Exercicis: Rang d'una matriu

En una campanya de màrqueting digital, una empresa analitza l'impacte de dos anuncis a les xarxes socials. Els resultats s'organitzen en una matriu $A = \begin{pmatrix} 120 & 45 \\ 80 & 30 \end{pmatrix}$, on la primera columna representa els «clics» i la segona les «compres» fetes. La primera fila correspon a l'anunci 1 i la segona a l'anunci 2. La figura representa cada anunci com el vector (clics, compres) des de l'origen.

1. a) Calcula el determinant de la matriu $A$.

1. b) Explica si hi ha alguna relació de proporcionalitat entre les dades dels dos anuncis i com es relaciona amb el valor del determinant i amb la figura.

Calcula el valor del següent determinant d'ordre 3 utilitzant la regla de Sarrus:

Indica pas a pas els productes de les diagonals principals i les secundàries.

Sense necessitat de fer càlculs complexos, justifica utilitzant les propietats dels determinants per què el valor del següent determinant és zero:

Un estudiant està dissenyant un algorisme per a un videojoc i necessita que una matriu de transformació sigui "singular" (és a dir, que el seu determinant sigui igual a zero). Si la matriu és $M = \begin{pmatrix} x & 4 \\ 9 & x \end{pmatrix}$, troba els possibles valors reals de $x$ perquè es compleixi la condició $|M| = 0$.

Determina el rang de la matriu següent $B$ mitjançant l'estudi dels seus menors. Què significa el resultat obtingut respecte a la independència lineal de les seves files?

Calcula el rang de la matriu $C$ utilitzant el mètode de Gauss (fent zeros a sota de la diagonal principal):

Donada la matriu $D$, que representa l'estoc de tres tipus de dessuadores en dues botigues diferents:

Calcula el seu rang i raona si la informació de la segona botiga és independent de la primera o si, per contra, existeix una relació de proporcionalitat entre totes dues.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el rang de la matriu següent sigui igual a 2:

Justifica la teva resposta analitzant el determinant de la matriu.

Carlos ha de determinar el rang de la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \end{pmatrix}$. Per a fer-ho, calcula el determinant format per les dues primeres files i les dues primeres columnes:

A partir d'aquest únic càlcul, Carlos conclou en el seu examen: «Com que aquest menor d'ordre 2 dona zero, les files són dependents i la matriu no pot tenir rang 2 ni 3; per tant, el seu rang és directament 1».

1. a) Identifica l'error conceptual comès per Carlos i explica per què el fet que un menor concret sigui nul no garanteix que el rang sigui inferior a l'ordre d'aquest menor.
2. b) Troba a la matriu $A$ un menor d'ordre 2 no nul que desmenteixi la conclusió de Carlos i demostra quin és el vertader rang de $A$ utilitzant determinants.
3. c) Quina condició s'hauria d'haver complert amb tots els menors d'ordre 2 perquè la conclusió de Carlos hagués estat matemàticament vàlida?

Considera la matriu de coeficients $C \in \mathcal{M}_{3 \times 4}(\mathbb{R})$ associada a la producció de tres plantes industrials:

1. a) Estima: Abans de calcular cap determinant, indica entre quins valors teòrics mínim i màxim s'ha de situar $\operatorname{rg}(C)$ sabent que la matriu no és completament nul·la. Observa amb atenció les tres files: aprecies alguna relació evident de combinació lineal entre elles a simple vista? A partir d'aquesta observació, fes una estimació raonada del valor exacte de $\operatorname{rg}(C)$.
2. b) Comprova: Selecciona un menor d'ordre 2 no nul per assegurar que $\operatorname{rg}(C) \ge 2$. A continuació, orla aquest menor amb la fila i les columnes restants per calcular únicament els determinants d'ordre 3 estrictament necessaris. Determina el rang definitiu de $C$ i valora si la teva estimació inicial era encertada.

Sabent que el determinant d'una matriu quadrada $A$ d'ordre 3 és $|A| = -2$, utilitza les propietats dels determinants per calcular raonadament el valor de:

1. a) $|A^t|$ (determinant de la transposada).
2. b) $|A^{-1}|$ (determinant de la inversa).
3. c) $|3A|$.
4. d) El determinant de la matriu resultant d'intercanviar les dues primeres columnes de $A$ i multiplicar la tercera fila per $-5$.

Estudia el rang de la matriu següent $M$ en funció del valor del paràmetre real $k$:

Indica per a quins valors de $k$ el rang és màxim i què passa en els casos crítics.

En una xarxa de transport logístic, les connexions entre tres centres de distribució ($A$, $B$ i $C$) es poden modelar mitjançant una matriu d'adjacència. El graf següent mostra les rutes directes actives entre els centres:

Si la importància de cada centre depèn de la independència de les seves rutes, donada la matriu de rutes $R$:

Calcula el seu determinant i determina el rang de la matriu $R$. Què significa pedagògicament que el rang sigui màxim en aquest context de connectivitat?

Troba els valors de $x$ per als quals el determinant de la matriu $A$ és igual a zero:

Una vegada trobats, explica quina relació existeix entre les files de la matriu quan $x = 1$.

Donada la matriu no quadrada $B$ de dimensions $3 \times 4$:

1. a) Explica raonadament per què el rang de $B$ no pot ser 4.
2. b) Calcula el rang de la matriu utilitzant el mètode dels menors (orlant menors).

Es consideren les matrius $A$ i $B$ tals que:

1. a) Calcula $|A|$ i $|B|$.
2. b) Calcula $|A \cdot B|$ sense fer la multiplicació de les matrius, justificant quina propietat utilitzes.
3. c) És la matriu $A$ invertible? I la matriu $B$? Justifica la teva resposta basant-te en el valor dels seus determinants.

Tres vectors de l'espai $\mathbb{R}^3$ vénen donats per les files de la matriu $V$:

Determina per a quins valors del paràmetre $m$ aquests tres vectors són linealment dependents. Per fer-ho, utilitza el concepte de determinant i la seva relació amb el rang.

Una empresa de videojocs analitza la seva quota de mercat en tres regions mitjançant una matriu $S$. Perquè el sistema d'anàlisi sigui estable, la matriu ha de tenir rang 3.

1. a) Calcula el determinant de $S$ en funció de $m$.
2. b) Determina si existeix algun valor de $m$ que faci que l'empresa hagi de redissenyar el seu model per tenir un rang menor que 3. En cas afirmatiu, quin seria el rang en aquest cas?

Es considera la matriu quadrada $M$, els elements de la qual depenen de dos paràmetres reals $a$ i $b$:

Respon raonadament a les qüestions següents:

1. a) És possible trobar valors per a $a$ i $b$ de manera que el rang de $M$ sigui exactament 1? Si és possible, calcula'ls; si no ho és, demostra rigorosament per què mitjançant el càlcul d'un menor adequat.
2. b) Obtén la relació algebraica que han de complir $a$ i $b$ perquè la matriu sigui singular (és a dir, perquè $\operatorname{rg}(M) < 3$).
3. c) Proporciona un parell de valors concrets $(a, b)$ que facin que $\operatorname{rg}(M) = 2$. Per a aquesta parella de valors, indica explícitament un menor d'ordre 2 no nul i justifica per què no cal calcular més determinants per assegurar que el rang és 2.

Una empresa logística espanyola coordina el transport de paqueteria entre tres centres de distribució situats a Madrid, Saragossa i Barcelona. L'assignació diària de vehicles es recull a la matriu $T$, les files de la qual representen els centres (Madrid, Saragossa i Barcelona, respectivament) i les columnes de la qual representen el nombre de vehicles dedicats a tres tipus de trajectes (urbans, comarcals i interurbans):

on $k \in \mathbb{R}$ és una partida de vehicles en ruta comarcal assignada a Barcelona, pendent d'auditoria tècnica. La direcció exigeix que els tres centres tinguin perfils operatius linealment independents (rang 3) per garantir que no hi hagi infraestructures redundants.

1. a) Planteja el determinant de $T$ en funció de $k$ i determina el valor crític que provocaria una redundància operativa a la xarxa (és a dir, que $\operatorname{rg}(T) < 3$).
2. b) Si l'auditoria conclou que $k = 30$, calcula el rang de $T$ mitjançant menors orlats, interpreta què significa aquest resultat per a la logística de l'empresa i explicita la relació de combinació lineal que lliga l'operativa de Barcelona amb la de Madrid i Saragossa.
3. c) Si finalment es decideix fixar $k = 35$, es compleix l'exigència d'independència plantejada per la direcció? Justifica-ho calculant el valor del determinant.

Donada la matriu $A$ d'ordre $4 \times 4$ que depèn d'un paràmetre real $a$:

Es demana:

1. Calcula el determinant de $A$ utilitzant el mètode de Gauss o desenvolupant pels elements d'una fila/columna després de fer zeros.

2. Determina el rang de la matriu $A$ per als diferents valors de $a$. Especifica en quins casos la matriu no té inversa.

3. Per al valor $a = 0$, és possible trobar una combinació lineal de les columnes que doni com a resultat la columna nul·la? Justifica la teva resposta basant-te en el valor del rang.

Una empresa de ciberseguretat utilitza matrius per validar claus d'accés. Perquè una clau sigui segura, el rang de la seva matriu associada ha de ser màxim. Considera la matriu de la clau $K$:

1. Calcula els valors de $k$ per als quals la clau no és segura (és a dir, el rang de $K$ és menor que 3).

2. Si $k = -1$, estudia la dependència lineal de les files de la matriu. Quin és el rang en aquest cas?

3. Per als valors de $k$ que fan que $|K| = 0$, indica si existeix algun menor d'ordre 2 que sigui diferent de zero.

Sense desenvolupar directament el determinant, utilitza les propietats d'aquests per demostrar la identitat següent:

Posteriorment, utilitza aquest resultat per trobar el rang de la matriu $M$ en funció dels valors de $x, y, z$:

En un estudi de xarxes socials, s'analitza la influència entre tres comunitats $C_1, C_2$ i $C_3$. La matriu d'interacció $B$ ve donada per:

1. Determina per a quins valors de $m$ la xarxa és "redundant", és a dir, una de les comunitats pot explicar el seu comportament com a combinació lineal de les altres dues.

2. Per a $m = -2$, calcula el rang de $B$ i troba la relació de dependència lineal entre les seves files.

3. Si $|B| \neq 0$, què podem afirmar sobre el sistema de vectors format per les columnes de $B$?

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$, calcula $|A|$ i, utilitzant les propietats dels determinants, troba $|A^T|$, $|A^{-1}|$ i $|A^2|$.

Es diu que una matriu $Q$ és idempotent si verifica que $Q^2 = Q$.

1. Demostra que el determinant de qualsevol matriu idempotent només pot ser $0$ o $1$.

2. Si una matriu idempotent $Q$ d'ordre 3 té determinant $|Q| = 1$, quin ha de ser el seu rang? Justifica la teva resposta.

3. Donada la matriu $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & 0 \end{pmatrix}$, comprova si és idempotent i calcula el seu rang en funció de $a$ i $b$.

Tres amics, l'Àlex, la Bea i la Iratxe, munten una parada de menjar a les festes del seu barri i compren tres tipus d'ingredients ($X, Y, Z$). La matriu $V$ representa les unitats de cada ingredient comprades per cada amic:

On $a$ és la quantitat de l'ingredient $Z$ comprada per la Bea.

1. Determina el valor de $a$ per al qual la llista de compres de la Bea és una combinació lineal de les llistes de l'Àlex i la Iratxe. Què passa amb el rang de $V$ en aquest moment?

2. Si $a = 1$, calcula la matriu inversa $V^{-1}$.

3. Per a $a = -1$, justifica si els vectors fila són linealment independents utilitzant el concepte de determinant.

Per calcular el rang de la matriu rectangular $P \in \mathcal{M}_{3 \times 4}(\mathbb{R})$:

es comparen dos procediments metodològics:

• Estratègia 1 (Cerca exhaustiva): Calcular els $\binom{4}{3} = 4$ possibles menors d'ordre 3 que es formen amb les columnes de $P$.

• Estratègia 2 (Menors orlats): Fixar un menor d'ordre 2 no nul i ampliar-lo de manera sistemàtica.

1. a) Compara raonadament ambdues estratègies en termes d'eficiència: quants determinants d'ordre 3 cal calcular en el millor i en el pitjor dels casos amb cada mètode? Per què el mètode d'orlar evita càlculs innecessaris respecte a provar menors a l'atzar?
2. b) Executa l'Estratègia 2: detecta a simple vista una relació de proporcionalitat entre dues columnes de $P$, selecciona estratègicament un menor d'ordre 2 que eviti càlculs complexos, orla amb les columnes restants i dedueix el valor exacte de $\operatorname{rg}(P)$.
3. c) Imagina que a la matriu $P$ se li afegeix una quarta fila definida com a $F_4 = F_1 + F_2$, de manera que s'obté una matriu quadrada $Q$ d'ordre $4 \times 4$. Sense calcular cap determinant addicional, raona quin serà el valor de $\operatorname{rg}(Q)$ i justifica quina propietat dels determinants o de la independència lineal sustenta la teva conclusió.

En un estudi sobre transferències econòmiques entre tres sectors productius s'utilitza la matriu paramètrica $A(t) \in \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R})$:

on $t \in \mathbb{R}$ és una taxa d'intercanvi intersectorial.

1. a) Calcula el determinant de $A(t)$ factoritzant-lo per complet com a producte de factors lineals simples, i determina tots els valors de $t$ per als quals la matriu és singular (és a dir, $\operatorname{rg}(A(t)) < 3$).
2. b) Per a cadascun dels valors crítics trobats a l'apartat anterior, estudia el rang de la matriu indicant en cada cas un menor no nul d'ordre maximal.
3. c) Problema invers: Dissenya una condició sobre el paràmetre $t$ perquè el rang es redueixi al seu valor mínim possible. Quin és aquest valor mínim i per a quin valor de $t$ s'assoleix? Justifica per què el rang no pot ser mai 0.
4. d) Considera el vector columna $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ i forma la matriu ampliada $M = (A(t) \mid B)$ de dimensions $3 \times 4$. Sense fer operacions per determinants ni triangulació, dedueix de manera purament raonada quant val $\operatorname{rg}(M)$ en els casos $t = 1$ i $t = 0$, basant-te en la relació de dependència lineal entre les columnes de $A(t)$ i la columna $B$.

Repte del tema. Cap a on evoluciona el mercat laboral a la teva comunitat? Analitzaràs les dinàmiques d'ocupació modelitzant-les com un sistema matricial amb dades oficials.

1. Presa de dades: Accedeix al web de l'INE (EPA) i recopila les taxes de transició trimestral entre tres estats: ocupat, aturat i inactiu. Construeix una matriu quadrada $P$ d'ordre 3 verificant que les seves files compleixin les propietats de les probabilitats (valors a $[0, 1]$ que sumen $1,0$).

2. Anàlisi algebraica: A la teva llibreta, troba el determinant de $P$ aplicant el mètode de Laplace recolzant-te en determinants d'ordre 2. Calcula el rang de la matriu mitjançant el mètode de Gauss i dedueix, aplicant les propietats dels determinants, si $P$ té matriu inversa.

3. Simulació i informe: En un full de càlcul, calcula $P^{-1}$ per estimar el vector de població del trimestre anterior a partir de les dades vigents. Elabora un informe breu (una pàgina) que reculli els càlculs i interpreti si el sistema laboral és estable o vulnerable.

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de dades reals i formulació de la matriu estocàstica.

• Aplicació correcta del rang (Gauss), determinant (Laplace i ordre 2) i inversa.

• Interpretació socioeconòmica crítica dels resultats i ús del full de càlcul.