Rango de una matriz
Una empresa de estudios de mercado recoge las respuestas a varias preguntas de una encuesta en una matriz, una fila por pregunta. Puede ocurrir que una de las preguntas sea, en el fondo, una combinación de las demás: no aporta información nueva. Saber cuántas filas (o columnas) de una matriz son realmente "independientes" es exactamente lo que mide el rango.
Qué mide el rango de una matriz
Si una fila es múltiplo de otra, o es la suma de otras dos, no añade una dirección nueva: "sobra" a efectos de rango, aunque siga ocupando una fila de la matriz.
En una campaña de marketing digital, una empresa analiza el impacto de dos anuncios en redes sociales. Los resultados se organizan en una matriz…
En una campaña de marketing digital, una empresa analiza el impacto de dos anuncios en redes sociales. Los resultados se organizan en una matriz $A = \begin{pmatrix} 120 & 45 \\ 80 & 30 \end{pmatrix}$, donde la primera columna representa los "clics" y la segunda las "compras" realizadas. Calcula el determinante de la matriz $A$ y explica si existe alguna relación de proporcionalidad entre los datos de ambos anuncios.
El rango mediante menores
Un estudiante está diseñando un algoritmo para un videojuego y necesita que una matriz de transformación sea "singular" (es decir, que su determinante sea igual a cero).…
Un estudiante está diseñando un algoritmo para un videojuego y necesita que una matriz de transformación sea "singular" (es decir, que su determinante sea igual a cero). Si la matriz es $M = \begin{pmatrix} x & 4 \\ 9 & x \end{pmatrix}$, halla los posibles valores reales de $x$ para que se cumpla la condición $|M| = 0$.
Calcula el valor del siguiente determinante de orden 3 utilizando la Regla de Sarrus: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Indica paso a…
Calcula el valor del siguiente determinante de orden 3 utilizando la Regla de Sarrus:
$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$Indica paso a paso los productos de las diagonales principales y las secundarias.
El método de los menores orlados
Se consideran las matrices $A$ y $B$ tales que: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ a) Calcula…
Se consideran las matrices $A$ y $B$ tales que:
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$- a) Calcula $|A|$ y $|B|$.
- b) Calcula $|A \cdot B|$ sin realizar la multiplicación de las matrices, justificando qué propiedad utilizas.
- c) ¿Es la matriz $A$ invertible? ¿Y la matriz $B$? Justifica tu respuesta basándote en el valor de sus determinantes.
Una empresa de ciberseguridad utiliza matrices para validar claves de acceso. Para que una clave sea segura, el rango de su matriz asociada debe ser máximo. Considera la…
Una empresa de ciberseguridad utiliza matrices para validar claves de acceso. Para que una clave sea segura, el rango de su matriz asociada debe ser máximo. Considera la matriz de la clave $K$:
$$K = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ k & 1 & -1 \\ -1 & k & 1 \end{pmatrix}$$-
Calcula los valores de $k$ para los cuales la clave no es segura (es decir, el rango de $K$ es menor que 3).
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Si $k = -1$, estudia la dependencia lineal de las filas de la matriz. ¿Cuál es el rango en este caso?
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Para los valores de $k$ que hacen que $|K| = 0$, indica si existe algún menor de orden 2 que sea distinto de cero.
Rango según un parámetro
Cuando la matriz depende de una letra $k$, el rango puede cambiar según el valor que tome. La estrategia es siempre la misma: calcular el determinante más grande posible en función de $k$ (por Laplace o por Gauss), factorizarlo y estudiar qué pasa en sus raíces.
Estudia el rango de la siguiente matriz $M$ en función del valor del parámetro real $k$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Indica…
Estudia el rango de la siguiente matriz $M$ en función del valor del parámetro real $k$:
$$M = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$Indica para qué valores de $k$ el rango es máximo y qué ocurre en los casos críticos.
Rango, determinante y producto de matrices
Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -2$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de:…
Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -2$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de:
- a) $|A^t|$ (determinante de la traspuesta).
- b) $|A^{-1}|$ (determinante de la inversa).
- c) $|3A|$.
- d) El determinante de la matriz resultante de intercambiar las dos primeras columnas de $A$ y multiplicar la tercera fila por $-5$.