Exercicis: Primitiva d'una funció

Donada la funció $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$, comprova raonadament si la funció $F(x) = x^4 - 3x^2 + x + 5$ és una de les seves primitives. Per fer-ho, utilitza la definició de primitiva basada en la derivació.

Troba el conjunt de totes les primitives de la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Recorda incloure la constant d'integració $C$ i explicar què representa geomètricament aquest valor en el gràfic de les funcions resultants.

Calcula la primitiva de la funció $f(x) = e^x + \cos(x)$ que passa per l'origen de coordenades, és a dir, pel punt $(0, 0)$.

Al departament de màrqueting d'una coneguda marca de sabatilles, han determinat que l'ingrés marginal (la derivada de l'ingrés total) ve donat per la funció $I'(x) = 100 - 4x$, on $x$ representa el nombre d'unitats venudes. Calcula la funció d'ingrés total $I(x)$ sabent que si no es ven cap unitat, l'ingrés és zero ($I(0) = 0$).

Troba la integral indefinida de la funció racional $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}$ per a valors de $x > 0$. Utilitza les propietats de linealitat de la integral per resoldre cada sumand per separat.

Determina la funció $F(x)$ la derivada de la qual és $f(x) = \sqrt{x}$ i que compleix la condició que $F(1) = 2$. Expressa el resultat final amb l'exponent en forma de fracció.

Un dron es desplaça de manera que la seva velocitat en metres per segon segueix la funció $v(t) = 2t + 3$. Si en l'instant inicial ($t = 0$) el dron es troba en la posició $s = 10$ metres, obtén la funció de posició $s(t)$ integrant la funció de velocitat.

Calcula una funció $G(x)$ tal que $G'(x) = 5 \cdot e^x - 2x$ i que passi pel punt $(0, 7)$. Un cop trobada, verifica el teu resultat derivant la funció obtinguda.

En Carlos afirma que les funcions $F(x) = \ln(x^2+1)$ i $G(x) = \ln(3x^2+3)$ no poden ser primitives d'una mateixa funció perquè entre les seves expressions algebraiques no figura cap constant numèrica sumant de manera explícita, és a dir, no observa la forma $G(x) = F(x) + C$.

1. a) Deriva totes dues funcions i comprova si en Carlos té raó o si, per contra, totes dues deriven en la mateixa funció $f(x)$.
2. b) Identifica l'error conceptual d'en Carlos aplicant les propietats dels logaritmes sobre $G(x)$ i determina quin és el valor exacte de la constant real $C$ que compleix $G(x) = F(x) + C$.

Es vol comprovar si la funció $F(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}$ és una primitiva de $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2}$. Per resoldre-ho, dos companys de classe debaten quina estratègia seguir:

• En Mateo proposa calcular directament la integral indefinida $\int \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2} \, dx$ mitjançant mètodes d'integració de funcions racionals.

• La Sara proposa derivar la funció $F(x)$ aplicant la regla del quocient i contrastar el resultat obtingut amb l'expressió de $f(x)$.

1. a) Raona quin dels dos mètodes és més directe i convenient d'acord amb la definició matemàtica de primitiva.
2. b) Aplica el mètode més adequat per dictaminar de manera justificada si $F(x)$ és o no una primitiva de $f(x)$.

Donada la funció $f(x) = \dfrac{6x}{x^2+3} + 4e^{2x}$, comprova si la funció $F(x) = 3 \ln(x^2+3) + 2e^{2x} + \pi$ és una de les seves primitives. Justifica la teva resposta utilitzant la definició de primitiva i explica quin paper juga la constant $\pi$ en aquest context.

Un dron de vigilància es desplaça de forma lineal i la seva velocitat en metres per segon, transcorreguts $t$ segons, ve donada per la funció $v(t) = 3t^2 - 6t + 10$. Sabent que en l'instant inicial ($t=0$) el dron es troba a una distància de 15 metres del punt de control, troba l'expressió de la funció de posició $s(t)$.

Una empresa emergent de desenvolupament d'aplicacions mòbils estima que l'ingrés marginal (en milers d'euros) per cada mil descàrregues addicionals de la seva nova App ve donat per la funció:

$I'(x) = \dfrac{1}{x+1} + 2x$

on $x$ representa el nombre de milers de descàrregues ($x > 0$).

Calcula la funció d'ingressos totals $I(x)$, sabent que si no hi ha descàrregues ($x=0$), l'ingrés és nul.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $F(x) = a \cdot e^{x^2} + b \cdot \ln(x)$ sigui una primitiva de la funció $f(x) = 4x \cdot e^{x^2} + \dfrac{5}{x}$. Un cop trobats, escriu l'expressió de totes les possibles primitives de $f(x)$.

La derivada d'una funció $f(x)$ és $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$. Troba l'expressió de $f(x)$ sabent que la seva gràfica talla l'eix d'ordenades (eix $Y$) en el punt $y = 7$.

Determina la funció $f(x)$ de la qual es coneix que la seva segona derivada és $f''(x) = 12x - 4$. A més, es sap que la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 1$ és horitzontal, i que la funció passa pel punt $(0, 5)$.

El cost marginal de fabricació d'un nou model d'auriculars sense fil es defineix per la funció $C'(q) = \sqrt{q+4}$, on $q$ és el nombre d'unitats produïdes. Si els costos fixos de la fàbrica (costos quan la producció és zero) ascendeixen a $5000$ euros, troba la funció de cost total $C(q)$.

De totes les primitives de la funció $f(x) = \dfrac{2}{x-2} + 3x^2$, troba aquella la gràfica de la qual passa pel punt $(3, 10)$. Expressa el resultat de forma simplificada utilitzant logaritmes neperians.

Una cooperativa de repartiment d'última milla en una ciutat espanyola renova la seva flota adquirint furgonetes elèctriques. L'equip econòmic estima que el ritme de variació del cost total setmanal ve modelitzat per la funció de cost marginal $C'(x) = 12x + 50$ (en euros per setmana i vehicle addicional), on $x \geq 0$ és el nombre de vehicles en actiu. Se sap que els costos fixos setmanals (costos estructurals quan no hi ha cap vehicle en repartiment, $x = 0$) són de $1\,800$ euros.

1. a) Modelitza la funció de cost total setmanal $C(x)$ calculant la seva primitiva corresponent i justificant com es determina el valor de la constant d'integració.
2. b) La funció de cost mitjà per vehicle es defineix com a $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. Calcula el cost mitjà si la cooperativa opera amb una flota de $10$ furgonetes i explica raonadament per què el sumand del cost mitjà degut a la constant d'integració (cost fix mitjà) disminueix a mesura que augmenta la mida de la flota.

Troba una funció afí $f(x) = ax + b$ sabent que una de les seves infinites primitives, a la qual anomenarem $F_1(x)$, satisfà simultàniament les tres condicions següents:

1. Presenta un extrem relatiu en el punt d'abscissa $x = 2$.

2. La seva gràfica talla l'eix vertical d'ordenades en el punt $(0, -5)$.

3. El seu valor en l'extrem relatiu esmentat és exactament $3$, és a dir, $F_1(2) = 3$.

1. a) Dedueix l'expressió analítica de $f(x)$ i la fórmula de la primitiva $F_1(x)$, explicant amb claredat quina informació aporta l'existència d'un extrem relatiu de $F_1$ sobre el valor de $f(2)$.
2. b) Determina si l'extrem relatiu en $x = 2$ és un màxim o un mínim local argumentant a partir del signe de la funció $f(x)$ a banda i banda d'aquest punt.

Es considera la funció marginal dels beneficis d'una empresa emergent de desenvolupament de programari, definida per la funció a trossos següent:

On $x$ representa el nombre d'anys des de la creació de l'empresa i $f(x)$ el ritme de creixement dels beneficis en milers d'euros per any.

Troba la funció de beneficis acumulats $F(x)$ sabent que és una funció contínua en tot el seu domini i que en el moment del seu llançament ($x=0$) l'empresa comptava amb uns fons inicials de $10$ mil euros.

Una coneguda plataforma de streaming ha analitzat que la velocitat de captació de nous subscriptors a Espanya segueix la funció $v(t) = \frac{\ln(t+1)}{(t+1)^2}$, on $t$ és el temps en mesos des d'una campanya de màrqueting viral.

Es demana calcular la funció que determina el nombre total de subscriptors addicionals $S(t)$ generats per la campanya, sabent que en l'instant inicial ($t=0$) no hi havia cap subscriptor atribuïble a aquesta campanya. Expressa el resultat de forma simplificada utilitzant la tècnica d'integració per parts.

Donada la funció $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x^2}$, determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que una de les seves funcions primitives, $F(x)$, compleix simultàniament les tres condicions següents:

1. Passa pel punt $P(1, 4)$.

2. Té un extrem relatiu en el punt d'abscissa $x = 2$.

3. La recta tangent a la gràfica de $F(x)$ a $x = -1$ té un pendent igual a $3$.

Un equip de sociòlegs estudia la velocitat de propagació d'una notícia falsa en una xarxa social. Determinen que el ritme de compartits per hora ve donat per la funció:

Troba l'expressió de la funció $C(t)$ que representa el nombre total de compartits acumulats, sabent que a l'hora de començar l'estudi ($t=0$) ja s'havien realitzat $100$ compartits. Utilitza la descomposició en fraccions simples per resoldre la integral i deixa el resultat en funció d'un únic logaritme.

La gràfica adjunta és una paràbola que representa la funció derivada $f'(x)$ d'una funció $f(x)$ que és contínua en tot l'interval $[-2, 2]$.

Sabent que $k = 4$ i que la funció original $f(x)$ passa pel punt $(0, 1)$, obtén l'expressió analítica de $f(x)$ i raona, a partir de la geometria de la derivada, quants punts d'inflexió tindrà la primitiva en aquest interval.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Troba la funció primitiva $F(x)$ de la funció $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}$ que compleixi la condició $F(1) = 2 \cdot \ln(2)$.

Suggeriment: Utilitza el canvi de variable $t = \sqrt{x}$.

Se sap que el pendent de la recta tangent a la gràfica d'una funció $f(x)$ en qualsevol punt $(x, f(x))$ ve donat per l'expressió $m(x) = (x^2 - 1) \cdot \ln(x)$ per a $x > 0$.

Determina l'expressió de la funció $f(x)$ sabent que la seva gràfica talla l'eix d'abscisses en el punt $x = 1$. Hauràs d'aplicar el mètode d'integració per parts i simplificar el polinomi resultant.

Una empresa de logística ha calculat que el cost marginal de mantenir un paquet al seu magatzem central (en euros per dia) depèn del temps $t$ (en dies) segons la funció:

Calcula la funció de cost total $C(t)$ si es sap que els costos fixos d'entrada al magatzem (cost en $t=0$) ascendeixen a $50$ euros.

Nota: Fes la divisió polinòmica prèvia per obtenir una integral immediata o gairebé immediata.

En un informe sobre la creació d'ocupació neta mensual en un sector tecnològic durant el primer semestre de l'any ($0 \leq t \leq 6$, mesurat en mesos), el ritme de variació es modelitza mitjançant la funció contínua $f(t) = 3t^2 - 12t + 9$ (en centenars de llocs de treball per mes). La funció $E(t)$ representa l'ocupació neta acumulada des de l'inici del semestre, i es compleix $E(0) = 0$.

1. a) Sense calcular prèviament l'expressió analítica de la primitiva $E(t)$:

• Resol l'equació $f(t) = 0$ i analitza el signe de $f(t)$ a l'interval $[0, 6]$ per estimar en quins mesos s'assoliran un màxim relatiu i un mínim relatiu d'ocupació acumulada.

• Analitza qualitativament els períodes on $f(t) > 0$ enfront d'aquells on $f(t) < 0$ per fer una estimació raonada de si el balanç final a $t = 6$, $E(6)$, serà positiu, negatiu o nul.

1. b) Troba analíticament la primitiva $E(t)$ que satisfà la condició inicial $E(0) = 0$. Calcula amb exactitud els valors $E(1)$, $E(3)$ i $E(6)$, contrasta'ls amb les previsions que has fet a l'apartat anterior i justifica si les teves estimacions qualitatives eren correctes.

En una planta fotovoltaica del sud d'Espanya, la taxa horària de generació i injecció d'energia a la xarxa durant el matí ve descrita per la funció contínua $f(t)$ (en megawatts), on $t$ representa el temps en hores transcorregut des de l'alba ($0 \leq t \leq 8$):

Per calcular l'energia acumulada $E(t)$, un estudiant proposa la funció següent:

Com que a l'alba ($t = 0$) l'energia acumulada és nul·la ($E(0) = 0$), l'estudiant dedueix que $C = 0$ en el primer tram i manté aquest mateix valor per al segon tram, concloent que al cap de 5 hores l'energia acumulada és $E(5) = 6 \cdot 5 + 0 = 30\text{ MWh}$.

1. a) Explica amb rigor matemàtic l'error comès per l'estudiant en assignar una única constant $C$ a tots dos intervals. Justifica per què tota primitiva ha de ser derivable i, en conseqüència, contínua a $t = 3$, i demostra que la funció proposada per l'estudiant presenta una discontinuïtat de salt en aquest punt.
2. b) Corregeix el plantejament: escriu la família de primitives utilitzant dues constants independents ($C_1$ i $C_2$), imposa la condició de continuïtat a $t = 3$ i determina la funció acumulada correcta $E(t)$ que verifica $E(0) = 0$. Amb aquesta funció, calcula l'energia real generada després de 5 hores.