Exercicis: Integrals definides. Regla de Barrow

Calcula el valor de la integral definida següent aplicant la Regla de Barrow, la qual representa l'àrea sota la paràbola $f(x) = x^2 + 2$ en l'interval $[0, 3]$:

Una empresa de missatgeria ha comprovat que el cost marginal de processar els seus paquets (en euros per paquet) ve donat per la funció $C'(x) = 0,06x + 2$, on $x$ és el nombre de paquets. Calcula l'increment del cost total si el nombre de paquets processats passa de 10 a 20 mitjançant la integral:

Calcula l'àrea de la regió plana limitada per la recta $f(x) = 2x - 4$, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 2$ i $x = 5$. Tingues en compte que en aquest interval la funció és sempre positiva o nul·la.

Donada una funció contínua $f(x)$, es coneixen els valors següents de les seves integrals definides:

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4$

Utilitzant les propietats de la integral definida, calcula el valor de $\int_{3}^{5} f(x) \, dx$.

Troba el valor de la integral definida de la funció exponencial bàsica entre els valors 0 i 1:

Nota: Expressa el resultat en funció del nombre $e$.

El flux de clients que entra en un centre comercial un dissabte al matí es pot modelitzar mitjançant la funció $f(t) = 100 + 20t$ (clients per hora), on $t$ és el temps en hores des de l'obertura ($t=0$). Calcula el nombre total de clients que han entrat des de la segona fins a la quarta hora després de l'obertura:

Calcula l'àrea tancada per la corba $f(x) = 4 - x^2$ i l'eix d'abscisses ($OX$).

Calcula el valor de la integral definida següent d'una funció racional senzilla:

Recorda que $\ln(e) = 1$ i $\ln(1) = 0$.

En Javier i la Lucía estan calculant a classe la integral definida $\int_1^3 (4x - 1)\,dx$. En Javier tria com a primitiva $F(x) = 2x^2 - x$ i obté un resultat numèric. La Lucía, en canvi, decideix utilitzar la primitiva $G(x) = 2x^2 - x + 5$ i sosté convençuda: «A mi em dona un resultat 5 unitats més gran que a tu, perquè la meva primitiva val exactament 5 unitats més en qualsevol punt». a) Explica raonadament l'error conceptual de la Lucía demostrant, mitjançant l'expressió teòrica de la regla de Barrow amb una constant $+C$ qualsevol, per què la constant sempre s'anul·la. b) Calcula el valor de la integral definida avaluant primer la primitiva d'en Javier i després la de la Lucía, comprovant que tots dos camins condueixen de manera obligada al mateix valor numèric.

Considera la funció $f(x) = x^2 + 1$ a l'interval $[1, 3]$. Com que la funció és contínua i estrictament creixent en aquest interval, l'àrea sota la seva corba (donada per la integral $\int_1^3 (x^2 + 1)\,dx$) ha de quedar acotada entre l'àrea d'un rectangle menor (de base la longitud de l'interval i altura el valor mínim $f(1)$) i l'àrea d'un rectangle major (de la mateixa base i altura el valor màxim $f(3)$). a) Calcula les àrees d'ambdós rectangles per donar una estimació prèvia: entre quins dos valors enters s'ha de situar el resultat de la integral? b) Aplica la regla de Barrow per calcular el valor exacte de la integral definida. c) Comprova que el valor exacte obtingut compleix la cota estimada i calcula quin percentatge de l'àrea del rectangle major representa el valor exacte acumulat sota la corba.

Calcula l'àrea de la regió del pla limitada per la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 3$, l'eix d'abscisses $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 2$. Tingues en compte la posició de la corba respecte de l'eix en l'interval donat per fer el càlcul correctament.

Troba l'àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = -x^2 + 4x$ i $g(x) = x$. Per a això, determina primer els punts d'intersecció de les dues corbes i esbossa el recinte per identificar quina de les funcions queda per sobre en l'interval d'integració.

Una empresa de missatgeria ha estimat que la seva taxa de variació d'ingressos diaris (en centenars d'euros) ve donada per la funció $I'(t) = 0,3t^2 - 2t + 10$, on $t$ és el temps en hores des de l'obertura ($0 \le t \le 8$). Utilitza la regla de Barrow per calcular l'increment total dels ingressos entre la tercera hora ($t=3$) i la sisena hora ($t=6$) de la seva jornada.

Determina el valor del paràmetre positiu $k$ perquè l'àrea tancada per la funció $f(x) = kx^2$ i l'eix $OX$ entre les rectes $x = 0$ i $x = 3$ sigui exactament de $18$ unitats quadrades.

Considera la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcula el valor de la integral definida $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ aplicant la propietat d'aditivitat de la integral respecte a l'interval d'integració.

Un dissenyador gràfic està creant un nou logotip, la silueta superior del qual està definida per la funció $f(x) = 4 - \frac{x^2}{4}$ i la seva base inferior per l'eix $OX$. Si el logotip es situa entre $x = -2$ i $x = 2$, calcula l'àrea total de la superfície del logotip utilitzant la integral definida.

Troba l'àrea del recinte finit limitat per la corba $y = \frac{1}{x}$, l'eix d'abscisses i les rectes $x = 1$ i $x = e^2$. Expressa el resultat en unitats quadrades de forma exacta utilitzant logaritmes.

Calcula l'àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - x$ i l'eix $OX$. Observa que la funció canvia de signe en l'interval natural definit per les seves arrels, per la qual cosa hauràs d'identificar aquestes arrels per plantejar les integrals necessàries.

A causa de la sequera estival en una conca hidrogràfica del sud d'Espanya, el ritme de variació del volum d'aigua embassada en un pantà (mesurat en hectòmetres cúbics per setmana, $\text{hm}^3\text{/setmana}$) al llarg de les 6 setmanes centrals de l'estiu ($t \in [0, 6]$) respon al model: $$v(t) = 0,3t^2 - 1,8t$$ a) Justifica analíticament, estudiant el signe de $v(t)$ a l'interval $(0, 6)$ sense calcular cap integral, per què l'embassament perd aigua de manera ininterrompuda durant aquestes sis setmanes. b) Aplica la regla de Barrow per calcular $\int_0^6 v(t)\,dt$ i interpreta tant el signe algebraïc com el valor numèric obtingut en relació amb l'aigua embassada. c) Si a l'inici del període ($t=0$) l'embassament comptava amb $45\text{ hm}^3$, determina el volum d'aigua restant al final de la sisena setmana i esbrina en quina setmana concreta el ritme de pèrdua va ser més sever.

El departament de fidelització d'una companyia de telecomunicacions a Espanya analitza el ritme de baixes de contractes després d'una modificació de tarifes. El ritme al qual es produeixen les cancel·lacions (en centenars de clients per mes) es modelitza mitjançant la funció $f(t) = 6 - 0,5t$, on $t \ge 0$ indica el temps transcorregut en mesos. Se sap que, transcorreguts $k$ mesos des de l'inici ($t=0$), el volum acumulat de baixes va assolir un total de $3200$ clients (és a dir, $32$ centenars de clients). a) Planteja l'equació que relaciona la integral definida $\int_0^k (6 - 0,5t)\,dt$ amb el total acumulat i calcula l'expressió integrada en funció del límit superior $k$ aplicant la regla de Barrow. b) Resol l'equació algebraica de segon grau resultant per trobar els dos possibles valors matemàtics de $k$. c) Raona quin dels dos valors s'ha de descartar atenent al significat econòmic del problema i al domini en què el ritme de baixes té sentit físic ($f(t) \ge 0$).

Sigui la funció polinòmica de segon grau $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sap que té un extrem relatiu al punt $P(1, -4)$ i que la integral definida de la funció en l'interval $[0, 3]$ és igual a $0$.

1. a) Determina els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.
2. b) Calcula l'àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció $f(x)$ i l'eix d'abscisses $OX$.

Una empresa de logística ha modelitzat el flux d'entrada de paquets al seu magatzem central mitjançant la funció $f(x) = |x^2 - 4x|$, on $x$ representa les hores transcorregudes des de l'obertura ($x=0$) fins al tancament ($x=5$).

1. a) Expressa la funció $f(x)$ com una funció definida a trossos.

1. b) Calcula el volum total de paquets rebuts durant les 5 hores, sabent que aquest valor coincideix amb la integral definida de $f(x)$ en l'interval $[0, 5]$.

1. c) Representa gràficament la funció $f(x)$ en l'interval $[0, 5]$ i ombreja l'àrea associada al càlcul de l'apartat b).

Considera les funcions $f(x) = x^3 - 3x$ i $g(x) = x$. A la figura es mostren les seves gràfiques.

1. a) Troba tots els punts de tall entre ambdues funcions.

1. b) Calcula l'àrea total dels recintes finits limitats per les gràfiques de $f(x)$ i $g(x)$. Tingues en compte que les funcions poden canviar la seva posició relativa (quina està per sobre) en els diferents intervals trobats.

La taxa de variació del benefici net d'una startup tecnològica (en milers d'euros per mes) ve donada per la funció $B'(t) = 20 - 10e^{-0,2t}$, on $t$ és el temps en mesos des del llançament del seu producte estrella.

1. a) Si en el moment del llançament ($t=0$) el benefici acumulat era de $0$ euros, obtén l'expressió de la funció de benefici acumulat $B(t)$.
2. b) Calcula, mitjançant la regla de Barrow, el benefici net total obtingut per l'empresa entre el mes 5 i el mes 10. Expressa el resultat en euros arrodonint a la unitat.

Sigui la funció $f(x) = \frac{k}{x^2}$ definida per a $x > 0$. Se sap que l'àrea del recinte limitat per la gràfica d'aquesta funció, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 1$ i $x = k$ (amb $k > 1$) és igual a $0,75$ unitats quadrades.

1. a) Calcula raonadament el valor del paràmetre positiu $k$.
2. b) Per al valor de $k$ trobat, determina l'equació de la recta tangent a la corba en $x = 2$.

Donada la funció integral $F(x) = \int_{1}^{x^2} \ln(t) \, dt$, definida per a $x \geq 1$:

1. a) Utilitza el teorema fonamental del càlcul i la regla de la cadena per trobar la funció derivada $F'(x)$.
2. b) Sense necessitat de calcular la integral de forma explícita, determina si la funció $F(x)$ és creixent o decreixent en el seu domini i justifica si té cap punt d'inflexió.
3. c) Calcula el valor exacte de $F(e)$ integrant per parts.

Es vol dissenyar el perfil d'una rampa per a un skatepark. La vora superior segueix la corba $f(x) = e^{x/2}$ i la vora inferior està delimitada per la recta tangent a aquesta corba en el punt d'abscissa $x = 0$. El recinte es tanca amb la recta vertical $x = 2$.

1. a) Troba l'equació de la recta tangent esmentada.
2. b) Calcula l'àrea de la secció transversal de la rampa (el recinte limitat per la corba, la tangent i la recta vertical).

Calcula l'àrea del recinte ombrejat de la figura, que representa el logotip d'una nova marca de moda. El logotip està delimitat per la funció $f(x) = \sqrt{x+4}$, l'eix d'ordenades $OY$ i la recta $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Nota: Has de trobar primer el punt d'intersecció de les dues funcions al primer quadrant per establir correctament els límits d'integració.

Es considera la funció integral $F(x) = \int_2^x (t^3 - 6t^2 + 9t)\,dt$, definida per a tot $x \in \mathbb{R}$. Per determinar els intervals de monotonia i els extrems relatius de $F(x)$, dos estudiants proposen dos camins metodològics diferents: el Mètode A consisteix a calcular primer l'expressió explícita de $F(x)$ trobant una primitiva i integrant amb la regla de Barrow per després derivar respecte de $x$; el Mètode B proposa aplicar de manera directa el Teorema Fonamental del Càlcul per escriure $F'(x)$ sense calcular cap primitiva prèvia. a) Desenvolupa completament el Mètode A (calculant la primitiva, aplicant Barrow a $[2, x]$ i derivant el polinomi resultant) i verifica que coincideix amb el resultat immediat que proporciona el Mètode B. b) Compara ambdós camins: quin és més eficient? Justifica per què el Mètode A resultaria inviable per a un estudiant de Batxillerat si la funció de dins de la integral fos $g(t) = e^{-t^2}$, mentre que el Mètode B continuaria permetent resoldre el problema. c) A partir de la derivada $F'(x)$, determina els punts crítics de $F(x)$, els seus intervals de creixement i decreixement, i classifica raonadament els seus extrems relatius.

El centre de classificació d'una empresa de comerç electrònic a Espanya monitora el ritme de sortida de comandes al llarg d'un torn de 8 hores mitjançant la funció següent $r(t)$ (expressada en centenars de paquets per hora, amb $t \in [0, 8]$): $$r(t) = \begin{cases} a t^2 + b & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ 10 - (t - 4)^2 & \text{si } 2 < t \le 8 \end{cases}$$ Perquè els canvis de ritme no provoquin col·lapses operatius i sigui lícit aplicar la regla de Barrow a trossos sobre l'interval complet, la funció $r(t)$ ha de ser contínua. a) Planteja i dedueix la condició algebraica exacta que han de verificar les constants $a$ i $b$ per assegurar la continuïtat de $r(t)$ en l'instant de canvi de tram $t = 2$. b) S'ha comprovat que durant les dues primeres hores del torn ($t \in [0, 2]$) es va classificar un total acumulat de $800$ paquets ($8$ centenars). Planteja la integral definida corresponent a aquest tram, resol-la amb la regla de Barrow i calcula el valor dels paràmetres $a$ i $b$. c) Amb els valors trobats, calcula el nombre total de paquets classificats en acabar el torn complet de 8 hores emprant la propietat d'additivitat de l'interval, i determina en quina hora concreta del torn es va assolir el ritme punta de classificació.