Exercicis: Nombres combinatoris

Per organitzar la festa de graduació de 2n de Batxillerat, s'ha d'escollir una comissió de festes formada per $3$ alumnes. Si a la classe hi ha $20$ estudiants voluntaris, de quantes maneres diferents es pot escollir aquest grup? (L'ordre en què s'escull els alumnes no importa: només compta qui forma la comissió.) Utilitza la fórmula dels nombres combinatoris:

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Calcula i simplifica el valor de les expressions següents sense utilitzar la calculadora, aplicant les propietats dels factorials:

1. a) $\frac{8!}{6!}$

1. b) $\binom{7}{2}$

1. c) $5! - 4!$

Abans d'estudiar la distribució binomial, és fonamental distingir el tipus de variable. Classifica les variables aleatòries següents com a discretes o contínues:

1. El nombre de "m'agrada" que rep una publicació d'Instagram en una hora.

2. El temps exacte que triga un estudiant a arribar a l'institut.

3. El nombre de persones que donen positiu en un test d'antígens en una mostra de $50$ individus.

4. L'alçada dels jugadors de la selecció espanyola de bàsquet.

Un estudi afirma que el $70\%$ dels adolescents espanyols utilitza TikTok diàriament. Si seleccionem a l'atzar un grup de $8$ adolescents d'un institut:

1. a) Identifica els paràmetres $n$ i $p$ de la distribució binomial que segueix aquesta situació.
2. b) Defineix la variable aleatòria $X$ associada a aquest experiment.
3. c) Quina és la probabilitat que exactament els $8$ adolescents utilitzin l'aplicació? (Expressa només el plantejament de la fórmula).

Sabent que per a una distribució binomial $B(n, p)$, la probabilitat d'obtenir $k$ èxits és:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Calcula la probabilitat d'obtenir exactament $2$ cares en llançar una moneda equilibrada $4$ vegades.

En l'apartat de nombres combinatoris, hi ha una propietat de simetria que afirma que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

Comprova aquesta propietat calculant els valors de $\binom{10}{8}$ i $\binom{10}{2}$. Quina conclusió obtens respecte a l'esforç de càlcul quan $r$ és un nombre proper a $n$?

Un examen de tipus test consta de $5$ preguntes amb resposta de vertader o fals, i les respostes d'unes preguntes no influeixen en les d'unes altres (són successos independents). Un alumne les respon totes a l'atzar, de manera que en cada pregunta la probabilitat d'encertar és $p=0,5$. Sigui $X$ el nombre de preguntes que encerta.

1. a) Quina és la probabilitat que no encerti cap pregunta, és a dir, $P(X=0)$?

1. b) Utilitzant el succés contrari, planteja com calcularies la probabilitat que encerti almenys una pregunta, $P(X \geq 1)$.

En una distribució binomial $X \sim B(100; 0,2)$, calcula:

1. a) La mitjana o esperança matemàtica ($\mu = n \cdot p$).
2. b) La variància ($\sigma^2 = n \cdot p \cdot q$).
3. c) La desviació típica ($\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$).

Explica breument què significa el valor de la mitjana en aquest context.

Mateo està resolent una tasca sobre organització d'activitats escolars i ha de calcular quants comitès de 3 estudiants es poden formar a partir d'un grup de 8 delegats de classe. En el seu quadern escriu el següent:

$$\binom{8}{3} = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$$

La seva companya Alba revisa el càlcul i l'adverteix que el resultat està malament.

1. a) Explica detalladament l'error conceptual comès per Mateo. Quina magnitud ha calculat en realitat i per què no respon a la formació d'un comitè sense càrrecs diferenciats?
2. b) Justifica quin factor li falta al denominador a la seva fórmula, quin paper té aquest factor a l'hora d'evitar repeticions i calcula el valor correcte de $\binom{8}{3}$.

Per a un estudi sobre opcions d'optativitat a Batxillerat, necessites calcular a mà el valor del nombre combinatori $\binom{25}{23}$. La teva professora et suggereix que valoris tres camins possibles abans de posar-te a operar:

• Mètode A: Aplicar la definició estricta desenvolupant factorials complets: $\dfrac{25!}{23! \cdot 2!}$, calculant primer els productes del numerador i del denominador.

• Mètode B: Utilitzar la propietat de simetria $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ per transformar el nombre combinatori en $\binom{25}{2}$ i simplificar factors abans de multiplicar.

• Mètode C: Dibuixar el triangle de Pascal fila a fila des de la fila 0 fins a la fila 25 sumant valors successius mitjançant la propietat de Stifel.

1. a) Compara els tres mètodes i justifica quin és el més eficient en aquest cas concret i per què els altres dos resulten desaconsellables en una prova escrita amb límit de temps.
2. b) Aplica el mètode triat per calcular el resultat final mostrant tots els passos de la simplificació.

En un centre d'alt rendiment esportiu es vol seleccionar un grup de 4 atletes per representar Espanya en una competició internacional de relleus. Si al centre hi ha 12 atletes disponibles (7 homes i 5 dones), calcula:

1. a) El nombre total de formes diferents en què es pot triar l'equip de 4 persones.

1. b) En quantes d'aquestes combinacions l'equip estaria format exactament per 2 homes i 2 dones?

1. c) Utilitza les propietats dels nombres combinatoris per demostrar, sense calcular el valor numèric, que:

$$\binom{12}{4} = \binom{11}{3} + \binom{11}{4}$$

Una jove emprenedora ha llançat una aplicació de moda sostenible. Segons els seus estudis de mercat, el $35\%$ dels usuaris que descarreguen l'app acaben fent una compra la primera setmana. Si avui s'han registrat 10 nous usuaris independents:

1. a) Defineix la variable aleatòria $X$ i justifica si segueix una distribució binomial, indicant els seus paràmetres.
2. b) Calcula la probabilitat que exactament 4 d'aquests usuaris facin una compra.
3. c) Quina és la probabilitat que, com a màxim, 2 usuaris comprin la primera setmana?

Se sap que el $15\%$ dels envasos produïts per una planta de reciclatge de plàstic no compleixen els estàndards de puresa requerits. Un inspector de qualitat selecciona a l'atzar 8 envasos per analitzar-los. Considera que els envasos es trien de manera independent i que la probabilitat que cadascun sigui defectuós és sempre $0,15$.

1. a) Calcula la probabilitat que tots els envasos seleccionats siguin aptes (compleixin els estàndards).
2. b) Calcula la probabilitat que almenys un dels envasos sigui defectuós.
3. c) Quina és la probabilitat que hi hagi més de 6 envasos aptes a la mostra?

Un examen de tipus test consta de 12 preguntes, cadascuna amb 4 opcions de resposta de les quals només una és correcta. Un alumne que no ha estudiat gens decideix respondre a totes les preguntes a l'atzar.

1. a) Calcula el nombre esperat de respostes correctes (mitjana) i la desviació típica d'aquesta distribució.
2. b) Quina és la probabilitat que l'alumne aprovi l'examen (obtingui com a mínim 6 encerts)?
3. c) Si l'examen tingués 100 preguntes, quins paràmetres tindria la distribució binomial resultant? (No facis els càlculs de probabilitat).

En una campanya de vacunació en un institut, s'ha observat que el $10\%$ dels alumnes experimenten algun efecte secundari lleu (com ara dolor al braç). Si es selecciona una classe amb 25 alumnes vacunats:

1. a) Quin és el nombre mitjà d'alumnes que s'espera que tinguin efectes secundaris?
2. b) Calcula la probabilitat que el nombre d'alumnes amb efectes secundaris sigui inferior a la mitjana.
3. c) Quina és la probabilitat que exactament 3 alumnes tinguin efectes secundaris?

Resol les qüestions següents relacionades amb la combinatòria i els factorials:

1. a) Troba el valor de $n$ en la igualtat següent:

$$\binom{n}{2} = 21$$

1. b) Simplifica la següent expressió deixant el resultat en funció de $n$:

$$\frac{(n+1)! + n!}{(n-1)!}$$

1. c) Quants nombres de 5 xifres es poden formar utilitzant únicament els dígits $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ si no es permet repetir cap xifra? Com canviaria el resultat si permetem repeticions?

Un creador de contingut a TikTok sap que la probabilitat que un dels seus vídeos es torni "viral" (superi les 100.000 visites) és de 0,05. Si decideix publicar un vídeo al dia durant una setmana (7 dies), i suposem que els vídeos són independents entre ells:

1. a) Quina és la probabilitat que no es torni viral cap dels seus vídeos?

1. b) Calcula la probabilitat que almenys 2 vídeos siguin virals.

1. c) Representa gràficament mitjançant un diagrama d'arbre les possibilitats d'èxit (V, vídeo viral) i fracàs (N, vídeo no viral) per als primers 3 dies i assigna les probabilitats a cada branca.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de missatgeria utilitza drons per repartir paquets en zones rurals. S'ha comprovat que la probabilitat que un dron tingui un error de precisió en l'aterratge és de 0,12. Si un dron fa 15 aterratges en una jornada:

1. a) Calcula la probabilitat que tingui èxit en tots els aterratges.
2. b) Calcula la probabilitat que tingui errors en més de 2 aterratges.
3. c) Si l'empresa vol que el nombre mitjà d'errors per jornada sigui com a màxim 1, quants aterratges hauria de fer el dron al dia seguint la mateixa taxa d'error?

Una consultora d'opinió pública a Espanya vol seleccionar un panell de consumidors a partir d'un grup voluntari de 12 persones. L'equip tècnic debat tres possibles mides per al panell: 3 persones, 9 persones o 6 persones.

1. a) Sense fer cap càlcul numèric previ, estima raonadament si hi haurà més maneres de formar un panell de 3 persones ($\binom{12}{3}$) o un de 9 persones ($\binom{12}{9}$), o si tots dos nombres seran iguals, basant-te en el significat de «triar els qui entren» enfront de «triar els qui queden fora».
2. b) Comprova la teva estimació calculant formalment $\binom{12}{3}$ i $\binom{12}{9}$ mitjançant la fórmula factorial.
3. c) Abans de calcular $\binom{12}{6}$, estima raonadament si el nombre de combinacions possibles per a un panell de 6 persones serà més gran, més petit o igual que $\binom{12}{3}$. A continuació, calcula $\binom{12}{6}$ i valora si el resultat concorda amb la posició que ocupa aquest valor a la fila corresponent del triangle de Pascal.

En un centre de salut d'atenció primària de guàrdia a Andalusia, la direcció ha d'organitzar els torns nocturns mitjançant parelles de 2 facultatius triats entre una plantilla fixa de $n$ professionals disponibles. La gerència analitza la possibilitat de contractar 1 facultatiu més, la qual cosa augmentaria la plantilla a $n+1$ professionals i permetria disposar de 7 parelles possibles més que abans.

1. a) Planteja una equació que relacioni els nombres combinatoris $\binom{n+1}{2}$, $\binom{n}{2}$ i l'increment de parelles anunciat.
2. b) Resol l'equació per determinar el nombre $n$ de facultatius que integren la plantilla actualment.
3. c) Demostra, aplicant la propietat de Stifel $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$, que la diferència $\binom{n+1}{2} - \binom{n}{2}$ equival directament a $\binom{n}{1}$, comprovant que el teu resultat anterior s'obté de manera immediata sense necessitat de resoldre una equació de segon grau.

En un torneig d'e-sports, la probabilitat que un jugador professional de "League of Legends" faci un "Pentakill" en una partida competitiva és de $p = 0,008$. Un equip decideix participar en una lliga que consta d'un nombre determinat de partides $n$. Es sap que la probabilitat que l'equip no aconsegueixi cap "Pentakill" en tota la lliga és inferior a $0,6$.

1. a) Determina, utilitzant logaritmes, el nombre mínim de partides que ha de jugar l'equip perquè es compleixi aquesta condició.

1. b) Si finalment juguen $120$ partides, calcula la probabilitat que aconsegueixin exactament dos "Pentakills", expressant el resultat final amb quatre decimals. Per al càlcul del nombre combinatori, utilitza la fórmula factorial: $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Una xarxa social coneguda està analitzant el comportament de les seves "stories". S'ha comprovat que la distribució del nombre d'usuaris que interactuen amb un anunci segueix un model binomial. En una mostra d'usuaris, es sap que la mitjana d'interaccions és de $\mu = 12$ i la variància és de $\sigma^2 = 7,2$.

1. a) Calcula la mida de la mostra $n$ i la probabilitat d'interacció $p$ de cada usuari.

1. b) Un cop obtinguts $n$ i $p$, determina la probabilitat que, en una nova mostra de la mateixa mida, el nombre d'interaccions sigui superior a $2$ però inferior o igual a $4$.

Una empresa de fabricació de components per a telèfons intel·ligents fa un control de qualitat. Cada lot de producció d'una peça crítica conté un $2\%$ d'unitats defectuoses. Les peces s'empaqueten en caixes de $15$ unitats. Un client compra un carregament de $100$ caixes.

1. a) Quina és la probabilitat que en una caixa triada a l'atzar hi hagi com a mínim $2$ peces defectuoses?

1. b) Si el client retorna la caixa si aquesta conté més d'una peça defectuosa, quantes caixes s'espera que siguin retornades de les $100$ que va comprar?

Al departament de matemàtiques d'un institut es vol formar un comitè de graduació. Hi ha $12$ alumnes de Ciències i $10$ de Ciències Socials.

1. a) De quantes maneres es pot triar un comitè de $6$ persones si hi ha d'haver com a mínim $4$ alumnes de Ciències Socials? Utilitza les propietats dels nombres combinatoris per simplificar els càlculs manuals.

1. b) Si el procés de selecció de cada membre fos independent i la probabilitat de triar un alumne de Socials fos la proporció real en el grup ($10/22$), quina seria la probabilitat que en un comitè de $6$ persones triades amb reemplaçament hi hagués exactament $3$ de cada modalitat?

Un estudi sobre hàbits de lectura en adolescents de 17 anys afirma que el $70\%$ llegeix habitualment en format digital. Es seleccionen a l'atzar $10$ adolescents.

1. a) Calcula la probabilitat que el nombre d'adolescents que llegeixen en digital sigui igual a la moda d'aquesta distribució binomial. (Nota: La moda en una $B(n, p)$ és el valor enter $k$ tal que $(n+1)p - 1 \leq k \leq (n+1)p$).

1. b) Si es sap que com a mínim $8$ d'ells llegeixen en format digital, quina és la probabilitat que tots $10$ ho facin? (Probabilitat condicionada).

Demostra, utilitzant la definició de nombre combinatori mitjançant factorials, la identitat següent (coneguda com la fórmula de les tres variables o propietat de Stifel):

$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$

Aplica aquest resultat per calcular el valor de $\displaystyle \binom{10}{4} + \binom{10}{3}$ sense calcular cada terme per separat.

Un examen de recuperació consisteix en $80$ preguntes tipus test amb $4$ opcions cadascuna, de les quals només una és correcta. Un estudiant respon a l'atzar a les $12$ preguntes que no sabia.

1. a) Sigui $X$ la variable "nombre d'encerts en les $12$ preguntes". Defineix els paràmetres de la distribució.

1. b) Calcula la probabilitat que tingui més encerts que errades.

1. c) Si per aprovar aquesta secció necessita com a mínim un encert, calcula la probabilitat que suspengui.

Una aplicació de delivery té una probabilitat de retard en el lliurament de $p = 0,15$. Un repartidor fa $20$ lliuraments en un torn de nit. Sigui $X$ el nombre de lliuraments retardats (se suposa que els lliuraments són independents, de manera que $X$ segueix una binomial $B(20;\ 0,15)$). La figura mostra la distribució de probabilitat de $X$.

1. a) Quina és la probabilitat que tingui exactament $3$ retards? Expressa el nombre combinatori com un producte de fraccions abans d'operar.

1. b) Si el repartidor rep una penalització si té més de $4$ retards, quina és la probabilitat de ser penalitzat? (Planteja l'operació utilitzant el succés contrari i justifica per què és més eficient en aquest cas, comparant quantes probabilitats individuals caldria calcular amb cada mètode).

Segons dades de l'Enquesta de Característiques Essencials de la Població de l'INE, en una gran àrea metropolitana espanyola la probabilitat que un usuari habitual de rodalies valori positivament la puntualitat del servei és de $p = 0,3$ ($30\%$). En una estació s'enquesta de manera independent 5 viatgers a l'atzar.

1. a) Defineix la variable aleatòria $X =$ «nombre de viatgers que valoren positivament la puntualitat entre els 5 enquestats». Justifica de manera raonada si es tracta d'una variable discreta o contínua i comprova si compleix els requisits per ser modelitzada mitjançant una distribució binomial $B(n, p)$.
2. b) En la fórmula $P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^3$, explica amb les teves pròpies paraules quin paper específic té el nombre combinatori $\binom{5}{2}$ enfront dels factors $0,3^2$ i $0,7^3$. Per què seria incorrecte ometre el nombre combinatori en calcular la probabilitat?
3. c) Un portaveu d'una associació d'usuaris declara: «Com que la probabilitat individual de satisfacció és de tot just $0,3$, és pràcticament el triple de probable trobar 1 usuari satisfet que 2 usuaris satisfets». Modela totes dues probabilitats ($P(X=1)$ i $P(X=2)$), calcula el seu quocient exacte i argumenta matemàticament si l'afirmació del portaveu és correcta o si incorre en un error en ignorar el pes del nombre combinatori enfront de les probabilitats individuals.

El comitè d'empresa d'una companyia tecnològica a Madrid convoca un procés intern per constituir una comissió negociadora amb un nombre $k$ de representants triats entre una candidatura de $n$ treballadors. Es disposa de dues dades sobre el procés:

1) Si es decidís formar una comissió mínima de només 2 representants, existirien exactament 45 combinacions diferents de candidats: $\binom{n}{2} = 45$.

2) Per raons de representativitat interna, el nombre de comissions possibles de mida $k$ coincideix exactament amb el nombre de comissions possibles si s'amplia el comitè a $k+2$ integrants: $\binom{n}{k} = \binom{n}{k+2}$, on $k > 0$.

1. a) A partir de la primera dada, planteja una equació i dedueix raonadament el nombre total $n$ de treballadors que integren la candidatura.
2. b) Basant-te en la propietat de simetria dels nombres combinatoris ($\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$), estableix una relació lineal entre $n$, $k$ i $k+2$, i troba el valor exacte de $k$.
3. c) Si finalment la candidatura augmentés en 1 persona (passant a tenir $n+1$ integrants) i es fixés la mida del comitè en $k+1$ membres, utilitza la propietat de Stifel per calcular quants comitès diferents es podrien formar sumant dos nombres combinatoris de la candidatura original, i interpreta el significat de cadascun d'aquests sumands en el context de l'empresa.