Formas de contar
Antes de poder calcular una probabilidad necesitas saber cuántos casos hay, y contarlos uno a uno no es una opción cuando hablan de códigos de acceso, contraseñas o sorteos con miles de posibilidades. En 1º de Bachillerato ya usaste estas técnicas de forma intuitiva; aquí les pones nombre, fórmula y un criterio claro para saber cuál aplicar en cada situación. Es la base de todo lo que viene después en probabilidad.
El principio de recuento
En la cafetería de un instituto, el menú del día permite elegir entre 3 primeros platos, 4 segundos platos y 2 postres. ¿De cuántas formas distintas puede un estudiante…
En la cafetería de un instituto, el menú del día permite elegir entre 3 primeros platos, 4 segundos platos y 2 postres. ¿De cuántas formas distintas puede un estudiante configurar su almuerzo completo compuesto por un primero, un segundo y un postre?
Variaciones con repetición: cuando se puede repetir
Un código de móvil permite repetir cifras: después de usar un $7$, el $7$ sigue disponible para la siguiente posición. En este caso el principio de recuento se simplifica porque todas las etapas tienen el mismo número de opciones.
Para entrar en una aplicación móvil, un usuario debe crear un código de seguridad de 4 dígitos. Si el sistema permite repetir los números y utiliza los dígitos del $0$…
Para entrar en una aplicación móvil, un usuario debe crear un código de seguridad de 4 dígitos. Si el sistema permite repetir los números y utiliza los dígitos del $0$ al $9$, ¿cuántos códigos de seguridad diferentes se pueden generar?
Para mejorar la seguridad de los taquilleros inteligentes de un instituto, el sistema requiere un código de acceso de $4$ dígitos. Sin embargo, para evitar combinaciones…
Para mejorar la seguridad de los taquilleros inteligentes de un instituto, el sistema requiere un código de acceso de $4$ dígitos. Sin embargo, para evitar combinaciones obvias, el sistema impone las siguientes condiciones: el primer dígito debe ser impar, el último debe ser par (considerando el $0$ como par) y no se puede repetir ningún dígito en el código. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden generar siguiendo estas reglas?
Variaciones sin repetición
Si en vez de un código es un podio (1º, 2º, 3º) con participantes distintos, cada posición ya elegida deja de estar disponible para las siguientes: las opciones se van reduciendo.
Un grupo de 10 amigos decide organizar un torneo de videojuegos. Los premios se otorgarán al primer, segundo y tercer clasificado. Sabiendo que no puede haber empates,…
Un grupo de 10 amigos decide organizar un torneo de videojuegos. Los premios se otorgarán al primer, segundo y tercer clasificado. Sabiendo que no puede haber empates, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden repartir estos tres trofeos?
Una marca de ropa urbana quiere lanzar una edición limitada de sudaderas. Tienen $3$ sudaderas rojas idénticas, $2$ sudaderas azules idénticas y $4$ sudaderas negras…
Una marca de ropa urbana quiere lanzar una edición limitada de sudaderas. Tienen $3$ sudaderas rojas idénticas, $2$ sudaderas azules idénticas y $4$ sudaderas negras también idénticas. Para una sesión de fotos, deben colocar todas estas sudaderas en fila sobre un mostrador. ¿De cuántas maneras diferentes pueden disponerse las sudaderas atendiendo únicamente a su color?
Permutaciones: ordenar todos los elementos
Si en vez de elegir $k$ de $n$ elementos los ordenas todos, estás ante un caso particular de variación sin repetición con $k=n$.
Una estantería tiene espacio para colocar exactamente 6 libros de texto de diferentes asignaturas de 2º de Bachillerato. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar…
Una estantería tiene espacio para colocar exactamente 6 libros de texto de diferentes asignaturas de 2º de Bachillerato. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar estos 6 libros en la balda si queremos que todos queden alineados uno junto al otro?
En una competición regional de E-sports (videojuegos competitivos) participan $12$ equipos. Los organizadores deben entregar una medalla de oro, una de plata y una de…
En una competición regional de E-sports (videojuegos competitivos) participan $12$ equipos. Los organizadores deben entregar una medalla de oro, una de plata y una de bronce a los tres primeros clasificados.
- a) ¿De cuántas formas distintas puede quedar el podio de la competición?
- b) Si sabemos que el equipo local "Los Gamers" siempre queda entre los tres primeros, ¿de cuántas formas puede completarse el podio ahora?
Permutaciones con elementos repetidos
¿Qué pasa si al ordenar hay elementos que son indistinguibles entre sí, como dos letras iguales en una palabra? Algunas de las $n!$ ordenaciones resultan idénticas, así que hay que dividir para no contarlas de más.
Un grupo de $15$ alumnos de $2º$ de Bachillerato está organizando la fiesta de graduación. Deben elegir un comité formado por $4$ personas para encargarse de la música y…
Un grupo de $15$ alumnos de $2º$ de Bachillerato está organizando la fiesta de graduación. Deben elegir un comité formado por $4$ personas para encargarse de la música y la comida.
- a) ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
- b) Si en el grupo hay $8$ chicas y $7$ chicos, ¿cuántos de esos comités estarían formados por $2$ chicas y $2$ chicos?
Un estudio de arquitectura está diseñando una urbanización con 7 parcelas idénticas en línea. Deben plantar árboles de tres especies distintas: robles, pinos y encinas.…
Un estudio de arquitectura está diseñando una urbanización con 7 parcelas idénticas en línea. Deben plantar árboles de tres especies distintas: robles, pinos y encinas. Por razones estéticas y biológicas, se deben cumplir los siguientes requisitos:
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En cada parcela solo se planta un árbol.
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Debe haber al menos un árbol de cada especie.
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No puede haber dos pinos en parcelas contiguas.
Calcula el número total de formas diferentes en las que se pueden distribuir los árboles en las 7 parcelas.