Exercicis: Formes de comptar

A la cafeteria d'un institut, el menú del dia permet triar entre 3 primers plats, 4 segons plats i 2 postres. De quantes formes distintes pot un estudiant configurar el seu dinar complet compost per un primer, un segon i unes postres?

Un grup de 10 amics decideix organitzar un torneig de videojocs. Els premis s'atorgaran al primer, segon i tercer classificat. Sabent que no hi pot haver empats, de quantes maneres diferents es poden repartir aquests tres trofeus?

Per entrar en una aplicació mòbil, un usuari ha de crear un codi de seguretat de 4 dígits. Si el sistema permet repetir els nombres i utilitza els dígits del $0$ al $9$, quants codis de seguretat diferents es poden generar?

Una prestatgeria té espai per col·locar exactament 6 llibres de text de diferents assignatures de 2n de Batxillerat. De quantes formes distintes es poden ordenar aquests 6 llibres a la balda si volem que tots quedin alineats l'un al costat de l'altre?

En una classe de 12 alumnes, el tutor ha de triar 3 d'ells perquè formin part de la junta de delegats del centre. Atès que els tres triats tindran la mateixa responsabilitat, quants grups de delegats diferents es poden formar?

Quantes paraules de 4 lletres, tinguin o no sentit, es poden formar utilitzant les lletres de la paraula BALA? (Tingues en compte que la lletra 'A' apareix repetida).

En una gelateria ofereixen 8 sabors distints de gelat. Si un client vol comprar una tarrina amb 2 boles de gelat de sabors diferents, quantes combinacions distintes pot triar?

Una xarxa social requereix que els noms d'usuari comencin sempre per una lletra minúscula (d'entre les 26 de l'alfabet anglès) seguides obligatòriament de 2 dígits (del $0$ al $9$). Quants noms d'usuari diferents sota aquest format es poden crear?

En Marcos vol calcular quantes paraules diferents (amb sentit o sense) es poden formar reordenant totes les lletres de la paraula CASAS. En el seu examen escriu el següent:

«La paraula té $5$ lletres, per la qual cosa hi ha $P_5 = 5! = 120$ ordenacions possibles. Com que la lletra A es repeteix $2$ vegades i la lletra S es repeteix unes altres $2$ vegades, per no comptar casos duplicats resto aquestes repeticions: $120 - 2 - 2 = 116$ paraules diferents».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals que comet en Marcos en el seu plantejament. En particular, explica amb les teves paraules per què la correcció per repetició no s'ha de fer restant, sinó dividint.
2. b) Planteja l'expressió combinatòria adequada utilitzant permutacions amb repetició, indica què representa cada terme i calcula el nombre real de paraules que es poden formar.

Una aplicació mòbil de banca electrònica sol·licita a cada usuari crear una clau numèrica d'accés composta per $4$ dígits triats entre els nombres de l'$1$ al $6$, ambdós inclosos.

1. a) Abans de fer càlculs exactes, estima de manera qualitativa i raonada: si l'entitat bancària decidís passar d'un sistema que permet repetir dígits a un altre en què els $4$ dígits de la clau han de ser forçosament diferents, el nombre de claus possibles es reduirà a més de la meitat, a la meitat exacta o a menys de la meitat del total inicial? Justifica la teva intuïció prèvia.
2. b) Comprova analíticament la teva estimació: calcula el nombre exacte de claus en el sistema amb repetició ($VR_{6,4}$) i en el sistema sense repetició ($V_{6,4}$). Determina el percentatge que representen les claus sense repetició respecte del total amb repetició i valora si la teva estimació inicial era encertada.

Per millorar la seguretat dels taquillers intel·ligents d'un institut, el sistema requereix un codi d'accés de $4$ dígits. Tanmateix, per evitar combinacions òbvies, el sistema imposa les condicions següents: el primer dígit ha de ser senar, l'últim ha de ser parell (considerant el $0$ com a parell) i no es pot repetir cap dígit en el codi. Quants codis diferents es poden generar seguint aquestes regles?

En una competició regional d'E-sports (videojocs competitius) hi participen $12$ equips. Els organitzadors han de lliurar una medalla d'or, una de plata i una de bronze als tres primers classificats.

1. a) De quantes formes diferents pot quedar el podi de la competició?
2. b) Si sabem que l'equip local "Los Gamers" sempre queda entre els tres primers, de quantes formes es pot completar el podi ara?

Una marca de roba urbana vol llançar una edició limitada de dessuadores. Tenen $3$ dessuadores vermelles idèntiques, $2$ dessuadores blaves idèntiques i $4$ dessuadores negres també idèntiques. Per a una sessió de fotos, han de col·locar totes aquestes dessuadores en fila sobre un tauler. De quantes maneres diferents es poden disposar les dessuadores atenent únicament al seu color?

Un grup de $15$ alumnes de $2º$ de Batxillerat està organitzant la festa de graduació. Han de triar un comitè format per $4$ persones per encarregar-se de la música i el menjar.

1. a) Quants comitès diferents es poden formar?
2. b) Si en el grup hi ha $8$ noies i $7$ nois, quants d'aquests comitès estarien formats per $2$ noies i $2$ nois?

Set amics van a sopar a una pizzeria i se seuen en una taula circular.

1. a) De quantes formes diferents poden seure al voltant de la taula?
2. b) Dos dels amics, l'Ana i el Javi, han discutit i no volen seure junts. De quantes formes poden seure ara els set amics complint aquesta condició?

En una cafeteria ofereixen un "Combo Estudiant" que consisteix a triar un tipus de sandvitx, un acompanyament i una beguda. Tenen $5$ tipus de sandvitxos, $3$ tipus d'acompanyaments i $4$ tipus de begudes.

1. a) Quants menús diferents es poden configurar?
2. b) Si un estudiant decideix que no vol sandvitx de vegetals (n'hi ha un tipus) ni vol beure aigua (n'hi ha un tipus), quantes opcions té ara per al seu menú?

Un missatger ha de lliurar un paquet en una ciutat la qual té una estructura de carrers que és una quadrícula perfecta. Ha d'anar des del punt $A$ (cantó inferior esquerre) fins al punt $B$ (cantó superior dret), movent-se només cap a la dreta o cap amunt. Si la distància és de $6$ illes cap a la dreta i $4$ illes cap amunt:

1. a) Quants trajectes diferents pot seguir?
2. b) Quants d'aquests trajectes passen per un punt de control $C$ situat a $3$ illes a la dreta i $2$ cap amunt des del punt $A$?

Troba el valor de $n$ (enter amb $n \ge 3$) en la següent equació amb nombres combinatoris, raonant els passos realitzats:

En un institut s'organitza una comissió de debat escolar i s'ha de triar, entre els estudiants d'un grup de 2n de Batxillerat, tres persones per ocupar tres càrrecs diferenciats: portaveu, secretaria i moderació. Una mateixa persona no pot ocupar més d'un càrrec simultàniament. Després de fer el procés, el professor tutor comprova que hi ha exactament $990$ maneres diferents de formar aquesta comissió.

1. a) Modela la situació plantejant una equació combinatòria en funció del nombre total d'alumnes $n$ de la classe, justificant la tria del tipus de recompte emprat.
2. b) Resol raonadament l'equació per determinar quants alumnes componen la classe. Per fer-ho, descompon factorialment el nombre $990$ i identifica el producte de nombres enters consecutius adequat, justificant el resultat sense recórrer al tanteig cec.

El sistema de matriculació de vehicles a Espanya assigna a cada vehicle una placa amb un bloc de $4$ xifres seguit d'un bloc de $3$ lletres. Els nombres van des del $0000$ fins al $9999$ (és a dir, $10$ dígits possibles per posició, admetent repeticions). Per al bloc de lletres s'utilitzen $20$ consonants de l'alfabet espanyol, havent-se exclòs les cinc vocals (per evitar paraules malsonants) i les lletres Ñ i Q (per evitar confusions òptiques amb la N, la O i el 0). Les lletres també es poden repetir.

1. a) Modela i calcula el nombre total de matrícules diferents que permet expedir aquest sistema utilitzant el principi multiplicatiu i les variacions amb repetició.
2. b) Si a Espanya es matricula una mitjana aproximada d'$1,1$ milions de turismes i vehicles lleugers a l'any (segons registres de la DGT), modelitza quants anys complets podrà operar aquest sistema sense esgotar-se ni modificar el seu format.
3. c) Suposa que la DGT decidís afegir dues condicions d'exclusió: no permetre matrícules que tinguin les $3$ lletres idèntiques (com BBB, CCC, etc.) ni matrícules els $4$ nombres de les quals siguin iguals ($0000, 1111, \dots, 9999$). Calcula raonadament quantes matrícules vàlides quedarien sota aquestes restriccions.

En el desenvolupament del binomi de Newton per a l'expressió $(\frac{x^2}{2} - \frac{k}{x^3})^{15}$, es sap que el coeficient del terme que conté $x^{10}$ és igual a $3003$. Determina raonadament el valor del nombre real positiu $k$ i, un cop trobat, calcula el valor del terme independent d'aquest desenvolupament si és que existeix.

Determina tots els valors de $n \in \mathbb{N}$ que verifiquen la igualtat algebraica següent basada en nombres combinatoris:

Justifica el procés descomponent els factorials i resolent l'equació resultant.

Una empresa de ciberseguretat vol generar codis d'accés únics per als seus empleats. Cada codi ha de tenir una longitud de 9 caràcters distribuïts de la següent manera:

• 3 lletres majúscules inicials (triades entre les 26 de l'alfabet, sense incloure la Ñ).

• 4 dígits numèrics centrals (0-9).

• 2 símbols especials finals (triats d'un conjunt de 5 símbols: @, #, %, &, *).

Calcula quants codis diferents es poden generar si s'imposen les restriccions següents:

1. Les lletres majúscules no es poden repetir.

2. Els dígits numèrics han de ser tots diferents i estar disposats en ordre estrictament creixent.

3. Els símbols especials es poden repetir.

Un estudi d'arquitectura està dissenyant una urbanització amb 7 parcel·les idèntiques en línia. Han de plantar arbres de tres espècies diferents: roures, pins i alzines. Per raons estètiques i biològiques, s'han de complir els requisits següents:

• En cada parcel·la només es planta un arbre.

• Hi ha d'haver almenys un arbre de cada espècie.

• No hi pot haver dos pins en parcel·les contigües.

Calcula el nombre total de formes diferents en què es poden distribuir els arbres en les 7 parcel·les.

Un programador està desenvolupant un algorisme per trobar la ruta més curta en una xarxa de sensors representada per una quadrícula de $6 \times 5$ nodes. L'algorisme ha de calcular quants camins de longitud mínima existeixen des del node $A(0,0)$ fins al node $B(6,5)$, tenint en compte que, a causa d'una avaria, el node central $C(3,3)$ és inaccessible i no pot formar part de cap ruta.

Es vol formar un comitè de debat per a un model de Nacions Unides (MUN) compost per 6 estudiants. Els candidats disponibles són 8 alumnes de 2n de Batxillerat i 6 alumnes de 1r de Batxillerat.

Calcula de quantes maneres es pot triar el comitè si s'han de complir simultàniament aquestes dues condicions:

1. En el comitè hi ha d'haver més alumnes de 2n que de 1r de Batxillerat.

2. Almenys hi ha d'haver un alumne de cada curs en el grup seleccionat.

Sis amics (3 nois i 3 noies) se seuen a sopar en una taula circular per celebrar el fi dels exàmens. Determina el nombre de disposicions possibles en què poden seure si:

1. No hi ha restriccions de gènere.

2. Els nois i les noies s'han de seure alternativament (cap noi al costat d'un altre noi i cap noia al costat d'una altra noia).

3. Una parella específica d'amics, Elena i Marcos, insisteixen a seure junts.

(Nota: Considera que en les permutacions circulars només importa la posició relativa dels uns respecte dels altres).

Una plataforma d'streaming utilitza un algorisme per recomanar llistes de reproducció. Si disposen de 10 cançons de rock, 8 de pop i 6 d'indie, quantes llistes de reproducció de 5 cançons es poden crear de manera que cada llista contingui almenys una cançó de cadascun dels tres gèneres musicals? Tingues en compte que l'ordre de les cançons a la llista sí que importa.

Un departament de ciberseguretat genera contrasenyes de $5$ caràcters formades exclusivament amb els dígits del conjunt $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Per garantir que no segueixin patrons de dispersió uniforme, el protocol exigeix que la contrasenya contingui almenys un dígit repetit (és a dir, que no tots els seus dígits siguin diferents).

Per calcular quantes contrasenyes vàlides hi ha, dos membres de l'equip proposen estratègies diferents:

• La Sandra proposa el «Mètode directe»: classificar les contrasenyes segons el tipus exacte de repetició (exactament una parella d'iguals, dues parelles, un trio, etc.) i sumar els casos.

• En Tomàs proposa el «Mètode del complementari»: calcular el total de contrasenyes de $5$ dígits possibles i restar aquelles en què cap dígit es repeteix.

1. a) Compara críticament ambdós mètodes: justifica detalladament per què el mètode directe resulta excessivament complex i propens a errors de solapament o omissió, mentre que el mètode del complementari simplifica el raonament.
2. b) Aplica el mètode del complementari mitjançant les fórmules combinatòries pertinents ($VR$ i $V$) per obtenir el nombre exacte de contrasenyes vàlides.
3. c) Suposa que s'afegeix una condició restrictiva extra: la contrasenya ha de començar obligatòriament per un dígit senar (mantenint l'exigència de contenir almenys un dígit repetit). Modela i calcula raonadament el nou total de contrasenyes disponibles.

Per accedir a una plataforma digital s'ha de dissenyar una clau de $4$ caràcters utilitzant únicament les lletres del conjunt $\{A, B, C, D, E\}$, podent-se repetir qualsevol lletra. La condició indispensable és que la clau contingui almenys una vegada la lletra A.

En Javier presenta la següent resolució a classe:

«Primer trio una de les $4$ posicions possibles per col·locar la lletra A obligatòria, la qual cosa dona $4$ opcions. Després, a cadascuna de les $3$ posicions restants puc col·locar qualsevol de les $5$ lletres del conjunt sense cap restricció, cosa que dona $VR_{5,3} = 5^3 = 125$ opcions. Pel principi de recompte, el nombre total de claus vàlides és $4 \cdot 125 = 500$».

Tanmateix, el resultat d'en Javier és erroni per sobrecomptatge.

1. a) Demostra formalment l'error d'en Javier: tria una clau concreta que contingui més d'una lletra A (per exemple, AABB o AAAB) i explica detalladament per què el procediment d'en Javier la compta més d'una vegada, identificant en quins moments del seu recompte es produeix la duplicitat.
2. b) Corregeix el càlcul resolent el problema mitjançant el mètode de l'esdeveniment complementari i comprova en quant s'havia sobreestimat el resultat.
3. c) Si la condició del sistema canviés a exigir que la clau contingui exactament dues lletres A (podent-se omplir les altres dues posicions amb qualsevol de les lletres restants $\{B, C, D, E\}$, repetides o no), modelitza la situació combinant etapes independents o permutacions amb repetició i calcula el nombre exacte de claus vàlides.