Propiedades de los determinantes

Supón que estás analizando una matriz $A$ de orden $2 \times 2$ que representa los beneficios de dos sucursales de una tienda de ropa en Madrid y Barcelona. El determinante de esta matriz es $|A| = 12$.

Calcula, sin realizar el desarrollo completo, el valor de los siguientes determinantes aplicando las propiedades correspondientes:

1. a) El determinante de la traspuesta de la matriz: $|A^t|$.
2. b) El determinante de la matriz si intercambiamos la fila de Madrid por la de Barcelona.
3. c) El determinante de la matriz si los beneficios de ambas ciudades se duplicaran (es decir, calculando $|2 \cdot A|$).

Dada una matriz $C$ de orden 3 con una columna formada íntegramente por ceros:

$C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \\ 9 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Razona, sin utilizar la regla de Sarrus, por qué el determinante de esta matriz es necesariamente cero.

Una aplicación de diseño gráfico almacena las coordenadas de un logotipo en una matriz $M$ de orden 3. El sistema nos informa que el determinante de dicha matriz es $|M| = 0$.

Explica razonadamente qué puedes afirmar sobre las filas de la matriz $M$. ¿Existe la matriz inversa $M^{-1}$? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de los determinantes.

Sin calcular el valor de los determinantes, justifica por qué el siguiente determinante es igual a cero:

$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 1 & 0 & 7 \\ 3 & 6 & 12 \end{vmatrix}$

(Pista: Observa la relación entre la primera y la tercera fila).

Dada la siguiente matriz $B$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

Indica, sin necesidad de aplicar la regla de Sarrus, cuál es el valor de su determinante $|B|$. Menciona la propiedad específica que te ha permitido llegar a esa conclusión de forma inmediata.

Considera dos matrices cuadradas $X$ e $Y$ de orden 3. Se sabe que $|X| = 4$ e $|Y| = -2$.

Calcula el valor del determinante del producto de ambas matrices, $|X \cdot Y|$, indicando qué propiedad estás utilizando.

En un videojuego de estrategia, la fuerza de ataque de dos unidades viene dada por el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Sabemos que el valor de este determinante es $|A| = -5$.

Si el jugador activa un "potenciador" que triplica únicamente los valores de la primera fila, ¿cuál será el nuevo valor del determinante? Justifica tu respuesta con la propiedad de la multiplicación de una línea por un número real.

Se sabe que el determinante de una matriz $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ es igual a $7$.

A partir de esta información, calcula el valor del determinante de la matriz $B = \begin{pmatrix} z & t \\ x & y \end{pmatrix}$. ¿Qué propiedad has aplicado para saber si el signo cambia o se mantiene?

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es $|A| = -2$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula el valor de los siguientes determinantes justificando cada paso:

1. a) $|A^t|$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$.

1. b) $|3A|$.

1. c) $|A^{-1}|$, suponiendo que $A$ es regular.

1. d) El determinante de la matriz resultante de intercambiar la primera y la tercera fila de $A$.