Exercicis: Integració per parts

Per iniciar-te en el mètode d'integració per parts, és fonamental saber triar quina funció serà $u$ (la que derivem) i quina serà $dv$ (la que integrem). Utilitzant la regla mnemotècnica ALPES (Arcs, Logaritmes, Polinomis, Exponencials, Sinus/Cosinus), identifica $u$ i $dv$ per resoldre la integral indefinida següent, aplicant la fórmula $\int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du$:

Calcula la primitiva de la funció $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Recorda que en aplicar el mètode de les parts, has de buscar que la nova integral resultant sigui més senzilla que l'original.

Un clàssic de les integrals per parts és la funció logaritme, ja que no té una integral immediata directa. En aquest cas, hem de considerar que la funció està multiplicada per $1$ (és a dir, $dv = dx$).

Calcula la integral indefinida següent:

Troba el conjunt de totes les primitives de la funció següent, simplificant el resultat final traient factor comú si és possible:

Calcula la integral indefinida de la funció $g(x) = 2x \cdot \sin(x)$. Indica pas a pas quina ha estat la teva elecció per a $u$ i per a $dv$, així com els seus corresponents diferencial de $u$ ($du$) i integral de $v$ ($v$).

El ritme de creixement d'una població de bacteris en un laboratori segueix la funció marginal $B'(t) = \ln(2t)$, on $t$ és el temps en hores. Troba la funció general de la població $B(t)$ integrant per parts.

Determina la integral definida en l'interval $[1, e]$ de la funció $f(x) = 5 \ln(x)$.

Calcula l'àrea de la regió plana limitada per la corba $y = x \cdot e^{-x}$, l'eix d'abscisses $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 1$.

A l'hora d'enfrontar-te al càlcul de primitives, reconèixer l'estructura de la funció abans d'operar evita aplicar mètodes llargs innecessàriament. Observa aquestes dues integrals indefinides:

1. a) Justifica detalladament quina de les dues integrals és immediata (o resoluble mitjançant la regla de la cadena) i quina requereix obligatòriament el mètode d'integració per parts.
2. b) Per a la integral que requereix integració per parts, aplica el criteri de la regla ALPES per justificar la teva assignació d'$u$ i $dv$, i calcula la seva família de primitives.

La Carla ha intentat calcular la integral indefinida $\int x \cdot \ln(x) \, dx$ en un examen i ha deixat escrit el desenvolupament següent:

«Pas 1: Trio $u = x \implies du = dx$ i $dv = \ln(x) \, dx \implies v = \frac{1}{x}$.

Pas 2: Aplico la fórmula: $\int x \cdot \ln(x) \, dx = x \cdot \frac{1}{x} - \int \frac{1}{x} \, dx = 1 - \ln|x| + C$».

1. a) Identifica i explica de manera argumentada els dos errors conceptuals comesos per la Carla (un de relatiu a la prioritat d'elecció en la regla ALPES i un altre en l'obtenció de $v$ a partir de $dv$).
2. b) Resol la integral correctament pas a pas aplicant el mètode d'integració per parts i comprova el teu resultat derivant la funció obtinguda.

Un conegut influencer ha analitzat el creixement dels seus seguidors en una nova xarxa social. La velocitat de creixement instantània (seguidors per dia) ve donada per la funció $f(t) = (2t + 10) \cdot e^{0,1t}$, on $t$ és el temps en dies des del llançament del seu canal. Utilitza el mètode d'integració per parts per calcular la funció $S(t)$ que representa el nombre total de seguidors acumulats, sabent que en el moment del llançament ($t = 0$) el canal comptava amb 500 seguidors.

En un estudi sobre psicologia de l'aprenentatge, s'ha determinat que la capacitat de retenir nous termes de vocabulari en una llengua estrangera segueix un ritme marcat per la funció $v(t) = t^2 \cdot \ln(t)$, on $t$ és el temps d'estudi en hores ($t \geq 1$). Calcula la primitiva d'aquesta funció que passa pel punt $(1, 2)$.

Una empresa de so està dissenyant un filtre per equalitzar pistes d'àudio. L'energia dissipada per un component en un interval de temps es calcula mitjançant la integral definida de la funció $E(t) = x \cdot \cos(x)$. Determina el valor exacte de l'àrea envoltada per la funció $f(x) = x \cdot \cos(x)$, l'eix d'abscisses i les rectes verticals $x = 0$ i $x = \frac{\pi}{2}$.

Calcula la integral indefinida de la funció $f(x) = \ln(3x + 2)$ utilitzant el mètode d'integració per parts. Pista: pots considerar que la funció està multiplicada per 1 per triar les teves variables $u$ i $dv$.

El benefici marginal d'una botiga de roba vintage (en centenars d'euros per mes) ve definit per la funció $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, on $x$ representa el nombre de mesos des de la seva obertura. Aplicant el mètode d'integració per parts les vegades que calgui, obtén l'expressió del benefici total $B(x)$, sabent que en finalitzar el primer mes ($x = 1$) el benefici era nul.

Troba l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció $f(x) = (x - 1) \cdot e^x$, l'eix $OX$ i les rectes $x = 0$ i $x = 1$. Fes un petit esquema del recinte abans de calcular la integral.

El cost marginal de producció d'una fàbrica de patinets elèctrics s'ajusta a la funció $C'(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ per a $x > 1$, on $x$ és el nombre d'unitats produïdes en milers. Determina la funció de cost total $C(x)$ si els costos fixos (cost quan $x = 1$) ascendeixen a 10 (en milers d'euros).

Calcula la integral indefinida següent, que combina funcions trigonomètriques i polinòmiques:

Assegura't de simplificar el resultat final tant com sigui possible.

Es vol calcular l'àrea de la regió del primer quadrant delimitada per la corba $f(x) = x \cdot \ln(x)$, l'eix d'abscisses $y = 0$ i les rectes verticals $x = 1$ i $x = e$.

1. a) Abans d'integrar, fes una estimació geomètrica raonada: acota superiorment l'àrea calculant la superfície del rectangle circumscrit (de base $[1, e]$ i alçària $f(e)$) i la del triangle que uneix els punts $(1, 0)$, $(e, 0)$ i $(e, f(e))$. Justifica quina de les dues cotes és més precisa i calcula el seu valor numèric aproximat prenent $e \approx 2,72$.
2. b) Determina el valor exacte de l'àrea calculant la integral definida $\int_1^e x \cdot \ln(x) \, dx$ mitjançant el mètode d'integració per parts i la regla de Barrow.
3. c) Expressa el valor exacte en forma decimal amb dues xifres i comprova si el resultat valida i resulta coherent amb la teva estimació geomètrica prèvia.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) registra l'evolució de la despesa comercial durant una campanya de dinamització econòmica. Els analistes modelitzen la taxa de variació instantània de la despesa acumulada mitjançant la funció:

on $t$ és el temps transcorregut en mesos des del llançament ($t \in [0, 6]$) i $g(t)$ es mesura en milers d'euros per mes.

1. a) Fent servir el mètode d'integració per parts, determina la funció $G(t)$ que expressa la despesa total acumulada al cap de $t$ mesos, sabent que a l'inici de la campanya ($t = 0$) la despesa acumulada imputable a aquesta era de 0 euros.
2. b) Calcula la despesa total acumulada en completar-se els 4 primers mesos de campanya ($t = 4$) i interpreta cap a quin valor límit tendiria la despesa si la campanya es mantingués de manera indefinida ($t \to \infty$).

Calcula la primitiva de la funció següent que passa pel punt $(1, 2)$:

Nota: Recorda que després d'aplicar la fórmula d'integració per parts, és possible que necessitis fer una divisió de polinomis o un ajust per resoldre la integral resultant.

Una empresa de desenvolupament d'aplicacions mòbils ha detectat que el ritme de creixement de nous usuaris de la seva última xarxa social segueix la funció:

on $t$ representa el temps en mesos des del seu llançament. Determina la funció que descriu el nombre total d'usuaris acumulats, sabent que en el moment del llançament ($t=0$) l'aplicació comptava amb $1000$ usuaris de la fase beta.

Calcula el valor de la integral definida següent aplicant el mètode d'integració per parts:

Troba l'àrea del recinte pla limitat per la gràfica de la funció $f(x) = (x-1) \cdot e^x$, l'eix d'abscisses $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 2$. Il·lustra la regió ombrejada a la teva llibreta abans de fer el càlcul.

Un enginyer modela la velocitat de vibració d'una estructura sotmesa a oscil·lacions forçades mitjançant la funció (en metres per segon):

Calcula la integral indefinida d'aquesta funció. Tingues en compte que aquest tipus d'integrals s'anomenen "cícliques", ja que en aplicar el mètode d'integració per parts dues vegades, reapareixerà la integral original al costat dret de la igualtat.

Calcula la primitiva de la funció $g(x) = \frac{\ln x}{x^3}$ sabent que la seva gràfica té un punt d'inflexió la coordenada $y$ del qual és igual a $\frac{1}{4}$.

Resol la integral següent utilitzant primer un canvi de variable i, posteriorment, el mètode d'integració per parts:

Suggeriment: Fes el canvi $t = \sqrt{x}$. No oblidis calcular el nou diferencial $dx$ en funció de $dt$.

Determina el valor del paràmetre real $k > 0$ sabent que l'àrea de la regió envoltada per la corba $f(x) = k \cdot x \cdot e^x$, l'eix $OX$ i les rectes $x = 0$ i $x = 1$ és exactament igual a $5$ unitats quadrades.

El departament financer d'una empresa tecnològica estima que la funció d'ingrés marginal derivada de comercialitzar $x$ milers de llicències de programari ($x \ge 1$) respon al model:

on $a$ i $b$ són paràmetres reals constants. No se'n coneix la fórmula completa, però una auditoria externa aporta dues dades:

1. La derivada de l'ingrés marginal en $x = 1$ és $I''(1) = 3$.

2. L'increment de l'ingrés total en passar d'1 a $e$ milers de llicències, donat per $\int_1^e I'(x) \, dx$, és exactament igual a $\frac{e^2 + 9}{4}$ desenes de milers d'euros.

1. a) Dedueix raonadament el valor de les constants $a$ i $b$. Per fer-ho, troba la derivada d'$I'(x)$ per aplicar la primera dada i resol la integral definida en funció dels paràmetres mitjançant integració per parts per utilitzar la segona dada.
2. b) Un cop obtingudes $a$ i $b$, calcula la funció d'ingrés total $I(x)$ sabent que per al nivell base de vendes no hi ha ingrés acumulat addicional ($I(1) = 0$).

En un estudi sobre distribució de rendes en el sector agroalimentari, es modelitza la corba de Lorenz, $L(x)$, on $x \in [0, 1]$ representa la proporció acumulada de perceptors i $L(x) \in [0, 1]$ la proporció acumulada de la renda que aquests reben:

1. a) Tota corba de Lorenz ha de verificar per definició que el $100\,\%$ dels perceptors acumula el $100\,\%$ de la renda, és a dir, $L(1) = 1$. Dedueix a partir d'aquesta condició el valor del paràmetre $a$ i comprova si la corba passa per l'origen $(0, 0)$.
2. b) L'índex de Gini ve donat per $I_G = 2 \int_0^1 (x - L(x)) \, dx$. Aplica el mètode d'integració per parts les vegades necessàries per calcular el valor exacte d'aquest índex.
3. c) Sabent que $I_G = 0$ indica igualtat distributiva absoluta i que valors superiors a $0,40$ reflecteixen una alta concentració de la renda, aproxima el teu resultat prenent $e \approx 2,718$ i interpreta el nivell de desigualtat obtingut.