Continuidad. Tipos
Una tarifa en la nube que no cambia de precio al cruzar cierto umbral de gigabytes; una que sí lo hace de golpe. La diferencia entre ambas situaciones es la continuidad, y ahora que dominas límites laterales y cálculo de límites puedes convertirla en un criterio exacto, con una clasificación precisa de lo que ocurre cuando falla.
Continuidad en un punto: las tres condiciones
Una función es continua en $x=a$ cuando no hay ninguna rotura en su gráfica justo ahí: el valor al que se acerca por los dos lados coincide con el valor que realmente toma.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica si la función está definida en $x = 3$. ¿Existe el límite $\lim_{x \to 3} f(x)$? A partir de tus respuestas,…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica si la función está definida en $x = 3$. ¿Existe el límite $\lim_{x \to 3} f(x)$? A partir de tus respuestas, decide si la función es continua en ese punto.
Una aplicación de reparto a domicilio cobra una comisión fija dependiendo de la distancia al restaurante. La función que define el coste del envío en euros, $f(x)$,…
Una aplicación de reparto a domicilio cobra una comisión fija dependiendo de la distancia al restaurante. La función que define el coste del envío en euros, $f(x)$, según la distancia $x$ en kilómetros es:
$$f(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } 0 \leq x \leq 3 \\ 4 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$Comprueba si la función es continua en el punto $x = 3$ calculando sus límites laterales.
Clasificación de las discontinuidades
Cuando falla alguna de las tres condiciones, hay tres formas distintas en las que puede fallar, y cada una tiene un nombre y un aspecto gráfico propios.
Clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función mostrada en la imagen en el punto $x = 2$. Justifica si se trata de una discontinuidad evitable, de salto…
Clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función mostrada en la imagen en el punto $x = 2$. Justifica si se trata de una discontinuidad evitable, de salto finito o de salto infinito.
Estudia la continuidad de la siguiente función racional en todo su dominio y clasifica sus puntos de discontinuidad: $$f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}$$ Para los…
Estudia la continuidad de la siguiente función racional en todo su dominio y clasifica sus puntos de discontinuidad:
$$f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}$$Para los puntos donde la discontinuidad sea evitable, define una nueva función $g(x)$ que sea continua en dicho punto.
Continuidad en funciones a trozos: hallar parámetros
El tipo de ejercicio más frecuente en la EvAU: dados uno o dos parámetros en una función a trozos, hallar sus valores para que sea continua en todo $\mathbb{R}$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en toda la recta real $\mathbb{R}$: $$f(x) = \begin{cases}…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en toda la recta real $\mathbb{R}$:
$$f(x) = \begin{cases} x + 2a & \text{si } x < -1 \\ 3x + b & \text{si } -1 \leq x < 2 \\ x^2 - 5 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Dada la función dependiente de los parámetros reales $k$ y $m$: $$g(x) = \begin{cases} \frac{k \cdot \text{sen}(x)}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + m & \text{si } 0 \le x…
Dada la función dependiente de los parámetros reales $k$ y $m$:
$$g(x) = \begin{cases} \frac{k \cdot \text{sen}(x)}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + m & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Halla los valores de $k$ y $m$ para que $g(x)$ sea una función continua en todo el conjunto de los números reales.
Continuidad de funciones racionales en todo su dominio
En una función racional, los únicos candidatos a discontinuidad son los puntos que anulan el denominador. Factorizar numerador y denominador decide, en cada uno, si la discontinuidad es evitable o una asíntota vertical.
Una empresa de mensajería urgente establece sus tarifas mensuales para clientes corporativos en función del volumen de paquetes enviados ($x$, en cientos de unidades).…
Una empresa de mensajería urgente establece sus tarifas mensuales para clientes corporativos en función del volumen de paquetes enviados ($x$, en cientos de unidades). La función de coste total ($C(x)$, en miles de euros) viene dada por:
$$C(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + 2x}{x} & \text{si } 0 < x < 2 \\ k \cdot (x - 1) & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Calcula el valor del parámetro $k$ para que la función sea continua en $x = 2$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en el punto $x = 0$?