Exercicis: Àrea limitada per dues corbes

Un dissenyador gràfic està creant un nou logotip per a una marca de roba urbana. El disseny central consisteix en l'àrea tancada entre la paràbola $f(x) = -x^2 + 4$ i la recta $g(x) = x + 2$, que pots veure a la figura.

Per saber quanta pintura platejada es necessitarà per a l'estampat, resol:

1. a) Troba els punts de tall entre totes dues funcions.

1. b) Calcula l'àrea de la regió tancada entre les dues gràfiques (en unitats quadrades).

En un parc d'esports extrems, es vol instal·lar una rampa d'skate. El perfil lateral de la rampa està definit per la corba $f(x) = x^2$ i es vol cobrir amb una lona de seguretat que arriba fins a la plataforma horitzontal definida per la recta $g(x) = 4$.

Calcula l'àrea de la secció lateral compresa entre la rampa i la plataforma horitzontal (unitats en metres).

Dues empreses tecnològiques comparen el creixement dels seus usuaris en el primer any. El nombre d'usuaris (en milers) de l'empresa A segueix la funció $f(x) = x^2$, mentre que l'empresa B segueix la funció $g(x) = x$.

Calcula l'àrea de la regió compresa entre totes dues gràfiques en l'interval $[0, 1]$ per visualitzar la diferència total d'usuaris acumulada durant aquest primer any.

S'està dissenyant un panell solar amb una forma geomètrica especial. Les vores del panell estan definides per la paràbola $f(x) = 2x - x^2$ i la paràbola invertida $g(x) = x^2 - 2x$. A la figura es veuen les dues corbes i la regió que forma el panell.

Calcula els punts d'intersecció de totes dues corbes i l'àrea total de la superfície del panell solar.

Un arquitecte vol dissenyar una finestra per a un edifici modern. La part superior està delimitada per la corba $f(x) = 6x - x^2$ i la part inferior per la recta $g(x) = x$.

Determina el recinte enclòs per aquestes dues funcions i calcula la seva àrea per preveure la quantitat de vidre necessària.

En un projecte d'enginyeria ambiental, s'estudia la secció transversal d'un canal de reg. El perfil del canal ve donat per la corba $f(x) = x^2 - 1$ i el nivell màxim de l'aigua està limitat per la recta $g(x) = 3$.

Calcula l'àrea de la secció transversal del canal que queda per sota del nivell de l'aigua.

Calcula l'àrea de la regió plana limitada per les funcions $f(x) = \sqrt{x}$ i $g(x) = x^2$ en el primer quadrant.

Ajuda: Recorda que $\sqrt{x}$ es pot expressar com una potència d'exponent fraccionari per facilitar la integració.

Determina l'àrea del recinte limitat per la recta $y = 2x$ i la corba $y = x^2 - 3$.

Per a fer-ho, obté primer els punts de tall igualant totes dues funcions i aplica la regla de Barrow a l'integrand de la funció diferència.

La Lucía ha de calcular l'àrea del recinte acotat comprès entre les gràfiques de $f(x) = 4 - x^2$ i $g(x) = 2 - x$. En el seu examen escriu el següent:

1. «Punts de tall: faig $f(x) = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies x = -2$ i $x = 2$, després integro entre $-2$ i $2$».

2. «Posició relativa: prenc $x = 0$; com que $f(0) = 4$ i $g(0) = 2$, la paràbola està per sobre de la recta».

3. «Càlcul: $\text{Àrea} = \int_{-2}^{2} [(4 - x^2) - (2 - x)]\,dx = \left[ 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{8}{3} \approx 2,67$ unitats quadrades».

1. a) Localitza i explica de manera raonada els dos errors conceptuals que ha comès la Lucía en el seu plantejament.
2. b) Corregeix l'exercici resolent-lo pas a pas: troba els límits d'integració correctes, comprova la posició relativa en l'interval adequat i calcula el valor exacte de l'àrea.

Es vol calcular l'àrea de la regió compresa entre la paràbola $f(x) = -x^2 + 4x$ i la recta $g(x) = x$.

1. a) Troba els punts d'intersecció entre ambdues corbes i determina les coordenades del vèrtex de la paràbola.
2. b) Estima abans d'integrar: Considera el rectangle que té per base el segment entre les abscisses de tall i per altura el valor màxim de $f(x)$, i considera també el triangle que uneix els dos punts de tall amb el vèrtex de la paràbola. Justifica, mitjançant un raonament geomètric, per què l'àrea buscada ha de ser estrictament menor que la del rectangle i major que la del triangle, tot indicant l'interval numèric en el qual s'ha de trobar el resultat.
3. c) Comprova: Calcula el valor exacte de l'àrea mitjançant la integral definida i verifica si el valor obtingut és coherent amb la teva estimació prèvia.

Calcula l'àrea de la regió del pla enclosa entre les gràfiques de les funcions $f(x) = -x^2 + 6x$ i $g(x) = x$. Comença identificant els punts d'intersecció de totes dues corbes i fes un esbós del recinte abans d'aplicar la regla de Barrow.

Troba l'àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = x^2 - 2x + 1$ i $g(x) = -x^2 + 4x + 1$. Determina quina de les dues funcions queda per sobre de l'altra en l'interval d'integració analitzant el signe de la funció diferència $h(x) = f(x) - g(x)$.

Una empresa de disseny vol crear un nou logotip utilitzant la regió enclosa per les corbes $f(x) = \sqrt{x}$ i $g(x) = x^2$. Calcula l'àrea d'aquesta regió (expressada en unitats quadrades) per poder pressupostar el cost de la impressió sobre metacrilat.

Donada la funció $f(x) = x^2 - 4$, troba l'equació de la recta tangent a la seva gràfica en el punt d'abscissa $x = 3$. Un cop obtinguda, calcula l'àrea del recinte limitat per la gràfica de $f(x)$, la recta tangent trobada i l'eix d'ordenades ($OY$).

Determina l'àrea de la regió enclosa per la funció cúbica $f(x) = x^3 - 4x$ i la recta $g(x) = 0$ (l'eix d'abscisses). Tingues en compte que el recinte està compost per dues regions separades i que hauràs de calcular l'àrea de cadascuna d'elles per separat utilitzant valors absoluts si fos necessari.

El perfil d'una rampa per a bicicletes en un parc urbà segueix la corba $f(x) = \frac{x^2}{10} + 2$. Es decideix cobrir el buit inferior entre la rampa i una estructura de reforç recta que uneix els punts $A(0, 2)$ i $B(10, 12)$. Calcula l'àrea de la secció lateral compresa entre la rampa corba i l'estructura recta.

Troba l'àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = e^x$ i $g(x) = e^{-x}$ i la recta vertical $x = 1$. Fes un esquema gràfic de les funcions indicant el punt on es creuen.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Calcula el valor del paràmetre real positiu $k$ perquè l'àrea del recinte limitat per la paràbola $y = x^2$ i la recta $y = kx$ sigui igual a $36$ unitats quadrades. Pista: Expressa l'àrea en funció de $k$ i iguala el resultat al valor donat per a aïllar la incògnita.

Una comunitat de regants de la província de Sevilla disposa d'una instal·lació solar fotovoltaica per proveir les seves bombes d'aigua. En un dia assolellat de primavera, la potència elèctrica generada (en quilowatts, $\text{kW}$) entre les 8:00 ($t = 0$) i les 18:00 ($t = 10$) es modelitza mitjançant la funció $P(t) = -t^2 + 10t$. Per la seva banda, el consum continu exigit pel sistema de bombament segueix el model $C(t) = 2t + 7$ (en $\text{kW}$).

1. a) Determina les hores del dia (valors de $t$) entre les quals la producció de les plaques supera la demanda de les bombes, tot generant un excedent d'energia.
2. b) Planteja i resol la integral definida que proporciona l'energia total excedentària (en quilowatts-hora, $\text{kWh}$) produïda al llarg d'aquesta jornada.
3. c) Si la comunitat aboca aquest excedent a la xarxa elèctrica i se la compensa a un preu de $0,08$ euros per cada $\text{kWh}$, quin és l'ingrés econòmic obtingut aquell dia gràcies a l'excedent?

Considera la paràbola $f(x) = x^2$ i la seva recta tangent en el punt d'abscissa $x = 2$, a la qual anomenarem $r$. Es vol determinar l'àrea de la regió fitada compresa entre la corba $f(x)$, la recta tangent $r$ i l'eix d'abscisses ($y = 0$).

1. a) Obtén l'equació de la recta tangent $r$ i calcula el seu punt de tall amb l'eix d'abscisses.
2. b) Per calcular l'àrea d'aquest recinte es poden seguir dos camins:

• Mètode 1 (descomposició horitzontal): Dividir el recinte mitjançant una recta vertical en dos subintervals i sumar dues integrals definides.

• Mètode 2 (substracció geomètrica): Calcular l'àrea total sota la paràbola a l'interval $[0, 2]$ i restar-li l'àrea del triangle format per la recta tangent, l'eix d'abscisses i la vertical $x = 2$.

Explica amb claredat per què el Mètode 1 obliga a fer servir dues integrals diferents i per què el Mètode 2 resulta notablement més directe i amb menys risc d'error en el càlcul.

1. c) Aplica el Mètode 2 per trobar l'àrea exacta del recinte i comprova que coincideix amb el plantejament del Mètode 1.

Una empresa de disseny gràfic està creant un nou logotip que inclou una forma aerodinàmica. La part superior del logotip segueix la trajectòria de la funció $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. S'ha decidit afegir una línia estètica que sigui la recta tangent a la gràfica de $f(x)$ en el punt d'abscissa $x = 4$. Calcula l'àrea de la regió del primer quadrant limitada per la corba $f(x)$, la recta tangent esmentada i l'eix d'ordenades ($eje \: OY$).

Considera dues funcions que representen el flux d'aire en un túnel de vent durant un experiment de 10 segons: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ i $g(x) = x^2 - 3x$. Els enginyers necessiten conèixer el "volum d'interferència" total, que equival a l'àrea enclosa entre totes dues gràfiques en tot el seu domini. Troba els punts de tall entre les dues funcions i calcula l'àrea total dels recintes que delimiten, tenint en compte que les funcions poden intercanviar la seva posició (quina està per sobre de l'altra) en els diferents intervals.

S'està dissenyant la secció transversal d'un canal de reg. El fons del canal està definit per la paràbola $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, mentre que la superfície de l'aigua en un dia de cabal màxim està limitada per la corba $g(x) = \sqrt{2x}$. Determina el valor d'una constant $k$ tal que la recta vertical $x = k$ divideixi l'àrea de la secció transversal de l'aigua en dues parts exactament iguals.

Un arquitecte projecta una finestra decorativa la silueta de la qual està delimitada per la funció amb valor absolut $f(x) = |x^2 - 4|$ i la recta horitzontal $g(x) = 2$. A causa de la complexitat de la forma, el vidre s'ha de tallar en diverses peces. Calcula l'àrea total de la finestra identificant correctament els límits d'integració i les funcions que actuen com a frontera superior i inferior en cada tram.

En un estudi de microeconomia, la funció d'oferta d'un producte és $S(x) = x^2 + 2x + 1$ i la funció de demanda és $D(x) = 11 - x^2$, on $x$ és el nombre d'unitats en milers. El "excedent del consumidor" es defineix com l'àrea limitada per la corba de demanda, la recta horitzontal que passa pel punt d'equilibri (on l'oferta és igual a la demanda) i l'eix d'ordenades. Calcula aquest excedent trobant primer el punt d'equilibri en el primer quadrant.

Troba l'àrea del recinte limitat per la corba $f(x) = e^{x-1}$, la recta tangent a aquesta corba en el punt on el seu pendent és igual a $1$, i la recta vertical $x = 0$.

Nota: Recorda que per trobar el punt de tangència has de resoldre primer $f'(x) = 1$.

Es considera la funció $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Calcula l'àrea de la regió finita limitada per la gràfica d'aquesta funció i la recta que passa pels seus dos punts singulars (el màxim relatiu i el mínim relatiu). Hauràs de trobar primer les coordenades d'aquests punts i l'equació de la recta que els uneix.

A la figura veus la gràfica de $f$, la recta $r$ i les regions que ambdues limiten.

Determina l'àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les funcions $f(x) = \frac{8}{x}$ i $g(x) = 6 - x$. En aquest cas, el recinte està situat totalment en el primer quadrant. Identifica els punts d'intersecció resolent l'equació resultant i justifica quina de les dues funcions queda per sobre en l'interval d'integració abans d'aplicar la regla de Barrow.

Considera el recinte fitat limitat per la paràbola $f(x) = 2x - x^2$ i l'eix d'abscisses ($y = 0$). Es traça una recta que passa per l'origen de coordenades, d'equació $y = mx$ (amb $0 < m < 2$), la qual divideix aquest recinte en dues regions: una de superior (compresa entre la paràbola i la recta) i una altra d'inferior (entre la recta i l'eix $OX$).

1. a) Calcula l'àrea total compresa entre la paràbola i l'eix d'abscisses.
2. b) Determina, en funció del pendent $m$, l'abscissa del punt de tall no nul entre la paràbola i la recta, i obtén l'expressió algebraica (en funció de $m$) de l'àrea de la regió superior.
3. c) Troba el valor exacte del pendent $m$ perquè la recta divideixi el recinte original en dues parts d'àrees exactament iguals.
4. d) La recta que uneix l'origen $(0,0)$ amb el vèrtex de la paràbola té pendent $m = 1$. Sense fer càlculs feixucs, raona geomètricament per què el pendent $m$ obtingut en l'apartat anterior ha de ser estrictament menor que $1$, atenent a com es distribueix la massa d'àrea de la paràbola al llarg de l'interval.

El departament de mobilitat d'un ajuntament analitza el flux d'entrada de viatgers per hora (en centenars de persones per hora) en dos accessos d'una estació central durant les 4 hores d'hora punta ($t \in [0, 4]$). Aquests fluxos es modelitzen mitjançant les funcions:

Un informe preliminar afirma: «Com que $\int_0^4 [f(t) - g(t)]\,dt = 0$, els dos accessos han funcionat amb idèntica afluència neta global i, per tant, no hi ha cap discrepància ni àrea compresa entre ambdós perfils de flux».

1. a) Troba tots els instants $t \in [0, 4]$ en què ambdós accessos registren exactament el mateix flux de viatgers.
2. b) Refuta la conclusió de l'informe: explica detalladament per què una integral nul·la no implica que l'àrea compresa entre les corbes sigui zero, tot distingint entre balanç net acumulat i àrea geomètrica entre corbes.
3. c) Calcula l'àrea total real compresa entre ambdues funcions a l'interval $[0, 4]$ i interpreta el significat de cadascun dels recintes obtinguts en termes de quin accés suporta més afluència en cada tram.
4. d) Raona, sense calcular una nova primitiva, quin valor prendria la integral $\int_0^4 [f(t) - g(t)]\,dt$ si el flux $f(t)$ s'incrementés uniformement en $1$ centenar de viatgers/hora durant tot el període. Canviaria també l'àrea geomètrica compresa entre ambdues corbes? Justifica la teva resposta.

Repte del tema. Com impacta la transició energètica en el consum diari? Analitza la demanda elèctrica i la generació renovable de la teva comunitat autònoma a partir de dades oficials i eines de càlcul integral.

1. Obtenció i modelització: Descarrega del web de Red Eléctrica de España (REE) la corba horària de demanda i de generació solar d'ahir. A GeoGebra o a un full de càlcul, ajusta la demanda a una funció contínua i normalitza-la per definir una funció de densitat de probabilitat $f(t)$ amb $\int_{0}^{24} f(t)\,dt = 1$, calculant la seva primitiva mitjançant integració per parts o descomposició en fraccions racionals.

2. Càlcul d'àrees i probabilitats: Determina la probabilitat que el consum crític tingui lloc entre les $19,0$ i les $22,0$ hores. Modela la corba solar $S(t)$ amb una integral semiimmediata i aplica la regla de Barrow per calcular l'àrea total sota la corba de demanda (energia consumida) i l'àrea compresa entre la demanda i la generació solar (energia no coberta per fotovoltaica).

3. Informe executiu: Lliura un informe d'una pàgina amb les gràfiques superposades, el desenvolupament analític pas a pas de cada integral i una proposta raonada sobre emmagatzematge energètic.

Es valorarà:

• Rigor algebraic en el càlcul de primitives (immediates, racionals i per parts) i aplicació precisa de la regla de Barrow.

• Tractament i modelització matemàtica adequada de dades reals de REE mitjançant GeoGebra o full de càlcul.

• Interpretació probabilística correcta de les àrees i justificació contextualitzada de l'àrea entre ambdues corbes.