Reglas de derivación

Calcula la función derivada de las siguientes funciones polinómicas utilizando las reglas básicas de derivación:

1. a) $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 10$

1. b) $g(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5$

1. c) $h(x) = x^5 - \sqrt{2}x$

Un creador de contenido ha observado que el número de reproducciones de uno de sus vídeos en una red social sigue la función $f(t) = t^2 + 20t + 100$, donde $t$ es el tiempo en horas desde que se publicó.

Calcula la Tasa de Variación Media (T.V.M.) del número de reproducciones en el intervalo $[1, 4]$. Interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema.

Dada la función $f(x) = (3x - 5) \cdot e^x$, halla su derivada aplicando la regla del producto. Simplifica el resultado sacando factor común si es posible.

Una empresa de cosmética ha estimado que el beneficio diario (en cientos de euros) generado por la venta de un nuevo sérum facial sigue la función $B(t) = 20t \cdot e^{-0,2t}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento.

1. a) Obtén la expresión de la función $B'(t)$, que representa el ritmo de variación del beneficio.

1. b) Calcula el valor de la derivada a los 5 meses de su lanzamiento e interpreta el resultado obtenido en términos económicos.

Calcula la derivada de la siguiente función racional utilizando la regla del cociente:

Indica para qué valores de $x$ no existe la derivada de esta función basándote en su dominio.

Se considera la función $f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x^2 + 1}$.

1. a) Calcula su función derivada $f'(x)$ simplificando la expresión al máximo.

1. b) Determina si existe algún punto en el que la curva tenga una tangente horizontal (pendiente nula). En caso afirmativo, indica las coordenadas de dicho punto.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 + k}{x - 1}$, calcula el valor de la constante $k$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$ es igual a $-3$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación completa de dicha recta tangente.

Aplica la regla de la cadena para encontrar la derivada de las siguientes funciones compuestas:

1. a) $f(x) = (2x^2 + 1)^4$

1. b) $g(x) = \ln(5x - 2)$

1. c) $h(x) = e^{3x^2}$

Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$, calcula su derivada utilizando la regla de la cadena. Una vez obtenida, halla el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $x = 4$.

Halla los puntos de la curva $y = x^3 - 6x^2 + 4$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = -9x + 2$. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes en dichos puntos.

Dada la función $f(x) = x^2 \cdot \ln(x)$, calcula:

1. a) La derivada primera $f'(x)$.

1. b) La derivada segunda $f''(x)$.

1. c) La ecuación de la recta normal a la gráfica en el punto de abscisa $x = e$. (Recuerda que la recta normal es perpendicular a la tangente en el punto de contacto).

Aplica la técnica de la derivación logarítmica para hallar la expresión de la función derivada de:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\ln(x)}$

Calcula la función derivada de la siguiente expresión utilizando la técnica de derivación logarítmica. Ten en cuenta que la base y el exponente son funciones de $x$:

Indica todos los pasos intermedios, aplicando correctamente las propiedades de los logaritmos antes de derivar.

Dada la función racional $f(x) = \frac{1}{2x - 3}$, obtén una expresión general para su derivada n-ésima, $f^{(n)}(x)$.

Para ello, calcula las derivadas de orden 1, 2, 3 y 4, identifica el patrón numérico y de signos, y escríbelo en función de $n$ y el factorial $n!$.