Integración por partes
Hay funciones que son un producto de dos piezas muy distintas: un polinomio por una exponencial, un logaritmo "solo", un seno por una $x$. Ninguna fórmula de la tabla de inmediatas las resuelve directamente. Integrar por partes es, literalmente, leer al revés la derivada de un producto: convierte una integral en otra (más fácil) menos un término ya resuelto.
Elegir $u$ y $dv$: la regla ALPES
La regla mnemotécnica ALPES ordena qué elegir como $u$: Arcos (arcoseno, arcotangente), Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/cosenos. Cuanto antes aparezca el tipo de función en esa lista, antes se elige como $u$; lo que quede es $dv$.
Para iniciarte en el método de integración por partes, es fundamental saber elegir qué función será $u$ (la que derivamos) y cuál será $dv$ (la que integramos).…
Para iniciarte en el método de integración por partes, es fundamental saber elegir qué función será $u$ (la que derivamos) y cuál será $dv$ (la que integramos). Utilizando la regla mnemotécnica ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos), identifica $u$ y $dv$ para resolver la siguiente integral indefinida:
$$\int x \cdot e^{2x} \, dx$$Calcula la primitiva de la función $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Recuerda que al aplicar el método de las partes, debes buscar que la nueva integral resultante sea más…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Recuerda que al aplicar el método de las partes, debes buscar que la nueva integral resultante sea más sencilla que la original.
El logaritmo: cuando $dv = dx$
El logaritmo no tiene primitiva inmediata y, según ALPES, siempre se elige como $u$. Si está solo (no multiplicado por nada más que una constante), $dv$ es simplemente $dx$.
Un clásico de las integrales por partes es la función logaritmo, ya que no tiene una integral inmediata directa. En este caso, debemos considerar que la función está…
Un clásico de las integrales por partes es la función logaritmo, ya que no tiene una integral inmediata directa. En este caso, debemos considerar que la función está multiplicada por $1$ (es decir, $dv = dx$).
Calcula la siguiente integral indefinida:
$$\int \ln(x) \, dx$$Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \ln(3x + 2)$ utilizando el método de integración por partes. Pista: puedes considerar que la función está…
Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \ln(3x + 2)$ utilizando el método de integración por partes. Pista: puedes considerar que la función está multiplicada por 1 para elegir tus variables $u$ y $dv$.
Partes dos veces, e integrales cíclicas
Si el polinomio tiene grado $2$ o más, una sola aplicación de partes no basta: cada vez que integras por partes, el grado del polinomio baja una unidad, así que hay que repetir el proceso.
Hay un caso especial en el que, al integrar dos veces por partes, reaparece la integral original en el lado derecho de la igualdad. Entonces se trata como una ecuación: se despeja la integral buscada.
El beneficio marginal de una tienda de ropa vintage* (en cientos de euros por mes) viene definido por la función $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, donde $x$ representa el…
El beneficio marginal de una tienda de ropa vintage (en cientos de euros por mes) viene definido por la función $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, donde $x$ representa el número de meses desde su apertura. Aplicando el método de integración por partes las veces que sea necesario, obtén la expresión del beneficio total $B(x)$, sabiendo que al finalizar el primer mes ($x = 0$) el beneficio era nulo.
Un ingeniero modela la velocidad de vibración de una estructura sometida a oscilaciones forzadas mediante la función (en metros por segundo): $$v(t) = e^{t} \cdot…
Un ingeniero modela la velocidad de vibración de una estructura sometida a oscilaciones forzadas mediante la función (en metros por segundo):
$$v(t) = e^{t} \cdot \cos(t)$$Calcula la integral indefinida de esta función. Ten en cuenta que este tipo de integrales se denominan "cíclicas", ya que al aplicar el método de integración por partes dos veces, reaparecerá la integral original en el lado derecho de la igualdad.
Aplicaciones: áreas e integrales definidas
El procedimiento con integrales definidas es el de siempre: hallas la primitiva por partes y aplicas la regla de Barrow al final, evaluando en los dos extremos.
Determina la integral definida en el intervalo $[1, e]$ de la función $f(x) = 5 \ln(x)$. Pista: Primero halla la integral indefinida por partes y luego aplica la Regla…
Determina la integral definida en el intervalo $[1, e]$ de la función $f(x) = 5 \ln(x)$.
Pista: Primero halla la integral indefinida por partes y luego aplica la Regla de Barrow.
Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x - 1) \cdot e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. Realiza un pequeño esquema del…
Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = (x - 1) \cdot e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. Realiza un pequeño esquema del recinto antes de calcular la integral.