Método de Gauss para calcular determinantes
En 1º de Bachillerato calculaste determinantes de orden 2 y 3 con la regla de Sarrus. Esa regla no existe para orden 4 o superior. El método de Gauss resuelve el problema: convierte cualquier matriz en triangular usando operaciones que no cambian el determinante (o que lo cambian de una forma controlada), y entonces basta multiplicar la diagonal.
El determinante de una matriz triangular
Una pequeña tienda de videojuegos lleva el control de sus ventas de dos títulos ($V_1$ y $V_2$) durante los dos primeros días de la semana. Los datos se organizan en la…
Una pequeña tienda de videojuegos lleva el control de sus ventas de dos títulos ($V_1$ y $V_2$) durante los dos primeros días de la semana. Los datos se organizan en la siguiente matriz $A$:
$A = \begin{pmatrix} 12 & 5 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$
Calcula el determinante de la matriz $A$ para comprobar si los vectores de ventas son linealmente independientes.
Dada la siguiente matriz $M$, realiza la operación elemental entre filas $F_2 = F_2 - 2F_1$ para conseguir un cero en el elemento $a_{21}$ y escribe la nueva matriz…
Dada la siguiente matriz $M$, realiza la operación elemental entre filas $F_2 = F_2 - 2F_1$ para conseguir un cero en el elemento $a_{21}$ y escribe la nueva matriz resultante. ¿Varía el valor del determinante al realizar esta operación?
$M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$
Qué le pasa al determinante con cada operación
Una empresa de logística organiza sus rutas mediante una matriz de costes $M$. Para que el sistema sea eficiente, el determinante de dicha matriz no debe ser nulo.…
Una empresa de logística organiza sus rutas mediante una matriz de costes $M$. Para que el sistema sea eficiente, el determinante de dicha matriz no debe ser nulo. Aplica transformaciones de fila (Gauss) para determinar si la siguiente matriz es regular (su determinante es distinto de cero):
$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 11 \end{pmatrix} $$¿Qué relación de dependencia lineal observas entre sus filas tras realizar el primer paso del método de Gauss?
Triangular paso a paso
Calcula el valor del siguiente determinante de orden 4 transformándolo previamente en una matriz triangular superior mediante el método de Gauss (haciendo ceros por…
Calcula el valor del siguiente determinante de orden 4 transformándolo previamente en una matriz triangular superior mediante el método de Gauss (haciendo ceros por debajo de la diagonal principal):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 4 \\ -1 & -2 & 3 & -2 \\ 3 & 6 & -3 & 10 \end{vmatrix} $$Se considera la matriz de orden 4 dependiente de un parámetro real $k$:…
Se considera la matriz de orden 4 dependiente de un parámetro real $k$:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+k^3 \end{pmatrix}$
Utiliza el método de Gauss (triangulación) para transformar la matriz y calcula su determinante en función de $k$. Posteriormente, discute para qué valores de $k$ la matriz no admite inversa.
Gauss con parámetros
Cuando la matriz depende de una letra, triangular por Gauss suele ser más cómodo que Sarrus o Laplace: los ceros aparecen en función del parámetro y el determinante queda factorizado de forma natural, lo que facilita discutir para qué valores se anula.
Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$, empleando el método de Gauss:…
Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$, empleando el método de Gauss:
$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & a & a & 2 \end{pmatrix}$
Describe detalladamente todas las situaciones posibles para el rango de la matriz en función de las relaciones entre $a$ y $b$.