Exercicis: Regles de derivació

Un creador de contingut ha observat que el nombre de reproduccions d'un dels seus vídeos en una xarxa social segueix la funció $f(t) = t^2 + 20t + 100$, on $t$ és el temps en hores des que es va publicar.

Calcula la Taxa de Variació Mitjana (T.V.M.) del nombre de reproduccions en l'interval $[1, 4]$. Interpreta el resultat obtingut en el context del problema.

Calcula la funció derivada de les funcions polinòmiques següents utilitzant les regles bàsiques de derivació:

1. a) $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 10$

1. b) $g(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5$

1. c) $h(x) = x^5 - \sqrt{2}x$

Donada la funció $f(x) = (3x - 5) \cdot e^x$, troba la seva derivada aplicant la regla del producte. Simplifica el resultat treient factor comú si és possible.

Calcula la derivada de la funció racional següent utilitzant la regla del quocient:

Indica per a quins valors de $x$ no existeix la derivada d'aquesta funció basant-te en el seu domini.

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 1$ en el punt d'abscissa $x = 3$.

La figura mostra la gràfica de $f$ i el punt $P$ de la corba amb aquesta abscissa.

Aplica la regla de la cadena per trobar la derivada de les funcions compostes següents:

1. a) $f(x) = (2x^2 + 1)^4$

1. b) $g(x) = \ln(5x - 2)$

1. c) $h(x) = e^{3x^2}$

El cost total (en euros) de fabricar $x$ unitats d'un model de sabatilles personalitzades ve donat per la funció $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$.

1. a) Calcula la funció de cost marginal $C'(x)$.

1. b) Troba el cost marginal quan es produeixen 20 unitats i interpreta què significa aquest valor per a l'empresa.

Donada la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$, calcula la seva derivada utilitzant la regla de la cadena. Un cop obtinguda, troba el valor del pendent de la recta tangent a la corba en el punt $x = 4$.

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials, la Lucía havia de trobar la funció derivada de $f(x) = (x^2 - 3x) \cdot e^x$. Al seu full va escriure el següent:

En demanar-li una justificació, va argumentar: «he derivat el polinomi del parèntesi, que dóna $2x - 3$, i després l'he multiplicat per la derivada d'$e^x$, que és ella mateixa».

1. a) Explica raonadament quin és l'error conceptual de la Lucía i quina regla de derivació ha omès.
2. b) Corregeix l'exercici desenvolupant pas a pas la derivada correcta mitjançant la regla corresponent i simplifica el resultat traient factor comú.

Per calcular la derivada de la funció racional $g(x) = \dfrac{4x^5 - 6x^2 + 1}{2x^2}$ en el seu domini ($x \neq 0$), dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• El Marcos sosté que l'única manera correcta és aplicar directament la regla de la derivada del quocient: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

• La Sara proposa dividir primer cada terme del numerador entre el denominador per transformar $g(x)$ en una suma de potències de $x$, i després derivar terme a terme.

1. a) Deriva la funció seguint el mètode proposat per la Sara.
2. b) Justifica quin dels dos mètodes resulta més eficient en aquest cas concret i raona per què la proposta del Marcos comporta un risc més gran d'errors algebraics.

Calcula la funció derivada de les funcions següents utilitzant les regles de derivació i simplifica el resultat final sempre que sigui possible:

1. a) $f(x) = \sqrt[3]{(5x^2 - 1)^2}$

1. b) $g(x) = \ln\left(\dfrac{x^2 + 3}{x - 2}\right)$ (utilitza les propietats dels logaritmes abans de derivar).

1. c) $h(x) = 3^{x^2} \cdot (2x + 5)$

Una empresa de cosmètica ha estimat que el benefici diari (en centenars d'euros) generat per la venda d'un nou sèrum facial segueix la funció $B(t) = 20t \cdot e^{-0,2t}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament. La figura mostra el gràfic de $B(t)$ i marca el punt corresponent a $t=5$.

1. a) Obtén l'expressió de la funció $B'(t)$, que representa el ritme de variació del benefici.

1. b) Calcula el valor de la derivada als 5 mesos del seu llançament i interpreta el resultat obtingut en termes econòmics.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua i derivable en tot el conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ \dfrac{b}{x} + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x^2 + k}{x - 1}$, calcula el valor de la constant $k$ sabent que el pendent de la recta tangent a la gràfica de $f(x)$ en el punt d'abscissa $x = 2$ és igual a $-3$. Un cop trobat $k$, escriu l'equació completa d'aquesta recta tangent.

Considera la corba $y = x^3 - 6x^2 + 4$ i la recta $r: y = -9x + 2$.

1. a) Troba els punts de la corba en què la recta tangent és paral·lela a la recta $r$.

1. b) Escriu les equacions de les rectes tangents a la corba en aquests punts.

Aplica la tècnica de la derivació logarítmica per trobar l'expressió de la funció derivada de:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\ln(x)}$

Es considera la funció $f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x^2 + 1}$.

1. a) Calcula la seva funció derivada $f'(x)$ simplificant l'expressió al màxim.

1. b) Determina si existeix algun punt en què la corba tingui una tangent horitzontal (pendent nul). En cas afirmatiu, indica les coordenades d'aquest punt.

Donada la funció $f(x) = x^2 \cdot \ln(x)$, calcula:

1. a) La primera derivada $f'(x)$.

1. b) La segona derivada $f''(x)$.

1. c) L'equació de la recta normal a la gràfica en el punt d'abscissa $x = e$. (Recorda que la recta normal és perpendicular a la tangent en el punt de contacte).

Segons un informe sobre comerç electrònic a Espanya, el nombre de clients actius mensuals d'una plataforma digital (en milers) segueix la funció $C(t) = 5 + 2t$, on $t$ indica el mes de l'any ($t \in [1, 12]$). Per la seva banda, la despesa mitjana mensual per cada client (en euros) disminueix lleugerament al llarg de l'any segons la funció $G(t) = 40 \cdot e^{-0,05t}$.

Els ingressos mensuals totals de la plataforma (en milers d'euros) venen modelitzats pel producte $I(t) = C(t) \cdot G(t)$.

1. a) Aplica la regla del producte per obtenir l'expressió algebraica simplificada de la funció d'ingressos marginals, $I'(t)$.
2. b) Calcula $I'(6)$ arrodonint a dues xifres decimals i interpreta el seu significat socioeconòmic: creixen o disminueixen els ingressos de la plataforma en finalitzar el primer semestre de l'any? Justifica la teva resposta.

El percentatge de llars d'un municipi espanyol que s'han sumat a un nou programa municipal de compostatge es modelitza mitjançant la funció $R(t) = \dfrac{80t}{t + 3}$, on $t$ representa el temps en mesos des del seu llançament ($t \ge 0$).

1. a) Abans de derivar, estima el ritme de creixement instantani en el primer mes ($t = 1$) calculant la Taxa de Variació Mitjana (T.V.M.) en l'interval $[1;\, 1,1]$. A partir d'aquesta estimació, anticipa raonadament el signe de $R'(1)$ i si el ritme superarà o no els $10$ punts percentuals per mes.
2. b) Obtén la funció derivada $R'(t)$ mitjançant la regla del quocient, calcula el valor exacte de $R'(1)$ i comprova si la teva estimació i prediccions inicials eren coherents amb el resultat analític.

Calcula la funció derivada de l'expressió següent utilitzant la tècnica de derivació logarítmica. Tingues en compte que la base i l'exponent són funcions de $x$:

Indica tots els passos intermedis, aplicant correctament les propietats dels logaritmes abans de derivar.

Dada la funció següent definida a trossos, determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable en tot el seu domini (especialment en el punt de ruptura $x = 1$):

Troba les equacions de les rectes tangents a la corba $f(x) = x^2 - 4x + 3$ que passen pel punt extern $P(2, -5)$.

Ajuda: Recorda que el punt $P$ no pertany necessàriament a la gràfica de la funció. Has de plantejar el pendent de la recta tangent en un punt genèric $(a, f(a))$ i igualar-lo al pendent de la recta que uneix aquest punt amb $P$.

Una empresa de biotecnologia ha modelitzat el cost total de producció (en milers d'euros) d'un nou fàrmac mitjançant la funció:

on $x$ és el nombre de lots produïts.

1. Calcula la funció del cost marginal $C'(x)$.

2. Determina el ritme al qual varia el cost quan s'estan produint exactament 4 lots.

Dada la funció racional $f(x) = \frac{1}{2x - 3}$, obtén una expressió general per a la seva derivada n-èsima, $f^{(n)}(x)$.

Per a fer-ho, calcula les derivades d'ordre 1, 2, 3 i 4, identifica el patró numèric i de signes, i escriu-lo en funció de $n$ i el factorial $n!$.

Calcula la derivada de la funció composta següent, simplificant el resultat final al màxim:

Nota: L'ús d'identitats trigonomètriques després de derivar et pot ajudar a simplificar l'expressió de manera sorprenent.

Determina els valors de $a, b \in \mathbb{R}$ perquè la funció $f(x) = \dfrac{ax + b}{x^2 - 4}$ tingui un extrem relatiu al punt $P(0, -1)$. Un cop trobats els paràmetres, utilitza la segona derivada per confirmar si es tracta d'un màxim o d'un mínim.

El nombre d'usuaris actius en una nova xarxa social (en milions) segueix un model de creixement logístic donat per la funció:

on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament.

1. Troba la funció $N'(t)$ que representa la velocitat de creixement de la xarxa social.

2. En quin mes és màxim el ritme de creixement d'usuaris?

Ajuda: Has de trobar el màxim de la funció derivada $N'(t)$, la qual cosa implica calcular la segona derivada $N''(t)$ i igualar-la a zero.

El departament de comptabilitat d'una cooperativa agrària estima que els seus beneficis acumulats (en milers d'euros) al llarg del temps es poden modelitzar amb una funció de l'estructura $B(x) = (ax + b) \cdot e^{-0,2x}$, on $x$ mesura els trimestres transcorreguts des de la seva refundació i els paràmetres $a, b \in \mathbb{R}$ són constants desconegudes.

Es disposa de dues dades procedents de les auditories:

1. En l'instant d'inici ($x = 0$), la cooperativa arrossegava un deute de $10.000$ € ($B(0) = -10$).

2. La taxa de variació instantània del benefici en aquest instant inicial ($x = 0$) va ser positiva i exactament igual a $7$ milers d'euros per trimestre ($B'(0) = 7$).

1. a) Obtén l'expressió de la funció derivada $B'(x)$ en funció dels paràmetres $a$ i $b$ aplicant amb rigor la regla del producte.
2. b) Planteja el sistema d'equacions necessari i dedueix els valors numèrics exactes d'$a$ i $b$.
3. c) Esbrina raonadament en quin trimestre $x$ el benefici marginal s'anul·la ($B'(x) = 0$) i explica quina rellevància té aquest punt per al creixement dels guanys de la cooperativa.

En una classe de 2n de Batxillerat sorgeix un debat sobre com derivar la funció $f(x) = x^{2x}$ definida per a $x > 0$. Dos estudiants intenten resoldre-ho aplicant directament regles de la taula bàsica:

• El David afirma: «Considero la base com a variable i l'exponent constant; aplico la regla de la potència $(u^n)' = n u^{n-1} u'$, obtenint $f'_D(x) = 2x \cdot x^{2x - 1} = 2x^{2x}$».

• L'Elena replica: «No, la base es considera constant i l'exponent variable; aplico la regla de l'exponencial $(a^u)' = a^u \ln(a) u'$, obtenint $f'_E(x) = x^{2x} \cdot \ln(x) \cdot 2$».

1. a) Explica per què ambdós raonaments són matemàticament incorrectes i per què cap fila de la taula elemental permet derivar aquesta funció de manera directa.
2. b) Desenvolupa el mètode de derivació logarítmica per obtenir la derivada correcta $f'(x)$: pren logaritmes neperians, aplica propietats dels logaritmes, deriva ambdós membres usant la regla de la cadena i del producte, i aïlla $f'(x)$.
3. c) Compara la derivada correcta que has obtingut amb la suma dels resultats del David i de l'Elena ($f'_D(x) + f'_E(x)$) i formula una conclusió raonada sobre aquesta coincidència.