Integrales definidas. Regla de Barrow
Hasta ahora has calculado primitivas: familias de funciones con una constante $+C$ suelta. Una integral definida es otra cosa: es un número concreto, el resultado de evaluar una primitiva entre dos límites. Ese número mide, entre otras cosas, cuánto ha crecido una magnitud (ingresos, población, coste) entre dos instantes.
La integral definida y la regla de Barrow
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow, la cual representa el área bajo la parábola $f(x) = x^2 + 2$ en el intervalo $[0, 3]$:…
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow, la cual representa el área bajo la parábola $f(x) = x^2 + 2$ en el intervalo $[0, 3]$:
$$\int_{0}^{3} (x^2 + 2) \, dx$$Halla el valor de la integral definida de la función exponencial básica entre los valores 0 y 1: $$\int_{0}^{1} e^x \, dx$$ Nota: Expresa el resultado en función del…
Halla el valor de la integral definida de la función exponencial básica entre los valores 0 y 1:
$$\int_{0}^{1} e^x \, dx$$Nota: Expresa el resultado en función del número $e$.
Una empresa de mensajería ha comprobado que el coste marginal de procesar sus paquetes (en euros por paquete) viene dado por la función $C'(x) = 0,06x + 2$, donde $x$ es…
Una empresa de mensajería ha comprobado que el coste marginal de procesar sus paquetes (en euros por paquete) viene dado por la función $C'(x) = 0,06x + 2$, donde $x$ es el número de paquetes. Calcula el incremento del coste total si el número de paquetes procesados pasa de 10 a 20 mediante la integral:
$$\int_{10}^{20} (0,06x + 2) \, dx$$Propiedades: aditividad y funciones a trozos
Cuando conoces el valor de algunas integrales, muchas veces puedes deducir otras sin calcular ninguna primitiva.
Dada una función continua $f(x)$, se conocen los siguientes valores de sus integrales definidas: $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$ $\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4$ Utilizando…
Dada una función continua $f(x)$, se conocen los siguientes valores de sus integrales definidas:
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$\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$
-
$\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4$
Utilizando las propiedades de la integral definida, calcula el valor de $\int_{3}^{5} f(x) \, dx$.
Considera la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ Calcula el valor de la integral…
Considera la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
Calcula el valor de la integral definida $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ aplicando la propiedad de aditividad de la integral respecto al intervalo de integración.
La integral como magnitud acumulada
Si una cantidad cambia con un cierto ritmo (coste marginal, velocidad, flujo de clientes), el total acumulado entre dos instantes es la integral definida de ese ritmo.
El flujo de clientes que entra en un centro comercial un sábado por la mañana se puede modelizar mediante la función $f(t) = 100 + 20t$ (clientes por hora), donde $t$ es…
El flujo de clientes que entra en un centro comercial un sábado por la mañana se puede modelizar mediante la función $f(t) = 100 + 20t$ (clientes por hora), donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura ($t=0$). Calcula el número total de clientes que han entrado desde la segunda hasta la cuarta hora tras la apertura:
$$\int_{2}^{4} (100 + 20t) \, dt$$Una empresa de mensajería ha estimado que su tasa de variación de ingresos diarios (en cientos de euros) viene dada por la función $I'(t) = 0,3t^2 - 2t + 10$, donde $t$…
Una empresa de mensajería ha estimado que su tasa de variación de ingresos diarios (en cientos de euros) viene dada por la función $I'(t) = 0,3t^2 - 2t + 10$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura ($0 \le t \le 8$). Utiliza la Regla de Barrow para calcular el incremento total de los ingresos entre la tercera hora ($t=3$) y la sexta hora ($t=6$) de su jornada.
El teorema fundamental: funciones definidas por una integral
A veces el límite superior de una integral no es un número fijo, sino una variable (o una función de ella). El resultado es entonces una función, y el teorema fundamental del cálculo dice cómo derivarla sin calcular ninguna primitiva.
Determina el valor del parámetro positivo $k$ para que el área encerrada por la función $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre las rectas $x = 0$ y $x = 3$ sea exactamente de…
Determina el valor del parámetro positivo $k$ para que el área encerrada por la función $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre las rectas $x = 0$ y $x = 3$ sea exactamente de $18$ unidades cuadradas.
Sea la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sabe que tiene un extremo relativo en el punto $P(1, -4)$ y que la integral definida de la función…
Sea la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sabe que tiene un extremo relativo en el punto $P(1, -4)$ y que la integral definida de la función en el intervalo $[0, 3]$ es igual a $0$.
- a) Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.
- b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje de abscisas $OX$.
Dada la función integral $F(x) = \int_{1}^{x^2} \ln(t) \, dt$, definida para $x \geq 1$: a) Utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de la Cadena para…
Dada la función integral $F(x) = \int_{1}^{x^2} \ln(t) \, dt$, definida para $x \geq 1$:
- a) Utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de la Cadena para hallar la función derivada $F'(x)$.
- b) Sin necesidad de calcular la integral de forma explícita, determina si la función $F(x)$ es creciente o decreciente en su dominio y justifica si posee algún punto de inflexión.
- c) Calcula el valor exacto de $F(e)$ integrando por partes.