Exercicis: Propietats dels determinants

Suposa que estàs analitzant una matriu $A$ d'ordre $2 \times 2$ que representa els beneficis de dues sucursals d'una botiga de roba a Madrid i Barcelona. El determinant d'aquesta matriu és $|A| = 12$.

Calcula, sense realitzar el desenvolupament complet, el valor dels determinants següents aplicant les propietats corresponents:

1. a) El determinant de la transposada de la matriu: $|A^t|$.
2. b) El determinant de la matriu si intercanviem la fila de Madrid per la de Barcelona.
3. c) El determinant de la matriu si els beneficis de totes dues ciutats es dupliquessin (és a dir, calculant $|2 \cdot A|$).

Una aplicació de disseny gràfic emmagatzema les coordenades d'un logotip en una matriu $M$ d'ordre 3. El sistema ens informa que el determinant d'aquesta matriu és $|M| = 0$.

Explica raonadament què pots afirmar sobre les files de la matriu $M$. Existeix la matriu inversa $M^{-1}$? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats dels determinants.

Dada la matriu següent $B$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

Indica, sense necessitat d'aplicar la regla de Sarrus, quin és el valor del seu determinant $|B|$. Esmenta la propietat específica que t'ha permès arribar a aquesta conclusió de manera immediata.

En un videojoc d'estratègia, la força d'atac de dues unitats ve donada pel determinant de la matriu $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Sabem que el valor d'aquest determinant és $|A| = -5$.

Si el jugador activa un "potenciador" que triplica únicament els valors de la primera fila, quin serà el nou valor del determinant? Justifica la teva resposta amb la propietat de la multiplicació d'una línia per un nombre real.

Considera dues matrius quadrades $X$ i $Y$ d'ordre 3. Se sap que $|X| = 4$ i $|Y| = -2$.

Calcula el valor del determinant del producte de totes dues matrius, $|X \cdot Y|$, indicant quina propietat estàs utilitzant.

Sense calcular el valor dels determinants, justifica per què el determinant següent és igual a zero:

$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 1 & 0 & 7 \\ 3 & 6 & 12 \end{vmatrix}$

(Pista: Observa la relació entre la primera i la tercera fila).

Se sap que el determinant d'una matriu $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ és igual a $7$.

A partir d'aquesta informació, calcula el valor del determinant de la matriu $B = \begin{pmatrix} z & t \\ x & y \end{pmatrix}$. Quina propietat has aplicat per saber si el signe canvia o es manté?

Dada una matriu $C$ d'ordre 3 amb una columna formada íntegrament per zeros:

$C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \\ 9 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Raona, sense utilitzar la regla de Sarrus, per què el determinant d'aquesta matriu és necessàriament zero.

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials, en Lucas ha de calcular el determinant de la matriu $3M$ i el de la matriu inversa $M^{-1}$, sabent que $M$ és una matriu quadrada d'ordre $2$ amb $|M| = 6$. En Lucas redacta la resposta següent:

«Com que $|M| = 6$, en multiplicar per $3$ tenim que $|3M| = 3 \cdot |M| = 3 \cdot 6 = 18$. D'altra banda, com que l'exponent $-1$ indica l'oposat, el determinant de la inversa canvia de signe: $|M^{-1}| = -|M| = -6$».

1. a) Localitza i explica de manera raonada els dos errors conceptuals comesos per en Lucas, indicant quina propietat dels determinants contradiu en cada cas.
2. b) Fes els càlculs correctes per obtenir el valor veritable de $|3M|$ i de $|M^{-1}|$.

Una consultora financera treballa amb una matriu $A$ d'ordre $3$ el determinant de la qual és $|A| = -4$. Per simular diferents escenaris econòmics, es fan dues modificacions consecutives sobre $A$: primer s'intercanvien entre si la primera i la segona fila, i a continuació es multiplica la tercera fila per $-2$, obtenint una nova matriu $B$.

1. a) Abans de calcular el valor numèric, estima raonadament el signe de $|B|$: serà positiu o negatiu? Justifica la teva predicció analitzant l'efecte qualitatiu que té cadascuna de les dues transformacions sobre el determinant original.
2. b) Calcula amb precisió el valor numèric de $|B|$ aplicant pas a pas les propietats corresponents.
3. c) Comprova si el resultat obtingut confirma la teva estimació inicial i explica per què el valor absolut del determinant final s'ha duplicat respecte a l'inicial.

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre 3 el determinant de la qual és $|A| = -2$. Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, calcula el valor dels determinants següents justificant cada pas:

1. a) $|A^t|$, on $A^t$ és la matriu trasposada de $A$.

1. b) $|3A|$.

1. c) $|A^{-1}|$, suposant que $A$ és regular.

1. d) El determinant de la matriu resultant d'intercanviar la primera i la tercera fila de $A$.

Donades dues matrius quadrades $A$ i $B$ d'ordre 3, es sap que $|A| = 5$ i $|B| = -1$. Calcula, si és possible, el valor del determinant de les matrius següents:

1. a) $A \cdot B^2$

1. b) $(A \cdot B)^t$

1. c) $2 \cdot (A \cdot B)^{-1}$

1. d) $A + B$

Sense necessitat de desenvolupar el determinant mitjançant la regla de Sarrus, justifica raonadament per què el valor del determinant següent és igual a zero:

$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2a+3 & 2b+3 & 2c+3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} $

Una empresa de logística organitza les seves rutes entre tres ciutats principals ($C_1, C_2, C_3$). La intensitat de trànsit entre elles es representa per una matriu $M$ d'ordre 3. Si sabem que el determinant d'aquesta matriu és $|M| = 10$, calcula el valor del determinant d'una nova matriu $N$ que s'ha obtingut fent les operacions següents sobre $M$:

1. S'ha multiplicat la segona fila per $5$.

2. S'ha sumat a la tercera fila el triple de la primera.

3. S'han intercanviat la primera i la segona columna.

Sabent que el valor del determinant és $ \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 4$, utilitza les propietats dels determinants per calcular el valor de:

$ \begin{vmatrix} 3x & 3y & 3z \\ 2 & 0 & 6 \\ 2+x & -1+y & 1+z \end{vmatrix} $

Tres joves emprenedors analitzen l'impacte de les seves xarxes socials. La matriu d'influència $I$ té un determinant $|I| = k$. Es descobreix que si dupliquen el pressupost en publicitat (cosa que equival a multiplicar tota la matriu per $2$), el nou determinant és $|2I| = 160$.

1. a) Si la matriu d'influència és d'ordre $3 \times 3$, calcula el valor original del determinant $k$.

1. b) Si la matriu fos d'ordre $2 \times 2$ i el determinant de $2I$ continués sent $160$, canviaria el valor de $k$? Calcula'l.

Justifica les teves respostes aplicant la propietat del producte d'una matriu per un escalar: si $A$ és d'ordre $n$, llavors $|t \cdot A| = t^n \cdot |A|$.

Troba els valors del paràmetre $a$ per als quals la matriu següent $A$ no té inversa, utilitzant les propietats per simplificar el càlcul del determinant abans d'igualar a zero:

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$

(Pista: Intenta fer zeros a la primera columna abans de desenvolupar).

Determina si les afirmacions següents són certes o falses, raonant la teva resposta mitjançant les propietats dels determinants:

1. a) Si una matriu $A$ té una fila que és el doble d'una altra, aleshores el seu determinant és sempre el doble del determinant de la matriu identitat.

1. b) Per a qualsevol matriu quadrada $A$, es compleix que $|-A| = -|A|$.

1. c) Si $|A| = 0$, aleshores almenys una de les files de la matriu $A$ és una combinació lineal de les altres.

1. d) El determinant del producte d'una matriu per la seva inversa és sempre 1.

Un equip de l'Institut d'Estadística modelitza el flux de mercaderies entre tres comunitats autònomes (Galícia, Castella i Lleó i Astúries) mitjançant una matriu quadrada $T$ d'ordre $3$, les files de la qual representen l'origen de les mercaderies i les columnes de la qual representen la destinació (en milions d'euros). L'anàlisi preliminar mostra que el determinant d'aquesta matriu és $|T| = 15$.

1. a) A causa d'una harmonització fiscal, s'aplica un recàrrec impositiu homogeni del $10\,\%$ sobre totes les transaccions interautonòmiques, de manera que cada element de la matriu es multiplica per $1,1$, donant lloc a la matriu $T_1 = 1,1 \cdot T$. Utilitza les propietats dels determinants per calcular $|T_1|$ i interpreta per què el determinant no augmenta únicament un $10\,\%$.
2. b) Un pla de xoc regional subvenciona exclusivament la producció d'Astúries, aconseguint duplicar tots els valors de la tercera fila (les exportacions d'Astúries), mentre les altres files romanen intactes, generant la matriu $T_2$. Determina el valor de $|T_2|$ indicant la propietat emprada.
3. c) En un escenari de crisi, s'observa que la balança d'exportació de Galícia (fila 1) passa a ser combinació lineal de les altres dues ($F_1 = 0,6 \cdot F_2 + 0,4 \cdot F_3$). Justifica, sense necessitat de conèixer els nombres concrets, quant valdrà el determinant de la matriu en aquest escenari i quina implicació té sobre la invertibilitat del sistema.

Es vol construir una expressió matricial $B$ a partir d'una matriu donada $A$ d'ordre $3$ el determinant de la qual és $|A| = -2$.

1. a) Dissenya una expressió per a $B$ de la forma $B = k \cdot (A^t)^m \cdot A^{-1}$, determinant de manera raonada un nombre enter $k > 0$ i un exponent $m \in \{1, 2\}$ tals que el determinant resultant sigui exactament $|B| = -54$. Mostra el desenvolupament algebraic aplicant les propietats del determinant d'un producte, de la transposada, de la inversa i del producte per un escalar que validen la teva elecció.
2. b) Construeix un exemple explícit d'una matriu $C$ d'ordre $3 \times 3$, que no contingui cap element nul ($c_{ij} \neq 0$) i en la qual cap fila sigui un múltiple directe d'una altra, però el determinant de la qual sigui $|C| = 0$. Justifica per què el seu determinant és nul identificant amb precisió la combinació lineal existent entre les seves files.

Sigui $A$ una matriu quadrada d'ordre $3$ tal que el seu determinant és $|A| = \frac{1}{2}$. Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, calcula de forma raonada el valor del determinant de la matriu $B$, sabent que:

$B = (2A^t \cdot A^{-1})^2$

On $A^t$ és la matriu trasposada de $A$ i $A^{-1}$ és la seva matriu inversa. Justifica cada pas esmentant la propietat aplicada.

Sabent que el valor del determinant de la matriu $M$ és $|M| = k$, calcula, sense desenvolupar per Sarrus, el valor del determinant de la matriu $N$ en funció de $k$:

$M = \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = k \quad \quad N = \begin{vmatrix} p+x & q+y & r+z \\ 3a & 3b & 3c \\ -2x & -2y & -2z \end{vmatrix}$

Una empresa de logística organitza les seves rutes entre tres magatzems principals ($A_1, A_2, A_3$). El flux de mercaderies es pot representar mitjançant una matriu $C$ on l'element $c_{ij}$ indica la capacitat de transport entre el magatzem $i$ i el $j$. Es sap que la matriu és:

$C = \begin{pmatrix} 1 & m & 0 \\ m & 1 & m \\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}$

Determina, utilitzant el concepte de determinant i rang, per a quins valors del paràmetre $m$ l'estructura de transport de l'empresa presenta redundàncies (és a dir, les rutes són linealment dependents i el rang és menor que 3).

Troba totes les solucions reals de la següent equació, utilitzant les propietats dels determinants per simplificar l'expressió abans de calcular-la:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & a & b \\ x^2 & a^2 & b^2 \end{vmatrix} = 0$

Suposa que $a$ i $b$ són nombres reals diferents entre si ($a \neq b$). Explica la relació entre les solucions trobades i la dependència lineal de les files de la matriu.

Sigui la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$.

1. a) Determina per a quins valors de $m$ la matriu $A$ no té inversa.
2. b) Per a $m = 2$, calcula el determinant de la matriu adjunta de $A$, és a dir, $|Adj(A)|$, aplicant propietats sense necessitat de calcular explícitament la matriu adjunta.

Es considera una matriu quadrada $X$ d'ordre $3$ que satisfà la següent equació matricial:

$X^2 - 3X = 0$

Demostra raonadament que el determinant de $X$ només pot prendre dos valors possibles. Quins són? Justifica si una matriu que compleixi aquesta condició és necessàriament singular.

Donada la matriu $B = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula el seu determinant simplificant mitjançant operacions elementals de fila o columna.
2. b) Determina el rang de $B$ segons els valors del paràmetre real $k$. Analitza amb un detall especial el cas en què el rang de la matriu sigui igual a $1$.

Resol el següent sistema d'equacions matricials per a $X$ i $Y$, utilitzant determinants per verificar l'existència de les inverses necessàries:

$\begin{cases} AX + Y = B \\ X + AY = C \end{cases}$

On $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Nota: Has d'aïllar $X$ i $Y$ en funció de $A, B$ i $C$ abans de fer els càlculs numèrics.

Per calcular el determinant de la família de matrius $M(x) = \begin{pmatrix} x+2 & x & x \\ x & x+2 & x \\ x & x & x+2 \end{pmatrix}$ i estudiar per a quins valors de $x$ la matriu no té inversa, dos estudiants proposen mètodes diferents:

• Mètode 1 (Directe per Sarrus): Desenvolupar completament els sis productes de la regla de Sarrus, agrupar termes semblants per obtenir un polinomi de tercer grau i factoritzar-lo mitjançant la regla de Ruffini.

• Mètode 2 (Propietats dels determinants): Sumar a la primera fila les altres dues ($F_1 \leftarrow F_1 + F_2 + F_3$), extreure el factor comú resultant fora del determinant i, a continuació, restar la primera columna a les altres dues per triangular la matriu.

1. a) Aplica tots dos procediments pas a pas fins a obtenir l'expressió totalment factoritzada de $|M(x)|$.
2. b) Compara críticament la càrrega de càlcul i la propensió a l'error algebraic en cada mètode. Justifica raonadament per què el Mètode 2 és superior i com es comportaria cada mètode si la matriu fos d'ordre $4 \times 4$ o superior.
3. c) A partir de la factorització obtinguda, determina de manera argumentada els valors reals de $x$ per als quals la matriu $M(x)$ és singular (no invertible).

Siguin $A$ i $B$ dues matrius quadrades d'ordre $3$ tals que cap d'elles és la matriu nul·la. Se sap que totes dues verifiquen la identitat matricial:

$$A \cdot B = -2 A^t$$

i es coneix que la matriu $A$ és regular ($|A| \neq 0$).

1. a) Demostra formalment, utilitzant exclusivament les propietats dels determinants, que la matriu $B$ és necessàriament invertible i calcula el valor numèric exacte de $|B|$.
2. b) Un alumne afirma en el seu lliurament: «Com que $A \cdot B = -2 A^t$, podem concloure que $|A + B| = |A| + |B|$ aplicant determinants a cada sumand». Refuta de manera rigorosa aquesta afirmació explicant la fal·làcia teòrica comesa i proporciona un contraexemple numèric senzill amb matriusROW diagonals d'ordre $2$ on s'evidenciï que $|X + Y| \neq |X| + |Y|$.
3. c) Sabent que $|A| = 3$, calcula el valor numèric del determinant de la matriu $C = (2 B^{-1} \cdot A)^t$, justificant de manera explícita cadascuna de les propietats emprades en la simplificació.