Exercicis: Propietats de les integrals

Un grup d'estudiants està dissenyant un logotip per a la seva graduació. La part superior del logotip segueix la corba d'una funció $f(x)$. Sabem que:

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{5}^{8} f(x) \, dx = 7$

Calcula, aplicant la propietat d'aditivitat de l'interval, el valor de la superfície total sota la corba des de $x=1$ fins a $x=8$.

Raona, sense necessitat de fer cap càlcul de primitives, per què el valor de la integral definida següent és exactament zero. Per a fer-ho, observa la simetria de la funció respecte de l'origen (funció senar) i els límits d'integració:

En l'estudi de l'impacte ambiental d'una fàbrica, s'ha obtingut una funció $f(x)$ que mesura l'emissió de gasos. Se sap que la integral definida en un interval coincideix amb l'àrea si la funció és positiva.

Suposa que $f(x)$ és contínua i no canvia de signe en l'interval $[2, 6]$. Si sabem que $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = -15$, què podem afirmar sobre la posició de la gràfica de la funció $f(x)$ respecte a l'eix $OX$ en aquest interval? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats del signe de la integral.

Sigui $f(x)$ una funció contínua que representa la velocitat d'un dron, en metres per segon, en funció del temps $x$, en segons. Aplicant les propietats de la integral definida, indica quin és el valor de:

Justifica la teva resposta esmentant la propietat corresponent als límits d'integració iguals.

Per estimar el benefici marginal acumulat d'una empresa de transports entre diverses seus, en Marcos necessita calcular el valor de $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$. Al registre de dades només disposa de dues integrals ja calculades de la funció contínua $f$: $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx = 5$ i $\int_{3}^{1} f(x)\,dx = 4$. En Marcos afirma al seu informe el següent: «Com que hi intervenen els valors $-2$, $1$ i $3$, n'hi ha prou amb sumar directament tots dos valors: $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx = 5 + 4 = 9$».

1. a) Localitza i explica amb precisió l'error conceptual que ha comès en Marcos en aplicar les propietats de la integral definida.
2. b) Enuncia la propietat d'inversió d'extrems (canvi de límits) i la d'additivitat respecte a l'interval d'integració que en Marcos hauria d'haver considerat.
3. c) Corregeix el raonament i calcula el valor veritable de $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$.

Es demana calcular el valor de la integral definida $I = \int_{-3}^{3} (8x^5 - 6x^3 + 5)\,dx$. Dos companys de classe proposen camins diferents:

• Mètode de l'Alba: Obtenir una primitiva $F(x) = \frac{4}{3}x^6 - \frac{3}{2}x^4 + 5x$, substituir els extrems $x = 3$ i $x = -3$, i calcular la diferència $F(3) - F(-3)$ mitjançant la regla de Barrow.

• Mètode d'en Bruno: Utilitzar la propietat de linealitat per descompondre la integral en sumands i aplicar les propietats de simetria de funcions parells i senars en intervals simètrics de la forma $[-a, a]$.

1. a) Desenvolupa el procediment que seguiria en Bruno, identificant quins sumands corresponen a funcions senars i quin és el resultat d'integrar-los a $[-3, 3]$ sense necessitat d'avaluar potències.
2. b) Compara la càrrega de càlcul i el risc de cometre errors aritmètics en ambdós mètodes. Quin és el valor final exacte de la integral $I$?

En el disseny d'un nou logotip per a una marca de roba "skate", s'utilitza una funció parell $f(x)$ per dibuixar la part superior d'una simetria. Es sap que l'àrea envoltada per aquesta funció i l'eix $OX$ entre el centre ($x=0$) i l'extrem dret ($x=4$) és de 12 unitats d'àrea.

Sabent que $f(x)$ és una funció parell ($f(x) = f(-x)$), calcula el valor de la integral definida següent recolzant-te en les seves propietats:

Nota: Recorda el comportament de les funcions senars en intervals simètrics.

El flux d'aigua en un dipòsit d'una granja ecològica varia al llarg del matí seguint una funció contínua $f(t)$. Els sensors de mesurament han registrat les següents dades de flux acumulat (en m³):

1. $\int_{2}^{8} f(t) dt = 24$

2. $\int_{5}^{8} f(t) dt = 9$

Calcula, utilitzant les propietats dels límits d'integració, el valor de:

Considera la funció $f(x)$ la gràfica de la qual és contínua en tot l'interval $[0, 10]$. Si sabem que el valor de la integral definida en tot l'interval és $\int_{0}^{10} f(x) dx = 25$, calcula el valor del paràmetre $k$ perquè es compleixi la següent igualtat basada en les propietats de linealitat:

Un estudi de mercat per a una nova aplicació mòbil estima que el ritme de benefici net mensual (en milers d'euros) ve donat per una funció contínua $B(t)$. Després d'analitzar les dades del primer any, s'observa que:

• El benefici acumulat del primer semestre és $\int_{0}^{6} B(t) dt = 40$.

• El benefici acumulat del segon semestre és $\int_{6}^{12} B(t) dt = 55$.

Si el CEO de l'empresa decideix aplicar un impost del 10% sobre el ritme de benefici (la qual cosa equival a multiplicar la funció per $0,9$) i a més hi ha uns costos de manteniment constants de $1$ mil euro al mes, planteja i calcula la integral que representa el benefici final real de l'empresa en acabar l'any:

En un estudi sobre el consum elèctric en una comarca agrícola durant una onada de calor, els tècnics de la distribuïdora modelitzen la demanda instantània suplementària mitjançant la funció contínua $f(x) = \frac{12}{x+3}$ (en megawatts, MW), on $x \in [0, 9]$ representa els dies transcorreguts des de l'inici de l'episodi.

1. a) Estima: Sense calcular primitives, justifica que la funció $f(x)$ és estrictament decreixent a l'interval $[0, 9]$, determina la seva cota inferior $m$ i la seva cota superior $M$, i aplica la propietat del valor acotat de les integrals definides ($m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a)$) per acotar entre dos valors numèrics el consum acumulat total $I = \int_{0}^{9} f(x)\,dx$.
2. b) Comprova: Obtén la primitiva de $f(x)$ i calcula el valor exacte d'$I$ aplicant la regla de Barrow (expressa el resultat en termes de $\ln(2)$, tenint en compte que $\ln(4) = 2\ln(2)$). Prenent l'aproximació $\ln(2) \approx 0,693$, troba el consum aproximat amb dos decimals i comprova si el resultat és coherent amb l'interval estimat a l'apartat anterior.

Una planta fotovoltaica amb emmagatzematge en bateries d'Extremadura aboca o absorbeix potència de la xarxa elèctrica segons l'hora del dia. La potència neta intercanviada al llarg d'un període de 8 hores es modelitza mitjançant la funció contínua $p(t) = 6 - 1,5t$ (en MW), on $t \in [0, 8]$ mesura les hores transcorregudes des de les 10:00 ($t=0$). Quan $p(t) > 0$, la planta injecta energia a la xarxa; quan $p(t) < 0$, absorbeix energia de la xarxa. L'energia neta total acumulada transferida des de l'instant inicial es defineix com a $E(x) = \int_{0}^{x} p(t)\,dt$ (en MWh).

1. a) Aplica el teorema fonamental del càlcul per trobar la derivada $E'(x)$. Sense calcular prèviament la integral, determina a quina hora exacta ($x$) s'assoleix la màxima energia neta abocada a la xarxa, justificant la teva resposta mitjançant el signe de $p(t)$.
2. b) Descompon la integral total $\int_{0}^{8} p(t)\,dt$ en dos intervals contigus segons el signe de $p(t)$ i calcula el valor de cadascuna de les dues integrals parcials. Interpreta per què el resultat global a $[0, 8]$ no representa l'energia total bruta mobilitzada, sinó un balanç net, recorrent al concepte de la integral com a «àrea amb signe».

Sigui la funció $F(x)$ definida mitjançant una integral de la forma següent:

Sense necessitat de calcular la integral, utilitza el Teorema Fonamental del Càlcul i la regla de la cadena per determinar:

1. a) L'expressió de la derivada $F'(x)$.
2. b) El valor de $F'(1)$ i explica el seu significat físic si $F(x)$ representés el benefici acumulat d'una inversió després de $x$ anys.

Calcula el valor de la integral definida en l'interval $[-2, 2]$ de la funció $f(x) = |x^2 - 1| + x \cdot e^{x^2}$. Per a fer-ho, utilitza la propietat de l'aditivitat de l'interval per gestionar el valor absolut i la propietat de les funcions senars per simplificar el càlcul de la segona part del sumand. Justifica detalladament cada pas basat en les propietats de la integral.

Donada la gràfica de la funció contínua $f(x)$ que es mostra a continuació, defineix la funció integral $G(x) = \int_{-2}^{x} f(t) \, dt$ en l'interval $[-2, 4]$.

Basant-te en les propietats de la funció integral i l'observació de la gràfica:

1. a) Indica els intervals on $G(x)$ és creixent i decreixent.
2. b) Determina en quin valor de $x$ assoleix $G(x)$ el seu màxim absolut en l'interval $[-2, 4]$.
3. c) Quin és el valor de la derivada $G'(0)$?

Demostra, utilitzant les propietats de comparació i monotonia de la integral definida, que el valor de la integral $I = \int_0^1 e^{x^2} \, dx$ es troba acotat entre els valors $1$ i $e$.

És a dir, justifica sense calcular la primitiva (que no és elemental) per què es compleix que:

Com canviarien aquestes fites si l'interval d'integració fos $[0, 0,5]$? Justifica la teva resposta.

Una empresa de paqueteria urgent analitza la desviació dels seus costos operatius per repartiment respecte a l'horari òptim del migdia mitjançant una funció de cost marginal $f(x) = a x^2 + b x + c$, on $x \in [-2, 2]$ representa les hores d'avançament o retard respecte a les 14:00 ($x=0$). A partir dels registres comptables es coneixen tres dades:

1. La funció presenta simetria parell a l'interval $[-2, 2]$, és a dir, el cost per desviament horari depèn únicament de la magnitud de la desviació temporal, no del seu signe ($f(-x) = f(x)$).

2. En el moment òptim ($x=0$), el cost marginal és de $2$ euros/hora ($f(0) = 2$).

3. El cost total acumulat en les 4 hores de la franja, calculat com a $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$, és exactament de $24$ euros.

1. a) Dedueix raonadament el valor del coeficient $b$ a partir de la condició de paritat i expressa $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$ com a múltiple de la integral en el semieix positiu $[0, 2]$.
2. b) Determina els valors dels paràmetres $a$ i $c$, i escriu l'expressió definitiva de la funció $f(x)$.
3. c) Es defineix la funció d'acumulació de costos $G(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt$ per a $x \in [-2, 2]$. Sense necessitat de calcular la fórmula explícita de $G(x)$, aplica el teorema fonamental del càlcul per justificar si $G(x)$ és creixent o decreixent en tot l'interval i analitza si la seva gràfica presenta algun punt d'inflexió.