Logaritmos

Un topógrafo mide la longitud de una parcela destinada a un nuevo parque central y obtiene un valor de $154,7$ metros. Si la medida real exacta es de $154,728$ metros, calcula:

1. a) El error absoluto cometido en la medición.
2. b) El error relativo cometido, expresado en porcentaje y redondeado a dos cifras decimales.

En un laboratorio de biología, se estima que el número de bacterias en una muestra crece muy rápido. Expresa los siguientes datos utilizando notación científica:

1. a) El número de bacterias después de una semana es de $450.000.000$.
2. b) El tamaño de una bacteria individual es de $0,0000000025$ metros.
3. c) La masa de la muestra procesada es de $0,00034$ gramos.

Para comprender la relación entre potencias y logaritmos, completa la siguiente tabla transformando cada igualdad exponencial en su forma logarítmica correspondiente, basándote en la definición $\log_a b = x \iff a^x = b$:

Calcula el valor de las siguientes expresiones utilizando exclusivamente la definición de logaritmo, sin usar la calculadora:

1. a) $\log_{3}\left(\frac{1}{243}\right)$

1. b) $\log_{\sqrt{2}}(32)$

1. c) $\log_{5}(\sqrt[3]{25})$

Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos, de modo que el resultado final solo contenga logaritmos de variables simples:

1. a) $\log \left( \frac{100 \cdot x^2}{\sqrt{y}} \right)$

1. b) $\ln \left( \frac{e^3 \cdot a}{b^2 \cdot c} \right)$

Calcula el valor exacto de los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora, aplicando directamente la definición:

1. a) $\log_2 16$
2. b) $\log_3 27$
3. c) $\log_{10} 1000$
4. d) $\log_5 (\frac{1}{5})$
5. e) $\log_7 1$

Sabiendo que los logaritmos decimales de 2 y 3 son aproximadamente $\log 2 \approx 0,3010$ y $\log 3 \approx 0,4771$, utiliza las propiedades de los logaritmos para estimar el valor de:

1. a) $\log(1,2)$

1. b) $\log(\sqrt{18})$

1. c) $\log(25)$ (Pista: relaciona el 5 con el 10 y el 2).

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas aplicando las propiedades para unificar los términos y comprueba la validez de las soluciones obtenidas:

1. a) $2 \log(x) - \log(x + 6) = 0$

1. b) $\log(x+3) + \log(x) = 1$

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica asegurándote de comprobar la validez de las soluciones obtenidas en el dominio de definición:

Contextualiza el problema: Si $x$ representara el número de usuarios en miles de una nueva red social, ¿tendrían sentido ambas soluciones matemáticas en el mundo real?

Un inversor deposita $5.000$ € en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto del $3,5 \%$ anual. El montante final $M$ tras un tiempo $t$ en años viene dado por la fórmula $M = C \cdot (1+i)^t$.

¿Cuántos años deberán transcurrir para que el inversor alcance un montante de $8.000$ €? Expresa el resultado redondeando a las unidades.

La magnitud $M$ de un terremoto en la escala de Richter se relaciona con la energía liberada $E$ (en julios) mediante la fórmula:

$\log E = 1,5 \cdot M + 4,8$

1. a) Si un terremoto tiene magnitud $M = 5$, ¿cuánta energía libera?
2. b) Si un terremoto libera $10^{15}$ julios de energía, ¿cuál es su magnitud en la escala Richter?

Un inversor coloca $15.000 €$ en un producto financiero que ofrece un interés compuesto nominal del $4,5\%$ anual con capitalización mensual.

1. a) Utilizando logaritmos, calcula exactamente cuántos meses deben transcurrir para que el capital final sea el triple del inicial.
2. b) Calcula la Tasa Anual Equivalente (TAE) de esta operación y exprésala como porcentaje con dos decimales. ¿Qué significa este valor respecto al $4,5\%$ nominal?