Exercicis: Mètode de Gauss

Una botiga petita de videojocs porta el control de les seves vendes de dos títols ($V_1$ i $V_2$) durant els dos primers dies de la setmana. Les dades s'organitzen en la matriu següent $A$:

$A = \begin{pmatrix} 12 & 5 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$

Calcula el determinant de la matriu $A$ per comprovar si els vectors de vendes són linealment independents.

Calcula el valor del determinant següent d'ordre 3 utilitzant la regla de Sarrus:

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix}$

Sense fer cap càlcul complex, raona per què el determinant de la matriu $B$ és igual a zero aplicant les propietats dels determinants:

$B = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 4 & -6 & 10 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Dada la matriu següent $M$, realitza l'operació elemental entre files $F_2 = F_2 - 2F_1$ per aconseguir un zero en l'element $a_{21}$ i escriu la nova matriu resultant. Varia el valor del determinant en realitzar aquesta operació?

$M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$

El mètode de Gauss ens permet calcular determinants transformant la matriu en una «triangular superior». Calcula el determinant de la matriu següent $T$, sabent que ja està esglaonada (és triangular superior):

$T = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

A la figura s'han marcat la diagonal principal i els zeros situats sota d'aquesta.

Utilitza el mètode de Gauss per calcular el determinant de la matriu $A$. Per a fer-ho, fes zeros a la primera columna per sota del primer element:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

Determina per a quin valor del paràmetre $k$ el determinant de la matriu següent és nul, utilitzant el mètode de Gauss per simplificar la matriu:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & k \end{pmatrix}$

Aplica el mètode de Gauss per transformar el determinant següent en el d'una matriu triangular i troba el seu valor final:

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix}$

En Marcos ha de calcular el determinant de la matriu $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ aplicant el mètode de Gauss. En el seu examen fa el desenvolupament següent:

«Per evitar treballar amb fraccions en el pivot de la primera columna, aplico l'operació elemental $F_2 \to 2F_2 - 3F_1$. Obtinc així la matriu $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & -13 \end{pmatrix}$, que ja és triangular superior. Per tant, el determinant de la matriu original és $|A| = 2 \cdot (-13) = -26$».

La seva professora li indica que el procediment conté un error conceptual greu.

1. a) Identifica i explica raonadament l'error comès per en Marcos sobre com afecta l'operació elemental realitzada al valor del determinant.
2. b) Corregeix el seu raonament per obtenir el valor real de $|A|$, mantenint la idea d'en Marcos de no introduir fraccions durant la triangulació.

Considera la matriu de coeficients $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 10 & 5 \\ 2 & 6 & 11 \end{pmatrix}$, associada a un model de costos de transport:

1. a) Abans de calcular el determinant, observa que els elements de la diagonal principal són estrictament positius i dominen en magnitud els de la seva fila, i que no hi ha files proporcionals. A partir d'aquestes observacions, fes una estimació justificada sobre si el determinant $|M|$ resultarà ser nul, estrictament positiu o estrictament negatiu.
2. b) Aplica el mètode de Gauss realitzant exclusivament transformacions del tipus $F_i \to F_i + kF_j$ (que no modifiquen el determinant) per transformar $M$ en una matriu triangular superior i calcula el valor exacte de $|M|$.
3. c) Comprova si el signe obtingut coincideix amb la teva estimació. Si un company afirmés que el determinant es pot estimar simplement multiplicant la diagonal original ($1 \cdot 10 \cdot 11 = 110$), raona a la llum de les operacions de Gauss realitzades per què aquesta estimació sobrevalora el resultat real.

Calcula el valor del determinant següent d'ordre 4 transformant-lo prèviament en una matriu triangular superior mitjançant el mètode de Gauss (fent zeros per sota de la diagonal principal):

Una empresa de logística organitza les seves rutes mitjançant una matriu de costos $M$. Perquè el sistema sigui eficient, el determinant d'aquesta matriu no ha de ser nul. Aplica transformacions de fila (Gauss) per determinar si la matriu següent és regular (el seu determinant és diferent de zero):

Quina relació de dependència lineal observes entre les seves files després de realitzar el primer pas del mètode de Gauss?

Dada la matriu $A$, utilitza les propietats dels determinants i el mètode de Gauss per obtenir un determinant equivalent que tingui una fila amb dos zeros, i calcula el seu valor final:

En l'estudi d'un mercat financer, s'ha obtingut una matriu que depèn d'un paràmetre $k$. Troba, utilitzant el mètode de Gauss per simplificar el determinant, els valors de $k$ per als quals el rang de la matriu és menor que 3:

Sabent que el determinant d'una matriu $3 \times 3$ és $|B| = 12$, utilitza les transformacions de Gauss i les propietats dels determinants per calcular raonadament el valor de $|B'|$, on $B'$ és la matriu resultant de sumar a la tercera fila de $B$ la primera fila multiplicada per 5.

Calcula el rang de la matriu següent utilitzant el mètode de Gauss (escalonament). Explica quantes files linealment independents queden al final del procés:

Un dissenyador gràfic utilitza matrius per transformar figures. La "deformació" de la figura depèn del determinant de la matriu de transformació. Aplica Gauss per calcular el determinant de la matriu següent d'ordre 3 i comprova si la figura manté la seva àrea (això passa si el determinant és 1 o -1):

Resol l'equació següent, utilitzant el mètode de Gauss per simplificar el determinant del primer membre abans de desenvolupar:

Per analitzar l'equilibri de quatre sectors econòmics interconnectats es planteja calcular el determinant de la matriu:

Un equip de treball proposa tres camins diferents:

• Estratègia 1: Aplicar directament la regla de Sarrus a la matriu $4 \times 4$.

• Estratègia 2: Desenvolupar pels elements de la primera columna mitjançant la regla de Laplace (adjunts).

• Estratègia 3: Triangularitzar la matriu pel mètode de Gauss combinant operacions elementals de fila.

1. a) Descarta de manera justificada l'estratègia que sigui matemàticament incorrecta o no aplicable a aquesta matriu.
2. b) Compara la càrrega operativa (nombre de determinants menors que caldria calcular enfront del nombre de combinacions de files necessàries) entre les dues estratègies vàlides i justifica quina és més eficient per a aquest cas.
3. c) Aplica l'estratègia més eficient que has triat per calcular $|B|$, explicant detalladament l'efecte sobre el signe del determinant de cada operació elemental que utilitzis.

Un estudiant ha començat a triangularitzar una matriu $A$ d'ordre 3 per calcular el seu determinant pel mètode de Gauss, però part de les seves anotacions s'han esborrat. Al seu quadern només es pot llegir amb claredat el següent:

1r) Matriu original incompleta: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & x & 1 \\ -1 & 1 & y \end{pmatrix}$, on $x$ i $y$ són nombres reals.

2n) Operacions elementals successives realitzades: primer $F_2 \to F_2 - 2F_1$ i $F_3 \to F_3 + F_1$; després, sobre la matriu resultant, l'operació $F_3 \to F_3 - F_2$.

3r) Matriu triangular superior final obtinguda: $T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Reconstrueix raonadament els valors de les incògnites $x$ i $y$ de la matriu original a partir de les operacions elementals descrites.
2. b) Justifica, indicant les propietats del determinant associades a les operacions de Gauss emprades, quin és el valor exacte de $|A|$.
3. c) Si en el procés l'estudiant hagués substituït la segona fila mitjançant l'operació $F_2 \to 3F_2 - 2F_1$ en lloc de $F_2 \to F_2 - 2F_1$, quin hauria estat el determinant de la matriu triangular final resultant? Justifica-ho sense necessitat de refer tots els càlculs.

Es considera la matriu d'ordre 4 dependent d'un paràmetre real $k$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+k^3 \end{pmatrix}$

Utilitza el mètode de Gauss (triangulació) per transformar la matriu i calcula el seu determinant en funció de $k$. Posteriorment, discuteix per a quins valors de $k$ la matriu no admet inversa.

Dades les matrius quadrades $A$ i $B$ d'ordre 3 tals que $|A| = -2$ i $|B| = 5$, resol l'equació següent per determinar el valor del determinant de la matriu incògnita $X$:

$| (2 \cdot A^t \cdot X)^{-1} \cdot B | = \frac{1}{10}$

Nota: Has d'aplicar les propietats dels determinants (determinant de la inversa, de la transposada, del producte per un escalar i del producte de matrius) per aïllar $|X|$.

Estudia el rang de la matriu següent $A$ segons els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$, emprant el mètode de Gauss:

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & a & a & 2 \end{pmatrix}$

Descriu detalladament totes les situacions possibles per al rang de la matriu en funció de les relacions entre $a$ i $b$.

Una empresa de logística organitza la distribució de mercaderies entre quatre nodes principals. Si la matriu de connectivitat del sistema és $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, demostra, utilitzant el mètode de Gauss, que el seu determinant és nul i interpreta què significa aquest resultat respecte a la dependència lineal de les rutes de transport (files de la matriu).

Troba la matriu inversa de $A$ mitjançant l'algorisme de Gauss-Jordan (transformant $(A|I)$ en $(I|A^{-1})$):

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Suggereiment: Realitza primer el producte de les dues matrius triangulars i després aplica Gauss-Jordan sobre la matriu resultant.

En un model sociològic de mobilitat de classes, la matriu $P$ representa la probabilitat de transició entre tres estrats socials en una generació. Se sap que el sistema aconsegueix un equilibri quan es compleix l'equació matricial $(P^t - I) \cdot X = 0$, on $I$ és la matriu identitat.

Dada $P = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,2 & 0,2 & 0,6 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula el determinant de la matriu $M = P^t - I$ fent servir el mètode de Gauss.
2. b) A partir del resultat anterior, justifica si les files de $M$ són linealment independents i què implica això per al rang de la matriu.

Resol el valor del determinant següent d'ordre 4 aplicant les propietats de les línies i reduint-lo a un determinant triangular mitjançant Gauss:

$D = \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ a & a & b & c \\ a & a & a & b \\ a & a & a & a \end{vmatrix}$

Expressa el resultat final factoritzat en termes de $a$, $b$, $c$ i $d$.

Determina per a quins valors del paràmetre real $m$ el rang de la matriu següent és exactament 2, utilitzant el mètode de Gauss:

$B = \begin{pmatrix} 1 & m & m^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & m+2 & m^2+2 \end{pmatrix}$

Per als valors trobats, indica quina fila és combinació lineal de les altres dues.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) modelitza la distribució de la despesa turística (en centenars de milers d'euros) en tres comunitats autònomes espanyoles —Andalusia ($C_1$), Catalunya ($C_2$) i Illes Balears ($C_3$)— segons tres canals de reserva. La matriu de coeficients del model depèn d'un índex estacional $a \in \mathbb{R}$:

Per garantir que el model de repartiment tingui solució única i independent, cal que la matriu no sigui singular ($|M(a)| \ne 0$).

1. a) Aplica el mètode de Gauss mitjançant transformacions del tipus $F_i \to F_i + kF_j$ per triangularitzar la matriu $M(a)$ i obtén l'expressió algebraica factoritzada del seu determinant en funció de $a$.
2. b) Determina per a quins valors de l'índex estacional $a$ el model perd la regularitat (el determinant es fa zero).
3. c) Per al cas concret $a = 0$, interpreta què passa entre les tres comunitats autònomes: demostra la relació de dependència lineal exacta que hi ha entre les files de $M(0)$ utilitzant únicament els coeficients de les operacions de Gauss que has aplicat a l'apartat a).

En estudiar la invertibilitat d'una matriu d'ordre 4 dependent d'un paràmetre real $k$, la Clara planteja calcular el seu determinant pel mètode de Gauss:

Per a això, aplica les operacions $F_2 \to F_2 - F_1$, $F_3 \to F_3 - 2F_1$ i $F_4 \to F_4 - F_1$, i obté:

Tot seguit, la Clara redacta en el seu examen:

«Per acabar Gauss i fer uns als pivots necessito dividir $F_2$ entre $(k-1)$ i $F_3$ entre $k$. Per tant, si $k = 1$ o $k = 0$, el mètode de Gauss no és aplicable i el determinant no es pot calcular per aquesta via. Per a $k \notin \{0, 1\}$, el determinant és el producte de la diagonal: $|A(k)| = k(k-1)^2$, per tant la matriu admet inversa únicament si $k \ne 0$ i $k \ne 1$».

1. a) Localitza i explica raonadament els dos errors conceptuals comesos per la Clara: un sobre la necessitat d'aconseguir uns a la diagonal per calcular determinants i un altre sobre la validesa del mètode de Gauss en els casos $k = 0$ i $k = 1$.
2. b) Demostra formalment que $T(k)$ és una matriu triangular superior per a qualsevol valor real de $k$ i justifica per què la fórmula $|A(k)| = k(k-1)^2$ és vàlida per a tot $k \in \mathbb{R}$, incloent-hi $k = 0$ i $k = 1$.
3. c) Si abans de triangularitzar s'haguessin intercanviat les columnes 2 i 3 ($C_2 \leftrightarrow C_3$), explica com afectaria aquest pas previ a la triangulació de Gauss, quina precaució s'ha de prendre amb el signe del determinant i comprova si s'arriba a les mateixes conclusions sobre els valors de $k$ per als quals existeix la inversa d'$A(k)$.