Área limitada por dos curvas
Hasta ahora el eje $OX$ hacía siempre de "frontera inferior" del recinto. Pero muchas regiones reales (el hueco entre dos curvas de oferta y demanda, el perfil de una rampa y su refuerzo recto) están limitadas por dos funciones. La idea es la misma de siempre, pero restando en vez de usar el eje.
Área entre dos curvas: la diferencia de alturas
En un parque de deportes extremos, se quiere instalar una rampa de skate*. El perfil lateral de la rampa está definido por la curva $f(x) = x^2$ y se quiere cubrir con…
En un parque de deportes extremos, se quiere instalar una rampa de skate. El perfil lateral de la rampa está definido por la curva $f(x) = x^2$ y se quiere cubrir con una lona de seguridad que llega hasta la plataforma horizontal definida por la recta $g(x) = 4$.
Calcula el área de la sección lateral comprendida entre la rampa y la plataforma horizontal (unidades en metros).
En un proyecto de ingeniería ambiental, se estudia la sección transversal de un canal de riego. El perfil del canal viene dado por la curva $f(x) = x^2 - 1$ y el nivel…
En un proyecto de ingeniería ambiental, se estudia la sección transversal de un canal de riego. El perfil del canal viene dado por la curva $f(x) = x^2 - 1$ y el nivel máximo del agua está limitado por la recta $g(x) = 3$.
Calcula el área de la sección transversal del canal que queda por debajo del nivel del agua.
Encontrar quién va arriba: puntos de corte y comprobación
El procedimiento siempre empieza igual: igualar las dos funciones para hallar $a$ y $b$, y después comprobar con un punto intermedio cuál va por encima, para restar en el orden correcto.
Dos empresas tecnológicas comparan el crecimiento de sus usuarios en el primer año. El número de usuarios (en miles) de la empresa A sigue la función $f(x) = x^2$,…
Dos empresas tecnológicas comparan el crecimiento de sus usuarios en el primer año. El número de usuarios (en miles) de la empresa A sigue la función $f(x) = x^2$, mientras que la empresa B sigue la función $g(x) = x$.
Calcula el área de la región comprendida entre ambas gráficas en el intervalo $[0, 1]$ para visualizar la diferencia total de usuarios acumulada durante ese primer año.
Determina el área del recinto limitado por la recta $y = 2x$ y la curva $y = x^2 - 3$. Para ello, obtén primero los puntos de corte igualando ambas funciones y aplica la…
Determina el área del recinto limitado por la recta $y = 2x$ y la curva $y = x^2 - 3$.
Para ello, obtén primero los puntos de corte igualando ambas funciones y aplica la regla de Barrow al integrando de la función diferencia.
Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2 - 2x + 1$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 1$. Determina cuál de las dos funciones queda por encima…
Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = x^2 - 2x + 1$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 1$. Determina cuál de las dos funciones queda por encima de la otra en el intervalo de integración analizando el signo de la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x)$.
Cuando las curvas se cruzan varias veces: partir en tramos
Si $f$ y $g$ se cortan en más de dos puntos, quién va arriba puede cambiar de un tramo a otro: hay que trocear la integral igual que hacías con el signo respecto al eje $OX$.
Determina el área de la región encerrada por la función cúbica $f(x) = x^3 - 4x$ y la recta $g(x) = 0$ (el eje de abscisas). Ten en cuenta que el recinto está compuesto…
Determina el área de la región encerrada por la función cúbica $f(x) = x^3 - 4x$ y la recta $g(x) = 0$ (el eje de abscisas). Ten en cuenta que el recinto está compuesto por dos regiones separadas y que deberás calcular el área de cada una de ellas por separado utilizando valores absolutos si fuera necesario.
Considera dos funciones que representan el flujo de aire en un túnel de viento durante un experimento de 10 segundos: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y $g(x) = x^2 - 3x$. Los…
Considera dos funciones que representan el flujo de aire en un túnel de viento durante un experimento de 10 segundos: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y $g(x) = x^2 - 3x$. Los ingenieros necesitan conocer el "volumen de interferencia" total, que equivale al área encerrada entre ambas gráficas en todo su dominio. Halla los puntos de corte entre las dos funciones y calcula el área total de los recintos que delimitan, teniendo en cuenta que las funciones pueden intercambiar su posición (cuál está por encima de la otra) en los diferentes intervalos.
Un arquitecto proyecta una ventana decorativa cuya silueta está delimitada por la función con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$ y la recta horizontal $g(x) = 2$. Debido…
Un arquitecto proyecta una ventana decorativa cuya silueta está delimitada por la función con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$ y la recta horizontal $g(x) = 2$. Debido a la complejidad de la forma, el cristal debe cortarse en varias piezas. Calcula el área total de la ventana identificando correctamente los límites de integración y las funciones que actúan como frontera superior e inferior en cada tramo.
Aplicaciones: tangentes, parámetros y economía
El recinto entre dos curvas aparece también cuando una de las "curvas" es una recta tangente, o cuando hay que despejar un parámetro a partir de un área dada.
Dada la función $f(x) = x^2 - 4$, halla la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 3$. Una vez obtenida, calcula el área del recinto…
Dada la función $f(x) = x^2 - 4$, halla la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 3$. Una vez obtenida, calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, la recta tangente hallada y el eje de ordenadas ($OY$).
Calcula el valor del parámetro real positivo $k$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = kx$ sea igual a $36$ unidades cuadradas.…
Calcula el valor del parámetro real positivo $k$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = kx$ sea igual a $36$ unidades cuadradas. Pista: Expresa el área en función de $k$ e iguala el resultado al valor dado para despejar la incógnita.
En un estudio de microeconomía, la función de oferta de un producto es $S(x) = x^2 + 2x + 1$ y la función de demanda es $D(x) = 11 - x^2$, donde $x$ es el número de…
En un estudio de microeconomía, la función de oferta de un producto es $S(x) = x^2 + 2x + 1$ y la función de demanda es $D(x) = 11 - x^2$, donde $x$ es el número de unidades en miles. El "Excedente del Consumidor" se define como el área limitada por la curva de demanda, la recta horizontal que pasa por el punto de equilibrio (donde oferta es igual a demanda) y el eje de ordenadas. Calcula dicho excedente realizando primero el hallazgo del punto de equilibrio en el primer cuadrante.