Propiedades de las integrales

En el estudio del impacto ambiental de una fábrica, se ha obtenido una función $f(x)$ que mide la emisión de gases. Se sabe que la integral definida en un intervalo coincide con el área si la función es positiva.

Si sabemos que $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = -15$, ¿qué podemos afirmar sobre la posición de la gráfica de la función $f(x)$ respecto al eje $OX$ en ese intervalo? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades del signo de la integral.

Un grupo de estudiantes está diseñando un logotipo para su graduación. La parte superior del logo sigue la curva de una función $f(x)$. Sabemos que:

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{5}^{8} f(x) \, dx = 7$

Calcula, aplicando la propiedad de aditividad del intervalo, el valor de la superficie total bajo la curva desde $x=1$ hasta $x=8$.

El flujo de agua en un depósito de una granja ecológica varía a lo largo de la mañana siguiendo una función continua $f(t)$. Los sensores de medición han registrado los siguientes datos de flujo acumulado (en m³):

1. $\int_{2}^{8} f(t) dt = 24$

2. $\int_{5}^{8} f(t) dt = 9$

Calcula, utilizando las propiedades de los límites de integración, el valor de:

Un estudio de mercado para una nueva aplicación móvil estima que el ritmo de beneficio neto mensual (en miles de euros) viene dado por una función continua $B(t)$. Tras analizar los datos del primer año, se observa que:

• El beneficio acumulado del primer semestre es $\int_{0}^{6} B(t) dt = 40$.

• El beneficio acumulado del segundo semestre es $\int_{6}^{12} B(t) dt = 55$.

Si el CEO de la empresa decide aplicar un impuesto del 10% sobre el ritmo de beneficio (lo que equivale a multiplicar la función por $0,9$) y además hay unos costes de mantenimiento constantes de $1$ mil euro al mes, plantea y calcula la integral que representa el beneficio final real de la empresa al terminar el año:

Razona, sin necesidad de realizar ningún cálculo de primitivas, por qué el valor de la siguiente integral definida es exactamente cero. Para ello, observa la simetría de la función respecto al origen (función impar) y los límites de integración:

En el diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa "skate", se utiliza una función par $f(x)$ para dibujar la parte superior de una simetría. Se sabe que el área encerrada por esta función y el eje $OX$ entre el centro ($x=0$) y el extremo derecho ($x=4$) es de 12 unidades de área.

Sabiendo que $f(x)$ es una función par ($f(x) = f(-x)$), calcula el valor de la siguiente integral definida apoyándote en sus propiedades:

Nota: Recuerda el comportamiento de las funciones impares en intervalos simétricos.

Demuestra, utilizando las propiedades de comparación y monotonía de la integral definida, que el valor de la integral $I = \int_0^1 e^{x^2} \, dx$ se encuentra acotado entre los valores $1$ y $e$.

Es decir, justifica sin calcular la primitiva (que no es elemental) por qué se cumple que:

¿Cómo cambiarían estas cotas si el intervalo de integración fuera $[0, 0,5]$? Justifica tu respuesta.

Sea la función $F(x)$ definida mediante una integral de la siguiente forma:

Sin necesidad de calcular la integral, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena para determinar:

1. a) La expresión de la derivada $F'(x)$.
2. b) El valor de $F'(1)$ y explica su significado físico si $F(x)$ representara el beneficio acumulado de una inversión tras $x$ años.

Dada la gráfica de la función continua $f(x)$ que se muestra a continuación, define la función integral $G(x) = \int_{-2}^{x} f(t) \, dt$ en el intervalo $[-2, 4]$.

Basándote en las propiedades de la función integral y la observación de la gráfica:

1. a) Indica los intervalos donde $G(x)$ es creciente y decreciente.
2. b) Determina en qué valor de $x$ alcanza $G(x)$ su máximo absoluto en el intervalo $[-2, 4]$.
3. c) ¿Cuál es el valor de la derivada $G'(0)$?