Primitiva de una función

Dada la función $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$, comprueba razonadamente si la función $F(x) = x^4 - 3x^2 + x + 5$ es una de sus primitivas. Para ello, utiliza la definición de primitiva basada en la derivación.

Dada la función $f(x) = \dfrac{6x}{x^2+3} + 4e^{2x}$, comprueba si la función $F(x) = 3 \ln(x^2+3) + 2e^{2x} + \pi$ es una de sus primitivas. Justifica tu respuesta utilizando la definición de primitiva y explica qué papel juega la constante $\pi$ en este contexto.

Halla el conjunto de todas las primitivas de la función polinómica $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Recuerda incluir la constante de integración $C$ y explicar qué representa geométricamente este valor en el gráfico de las funciones resultantes.

Determina la función $F(x)$ cuya derivada es $f(x) = \sqrt{x}$ y que cumple la condición de que $F(1) = 2$. Expresa el resultado final con el exponente en forma de fracción.

En el departamento de marketing de una conocida marca de zapatillas, han determinado que el ingreso marginal (la derivada del ingreso total) viene dado por la función $I'(x) = 100 - 4x$, donde $x$ representa el número de unidades vendidas. Calcula la función de ingreso total $I(x)$ sabiendo que si no se vende ninguna unidad, el ingreso es cero ($I(0) = 0$).

Un dron se desplaza de forma que su velocidad en metros por segundo sigue la función $v(t) = 2t + 3$. Si en el instante inicial ($t = 0$) el dron se encuentra en la posición $s = 10$ metros, obtén la función de posición $s(t)$ integrando la función de velocidad.

Un dron de vigilancia se desplaza de forma lineal y su velocidad en metros por segundo, transcurridos $t$ segundos, viene dada por la función $v(t) = 3t^2 - 6t + 10$. Sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) el dron se encuentra a una distancia de 15 metros del punto de control, halla la expresión de la función de posición $s(t)$.

La derivada de una función $f(x)$ es $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$. Halla la expresión de $f(x)$ sabiendo que su gráfica corta al eje de ordenadas (eje $Y$) en el punto $y = 7$.

De todas las primitivas de la función $f(x) = \dfrac{2}{x-2} + 3x^2$, encuentra aquella cuya gráfica pasa por el punto $(3, 10)$. Expresa el resultado de forma simplificada utilizando logaritmos neperianos.

Una empresa de logística ha calculado que el coste marginal de mantener un paquete en su almacén central (en euros por día) depende del tiempo $t$ (en días) según la función:

Calcula la función de coste total $C(t)$ si se sabe que los costes fijos de entrada al almacén (coste en $t=0$) ascienden a $50$ euros.

Nota: Realiza la división polinómica previa para obtener una integral inmediata o casi inmediata.