havia 100 usuaris.

Calcula el valor de la integral definida següent aplicant la Regla de Barrow:

Per a fer-ho, descompon la fracció en suma de fraccions simples i opera amb les propietats dels logaritmes per simplificar el resultat final.

Calcula l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9}$, l'eix d'abscisses $OX$ i les rectes verticals $x = 4$ i $x = 6$.

Nota que el denominador presenta una arrel real doble. Utilitza la descomposició adequada per a aquest cas.

El cost marginal de producció d'una empresa de components electrònics ve donat per la funció $C'(x) = \frac{400}{x + 50}$ (en euros per unitat), on $x$ representa el nombre d'unitats fabricades.

Determina l'increment total del cost si la producció augmenta de 150 a 250 unitats.

Determina els valors dels paràmetres reals $A$ i $B$ perquè es verifiqui la següent igualtat de descomposició en fraccions simples:

Un cop trobats, calcula la integral indefinida de la funció original.

Troba l'àrea de la regió del pla compresa entre la corba $y = \frac{x^2}{x-1}$ i la recta $y = \frac{1}{2}x + 3$.

Segueix aquests passos:

1. Troba els punts de tall entre la corba i la recta.

2. Planteja la integral definida de la diferència de les dues funcions entre aquests punts.

3. Resol la integral racional resultant (necessitaràs fer la divisió de polinomis).

Una consultora de comerç electrònic modelitza la taxa de conversió diària d'una campanya publicitària durant els seus primers tres dies mitjançant la funció racional $f(x) = \frac{x + 5}{x + 2}$, on $x \in [0, 3]$ representa el temps en dies. Es vol calcular la conversió acumulada donada per l'àrea sota la corba $\int_0^3 f(x)\,dx$.

1. a) Abans d'integrar, fes una estimació acotada del resultat: justifica raonadament si $f(x)$ és creixent o decreixent a $[0, 3]$, calcula els seus valors extrems $f(0)$ i $f(3)$, i utilitza aquests valors per obtenir una cota inferior i una cota superior del valor de la integral (aproximant l'àrea mitjançant rectangles inscrits i circumscrits).
2. b) Atès que $\text{grau}(P) \geq \text{grau}(Q)$, efectua la divisió de polinomis per expressar $\frac{x + 5}{x + 2}$ en la forma $C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.
3. c) Troba la funció primitiva $F(x)$ i calcula el valor exacte de la integral definida mitjançant la regla de Barrow. Comprova si el valor obtingut és coherent amb la teva estimació prèvia, sabent que $\ln(5/2) \approx 0,916$.

El Consorci Regional de Transports estudia el flux net d'entrada de passatgers a una estació intermodal durant l'hora punta matinal. La taxa neta d'afluència (en milers de viatgers per hora) ve donada per la funció:

on $t \in [0, 3]$ mesura el temps en hores transcorregudes des de les 06:30 del matí.

1. a) Identifica les arrels del denominador i descompon la taxa $f(t)$ en una suma de fraccions simples, raonant detalladament l'obtenció de les constants.
2. b) Determina la funció $N(t)$ que expressa el nombre acumulat de viatgers (en milers) que han entrat a l'estació després de $t$ hores, sabent que a les 06:30 ($t = 0$) el comptador acumulat parteix de zero, és a dir, $N(0) = 0$.
3. c) Calcula quants milers de viatgers hauran entrat en total a les 08:30 ($t = 2$), simplificant l'expressió resultant amb les propietats dels logaritmes i arrodonint a dues xifres decimals amb les dades $\ln 2 \approx 0,693$ i $\ln 3 \approx 1,099$.

Una empresa de missatgeria ha determinat que el cost marginal de processar $x$ milers de paquets diaris ve donat per la funció $C'(x) = \dfrac{x^3 + 2x^2 + 5}{x^2 + 2x}$ (en centenars d'euros). Sabent que el cost de processar 1000 paquets diaris ($x = 1$) és de 1200 euros, obtén la funció de cost total $C(x)$.

Calcula la integral indefinida de la funció $f(x) = \dfrac{2x^2 - 10x + 7}{(x-1)^2(x-3)}$. Tingues en compte que el denominador presenta una arrel real doble i una de simple, la qual cosa requereix una descomposició en tres fraccions simples.

S'estima que la taxa de variació de la població d'una ciutat, en relació amb el temps $t$ (en anys), segueix el model $P'(t) = \dfrac{4t^2}{t^2 - 5t + 6}$. Si l'any $t=4$ la població és de 50.000 habitants, calcula l'expressió de la funció de població $P(t)$ per a $t>3$ i determina el creixement total experimentat entre l'any $t=4$ i l'any $t=5$.

Troba una funció primitiva $F(x)$ de $f(x) = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 4}$ que compleixi la condició que la seva gràfica passi pel punt $(3, \ln 5)$. Pista: Fes primer la divisió polinòmica.

Calcula el valor de la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{e^{2x}}{e^x + 2} \, dx$ utilitzant el canvi de variable $e^x = t$. Un cop fet el canvi, resol la integral racional resultant.

Donada la funció $f(x) = \dfrac{1}{x^3 - x}$, determina l'àrea del recinte limitat per la corba, l'eix d'abscisses i les rectes verticals $x = 2$ i $x = 3$. Presenta el resultat final utilitzant un únic logaritme.

Determina els valors dels paràmetres $A$, $B$ i $C$ perquè la funció $F(x) = A \cdot \ln|x+1| + B \cdot \ln|x-2| + \dfrac{C}{x-2}$ sigui una primitiva de $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 1}{(x+1)(x-2)^2}$.

El ingrés marginal per la venda d'un nou model de telèfon intel·ligent (en centenars d'euros per unitat) ve donat per $I'(x) = \dfrac{200x + 400}{x^2 + 4x + 4}$. Si l'ingrés total per vendre 8 unitats és de 1500 euros, quin serà l'ingrés total si es venen 18 unitats? Nota: Observa si el denominador es pot simplificar o expressar com una potència d'un binomi.

S'investiga una funció racional de la forma $f(x) = \frac{a x^2 + b x + 5}{(x - 1)^2}$, definida per a tot $x \neq 1$, on $a$ i $b$ són coeficients reals. Se sap que una primitiva seva, $F(x)$, compleix simultàniament tres condicions:

1. El seu comportament asimptòtic a l'infinit satisfà $\lim_{x \to +\infty} [F(x) - (2x + 6)] = 0$.

2. La funció $f(x)$ admet una descomposició en fraccions simples de la forma $f(x) = a + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{(x - 1)^2}$.

3. La gràfica de $F(x)$ passa pel punt $(2, 7)$.

1. a) Dedueix de manera raonada el valor del coeficient $a$ i demostra que necessàriament $B = 0$ analitzant la forma general de la integral de $f(x)$ i el comportament asimptòtic dels termes logarítmics quan $x \to +\infty$.
2. b) A partir dels valors trobats, determina algebraicament els valors dels paràmetres $b$ i $C$ perquè la igualtat entre les expressions de $f(x)$ sigui vàlida per a tot $x \neq 1$.
3. c) Troba l'expressió analítica explícita de la primitiva $F(x)$ que satisfà totes les condicions donades.

Es considera la família d'integrals indefinides $I(k) = \int \frac{x + k}{x^2 - 4x + 4}\,dx$, per a l'interval $x > 2$, on $k$ és un paràmetre real constant.

1. a) Sense fer la descomposició completa en fraccions simples, raona per a quin valor numèric del paràmetre $k$ l'integrand es converteix en una funció de tipus purament logarítmic (és a dir, on el numerador és proporcional a la derivada del denominador) i no genera cap terme potencial després d'integrar. Calcula la primitiva per a aquest valor particular de $k$.
2. b) Per a qualsevol altre valor $k \neq -2$, compara raonadament dos mètodes algebraics possibles per resoldre la integral:

• Mètode A: Descomposició formal per coeficients indeterminats: $\frac{x+k}{(x-2)^2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^2}$.

• Mètode B: Reescriure el numerador com a $(x - 2) + (k + 2)$ i separar directament en dues fraccions.

Indica quin dels dos mètodes és més àgil i justifica per què tots dos condueixen exactament al mateix resultat.

1. c) Obtén la família general de primitives $F(x)$ en funció de $k$. Tot seguit, analitza raonadament quin signe pren el límit $\lim_{x \to 2^+} F(x)$ segons si $k > -2$, $k = -2$ o $k < -2$, justificant quin terme domina el comportament a l'asimptota vertical.