Exercicis: Continuïtat. Tipus

Observa la gràfica següent que representa el nivell de senyal de Wi-Fi en un centre comercial a mesura que t'allunyes del router principal. Identifica els valors de $x$ en els quals la funció no és contínua i explica raonadament, de manera intuïtiva, per què passa això.

Una aplicació de repartiment a domicili cobra una comissió fixa depenent de la distància al restaurant. La funció que defineix el cost de l'enviament en euros, $f(x)$, segons la distància $x$ en quilòmetres és:

Comprova si la funció és contínua en el punt $x = 3$ calculant els seus límits laterals.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, indica si la funció està definida a $x = 3$. Existeix el límit $\lim_{x \to 3} f(x)$? A partir de les teves respostes, decideix si la funció és contínua en aquest punt.

Classifica el tipus de discontinuïtat que presenta la funció mostrada a la imatge en el punt $x = 2$. Justifica si es tracta d'una discontinuïtat evitable, de salt finit o de salt infinit.

Estudia la continuïtat de la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 2x + 5$ en el punt $x = 0$. Creus que aquesta funció podria tenir alguna discontinuïtat en qualsevol altre nombre real? Explica per què.

Un creador de contingut analitza el creixement dels seus seguidors amb una funció que ha patit un «error» al servidor. La funció és $g(x) = \frac{x-1}{x^2-1}$. Indica per a quins valors de $x$ la funció no és contínua. Què passa al denominador perquè falli la continuïtat?

Identifica quina de les tres gràfiques següents correspon a una funció contínua en tot l'interval mostrat i explica quina característica visual et permet assegurar-ho.

Determina si la següent funció definida a trossos és contínua en el «punt de ruptura» $x = 1$:

Per fer-ho, verifica si es compleixen les tres condicions de continuïtat:

1. Existeix $f(1)$?

2. Existeix $\lim_{x \to 1} f(x)$?

3. Coincideixen tots dos valors?

En Lucas afirma a classe: «Per estudiar la continuïtat de $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ a $x = 3$, primer miro el denominador. Com que s'anul·la ($3 - 3 = 0$), la funció no està definida en aquest punt i, per tant, hi ha obligatòriament una asímptota vertical, és a dir, una discontinuïtat de salt infinit». Identifica l'error de raonament que comet en Lucas, explica quina condició essencial de la definició de continuïtat va ometre en classificar la discontinuïtat i determina el veritable tipus de discontinuïtat que presenta $f$ a $x = 3$ justificant-ho amb el càlcul de límits.

En un aparcament rotatori d'una ciutat espanyola, la tarifa $C(t)$ (en euros) que es cobra en funció del temps estacionat $t$ (en hores) ve donada per l'expressió:

1. Abans de fer cap càlcul algebraic, estima si el canvi de tarifació a les $2$ hores produirà un salt brusc en l'import a pagar o si la funció empalmarà de manera contínua. Justifica la teva predicció pensant en la lògica comercial de cobrar pel temps consumit.

2. Comprova analíticament la teva estimació aplicant les tres condicions de continuïtat a $t = 2$: calcula $\lim_{t\to 2^-} C(t)$, $\lim_{t\to 2^+} C(t)$ i $C(2)$. A partir dels resultats, conclou raonadament si la teva predicció era encertada i classifica el comportament de la funció en aquest punt.

Donada la gràfica següent d'una funció $f(x)$ que representa el nivell d'activitat d'una aplicació mòbil al llarg d'un interval de temps, analitza la seva continuïtat en els punts $x = -2$, $x = 1$ i $x = 3$. Indica en cada cas el tipus de discontinuïtat (evitable, de salt finit o de salt infinit) meitat justificant la teva resposta mitjançant l'estudi dels límits laterals i el valor de la funció.

Una empresa de missatgeria urgent estableix les seves tarifes mensuals per a clients corporatius en funció del volum de paquets enviats ($x$, en centenars d'unitats). La funció de cost total ($C(x)$, en milers d'euros) ve donada per:

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la funció sigui contínua a $x = 2$. Quin tipus de discontinuïtat presenta la funció en el punt $x = 0$?

Estudia la continuïtat de la següent funció racional en tot el seu domini i classifica els seus punts de discontinuïtat:

Per als punts on la discontinuïtat sigui evitable, defineix una nova funció $g(x)$ que sigui contínua en aquest punt.

El creixement d'una colònia de bacteris en un entorn controlat segueix una pauta que canvia en esgotar-se un nutrient a les 3 hores d'iniciar l'experiment. La població $P(t)$ (en milions) es modelitza mitjançant la funció:

On $t$ és el temps en hores. Determina el valor de $a$ perquè el creixement de la població sigui continu en l'instant del canvi de dieta ($t = 3$). A llarg termini ($t \to \infty$), a quin valor tendirà la població si es manté aquesta segona pauta?

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la següent funció definida a trossos sigui contínua en tota la recta real $\mathbb{R}$:

Considera la funció $f(x) = \dfrac{|x - 4|}{x - 4}$.

1. a) Calcula els límits laterals de la funció quan $x$ tendeix a $4$.
2. b) Indica si la funció és contínua a $x = 4$. Si no ho és, classifica el tipus de discontinuïtat.
3. c) Fes un esboç de la gràfica de la funció en l'entorn del punt $x = 4$.

S'ha projectat la construcció d'un pont el perfil lateral del qual segueix la funció:

1. a) És contínua l'altura del pont en el punt d'unió $x = 0$?
2. b) Existeix cap punt de discontinuïtat en l'interval $[0, 4)$? En cas afirmatiu, explica si és un problema real per a la construcció (discontinuïtat evitable) o si suposa una ruptura del perfil (salt).

Donada la funció $f(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, analitza la seva continuïtat i classifica les seves discontinuïtats. Per fer-ho:

1. Determina el domini de la funció.

2. Calcula els límits laterals en el punt on la funció no està definida.

3. Interpreta els resultats per indicar si existeix una asímptota vertical i de quin tipus és la discontinuïtat.

Dissenya l'expressió analítica d'una funció a trossos $f(x)$, amb domini a tot $\mathbb{R}$, que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. Presenta una discontinuïtat removable a $x = -2$, però la funció està definida en aquest punt amb $f(-2) = 5$.

2. Presenta una discontinuïtat de salt finit a $x = 1$, amb un salt d'exactament $3$ unitats (és a dir, $|\lim_{x\to 1^+} f(x) - \lim_{x\to 1^-} f(x)| = 3$).

3. És contínua a qualsevol altre punt de $\mathbb{R}$.

Mostra la fórmula completa de la teva funció i justifica analíticament, mitjançant el càlcul dels límits laterals corresponents i la comprovació de les condicions de continuïtat, que la teva proposta compleix amb rigor cadascun dels requisits.

Una comunitat de regants aplica una tarifa mensual $P(v)$ (en euros) pel volum d'aigua $v$ (en metres cúbics, $\text{m}^3$) subministrat a una explotació agrària, segons la funció a trossos següent:

on $15\text{ \euro}$ és la quota fixa de servei i $k$ és un terme constant d'ajust.

1. a) Determina el valor de $k$ perquè la funció de facturació sigui contínua a $v = 100\text{ m}^3$, evitant que un regant pateixi un salt injustificat en el cost total per sobrepassar lleugerament el llindar dels $100\text{ m}^3$.
2. b) Si per una errada de gestió es fixés $k = -10$, analitza la continuïtat a $v = 100\text{ m}^3$, calcula la magnitud del salt i interpreta econòmicament a qui perjudica aquest desajust (si a l'agricultor o a la comunitat de regants).

Una empresa de serveis al núvol ofereix un pla d'emmagatzematge la tarifa mensual del qual $C(x)$, en euros, depèn dels gigabytes consumits $x$. La funció ve donada per la següent expressió:

1. a) Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la tarifa sigui contínua en tot el seu domini.

1. b) Si $a$ té el valor trobat a l'apartat anterior però $b$ fos diferent del valor trobat, quin tipus de discontinuïtat presentaria la funció en $x = 10$? Justifica la teva resposta calculant els límits laterals.

Estudia la continuïtat de la següent funció definida a trossos i classifica tots els seus punts de discontinuïtat:

Indica raonadament si alguna de les discontinuïtats trobades és de tipus evitable.

Un analista financer modela el benefici esperat $B(t)$, en milers d'euros, d'una inversió tecnològica al llarg del temps $t$ (en anys) mitjançant la funció:

1. a) Dibuixa la gràfica de la funció en l'interval $[0, 5]$. Per a això, escriu $B(t)$ com una funció definida a trossos (sense valor absolut) i construeix una taula de valors.

1. b) Estudia la continuïtat de $B(t)$ en $t = 2$ calculant els límits laterals. Existeix el límit en aquest punt?

1. c) Classifica el tipus de discontinuïtat, calcula l'amplitud del salt (en milers d'euros) i explica'n el significat en el context del benefici de l'empresa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció dependent dels paràmetres reals $k$ i $m$:

Troba els valors de $k$ i $m$ perquè $g(x)$ sigui una funció contínua en tot el conjunt dels nombres reals.

Considera la funció $f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 3x}{x^2 - 4x + 3}$.

1. a) Per a quins valors de $k$ té la funció una discontinuïtat evitable a $x = 3$?
2. b) Un cop trobat aquest valor de $k$, redefineix la funció en aquest punt perquè sigui contínua a $x = 3$.
3. c) Amb el valor de $k$ obtingut, què passa a $x = 1$? Classifica la discontinuïtat en aquest altre punt.

Un estudi sociològic estableix que el nivell d'acceptació d'una nova llei, $L(t)$, en una escala de 0 a 100, segueix el model següent durant els primers 10 mesos ($t$):

1. a) Justifica si el nivell d'acceptació ha variat de forma contínua al llarg dels 10 mesos.
2. b) Si en el mes $t = 4$ es va produir un canvi en la campanya de comunicació, hi va haver un salt brusc en l'acceptació? Si és així, calcula la magnitud del salt i classifica la discontinuïtat.

Es considera la funció $f(x) = \frac{x^2 - a}{x^3 + bx + c}$. Se sap que la funció té una discontinuïtat de salt infinit a $x = 1$ i $x = -3$. A més, presenta una discontinuïtat本文 evitable a $x = 2$.

Troba els valors dels paràmetres $a, b$ i $c$. Amb aquests valors, calcula el límit de la funció quan $x \to +\infty$.

Sigui la funció definida per:

Estudia la continuïtat de la funció en el punt $x = 0$ analitzant els seus límits laterals. És contínua per la dreta? I per l'esquerra? Classifica raonadament el tipus de discontinuïtat que presenta.

Per estudiar la continuïtat de la funció $g(x) = \frac{|x - 1|}{x^2 - 3x + 2}$ als punts $x = 1$ i $x = 2$, dos estudiants proposen enfocaments diferents:

• Estratègia A (Carla): Expressar primer la funció en dues branques sense valor absolut segons el signe de $(x - 1)$, simplificar algebraicament la fracció a cada tram factoritzant el denominador i, després, avaluar els límits laterals i l'existència de la funció a cada punt conflictiu.

• Estratègia B (Marcos): Deixar l'expressió amb el valor absolut intacta i calcular directament els límits laterals a $x = 1$ i $x = 2$ substituint mentalment valors numèrics molt propers (per exemple, $1,01$ i $0,99$) per deduir el signe del numerador i del denominador.

1. a) Aplica l'estratègia de la Carla per analitzar i classificar detalladament el tipus de discontinuïtat a $x = 1$.
2. b) Compara ambdós procediments per a l'anàlisi del punt $x = 2$. Per què l'estratègia d'en Marcos pot induir a errors greus o a indeterminacions no justificades en aquest tipus de funcions racionals amb valor absolut? Explica quin mètode ofereix més solidesa deductiva.
3. c) Classifica finalment la discontinuïtat a $x = 2$ utilitzant el mètode que hagis justificat com a més segur.

En una proposta de reforma fiscal per gravar el benefici net $B$ (en milers d'euros) de les pimes, el Ministeri d'Hisenda planteja una quota impositiva $T(B)$ (en milers d'euros) estructurada en tres trams:

Per evitar l'anomenat «error de salt» (que un increment marginal del benefici provoqui que l'empresa pagui de cop una quota desproporcionadament més alta), la funció $T(B)$ ha de ser contínua en tot el seu domini $[0, +\infty)$. A més, per criteris de recaptació, una empresa que declari un benefici de $40\text{ milers d'euros}$ ha de tributar exactament $7\text{ milers d'euros}$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions necessari per garantir la continuïtat de la funció a $B = 20$ i a $B = 60$, incorporant la condició sobre la quota per a $B = 40$.
2. b) Resol el sistema i troba de manera raonada els valors dels paràmetres $m$, $n$ i $p$.
3. c) Si per una errada en la publicació de la llei es fixés $p = -4$, analitza la continuïtat a $B = 60$, classifica la discontinuïtat resultant calculant la quantia del salt i raona per què aquest error desincentivaria que una empresa amb $60\text{ milers d'euros}$ de benefici intenti guanyar $100\text{ euros}$ addicionals.

Repte del tema. Cap a on evoluciona el consum digital dels joves? Investiga les pautes del teu entorn comparant-les amb les dades de l'INE i modelitza el seu comportament a llarg termini.

1. Mostreig i recompte: Consulta al web de l'INE el temps mitjà diari que el jovent dedica a plataformes de contingut. Fes una microenquesta a $15$ companys registrant les seves hores d'ús. Quantes mostres diferents de $4$ persones podries seleccionar per contrastar perfils? Aplica combinatòria ($C_{15,4}$).

2. Contrast d'hipòtesis: Planteja un contrast d'hipòtesis bilateral amb nivell de significació $\alpha = 0,05$ per comprovar si el temps mitjà del teu entorn difereix significativament de la dada nacional de l'INE.

3. Modelització i límits: Defineix una funció a trossos $f(t)$ que modelitzi el cost o consum en funció del temps $t$, amb un canvi de tarifa a les $2$ hores. Calcula els límits laterals a $t = 2$ per comprovar la seva continuïtat. Després, avalua $\lim_{t \to +\infty} f(t)$ resolent la indeterminació $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ per predir si el consum tendeix a estabilitzar-se o creix indefinidament.

4. Producte final: Elabora un informe executiu d'una pàgina (usant GeoGebra o full de càlcul) que inclogui les dades, el contrast formulat, l'estudi analític dels límits i la teva conclusió justificada.

Es valorarà:

• Precisió en el recompte combinatori i en el desenvolupament del contrast d'hipòtesis.

• Rigor algebraic en el càlcul de límits laterals, a l'infinit i resolució d'indeterminacions.

• Ús eficaç d'eines digitals i coherència crítica en les conclusions extretes.