Números combinatorios
Para organizar la fiesta de graduación hay que elegir una comisión de $3$ personas entre $20$ voluntarios. Para calcular la probabilidad de que un examen tipo test tenga exactamente $k$ respuestas acertadas al azar, hace falta contar de cuántas formas se pueden colocar esos $k$ aciertos entre todas las preguntas. Ambos problemas se resuelven con la misma herramienta: los números combinatorios.
El factorial
Calcula y simplifica el valor de las siguientes expresiones sin utilizar la calculadora, aplicando las propiedades de los factoriales: a) $\frac{8!}{6!}$ b)…
Calcula y simplifica el valor de las siguientes expresiones sin utilizar la calculadora, aplicando las propiedades de los factoriales:
- a) $\frac{8!}{6!}$
- b) $\binom{7}{2}$
- c) $5! - 4!$
Números combinatorios: definición y significado
Para organizar la fiesta de graduación de 2º de Bachillerato, se debe elegir una comisión de festejos formada por $3$ alumnos. Si en la clase hay $20$ estudiantes…
Para organizar la fiesta de graduación de 2º de Bachillerato, se debe elegir una comisión de festejos formada por $3$ alumnos. Si en la clase hay $20$ estudiantes voluntarios, ¿de cuántas formas distintas se puede elegir este grupo? Utiliza la fórmula de los números combinatorios:
$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$Propiedades: simetría y Stifel
En el apartado de números combinatorios, existe una propiedad de simetría que afirma que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$. Comprueba esta propiedad calculando los valores…
En el apartado de números combinatorios, existe una propiedad de simetría que afirma que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.
Comprueba esta propiedad calculando los valores de $\binom{10}{8}$ y $\binom{10}{2}$. ¿Qué conclusión obtienes respecto al esfuerzo de cálculo cuando $r$ es un número cercano a $n$?
Demuestra, utilizando la definición de número combinatorio mediante factoriales, la siguiente identidad (conocida como la fórmula de las tres variables o propiedad de…
Demuestra, utilizando la definición de número combinatorio mediante factoriales, la siguiente identidad (conocida como la fórmula de las tres variables o propiedad de Stifel):
$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$Aplica este resultado para calcular el valor de $\displaystyle \binom{10}{4} + \binom{10}{3}$ sin calcular cada término por separado.
Variable discreta y variable continua
Antes de aplicar la combinatoria a la probabilidad, hay que identificar qué tipo de variable aleatoria se está contando.
Antes de estudiar la distribución binomial, es fundamental distinguir el tipo de variable. Clasifica las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: 1.…
Antes de estudiar la distribución binomial, es fundamental distinguir el tipo de variable. Clasifica las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:
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El número de "likes" que recibe una publicación de Instagram en una hora.
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El tiempo exacto que tarda un estudiante en llegar al instituto.
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El número de personas que dan positivo en un test de antígenos en una muestra de $50$ individuos.
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La estatura de los jugadores de la selección española de baloncesto.
De la combinatoria a la probabilidad binomial
Cuando se repite un experimento de dos resultados (éxito/fracaso) $n$ veces, el número combinatorio sirve para contar de cuántas formas pueden colocarse los $k$ éxitos entre los $n$ intentos: ese conteo es la pieza que falta para la fórmula de la binomial.
Un estudio afirma que el $70\%$ de los adolescentes españoles utiliza TikTok diariamente. Si seleccionamos al azar a un grupo de $8$ adolescentes de un instituto: a)…
Un estudio afirma que el $70\%$ de los adolescentes españoles utiliza TikTok diariamente. Si seleccionamos al azar a un grupo de $8$ adolescentes de un instituto:
- a) Identifica los parámetros $n$ y $p$ de la distribución binomial que sigue esta situación.
- b) Define la variable aleatoria $X$ asociada a este experimento.
- c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente los $8$ adolescentes utilicen la aplicación? (Expresa solo el planteamiento de la fórmula).
Sabiendo que para una distribución binomial $B(n, p)$, la probabilidad de obtener $k$ éxitos es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$ Calcula la…
Sabiendo que para una distribución binomial $B(n, p)$, la probabilidad de obtener $k$ éxitos es:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$Calcula la probabilidad de obtener exactamente $2$ caras al lanzar una moneda equilibrada $4$ veces.
En un centro de alto rendimiento deportivo, se quiere seleccionar a un grupo de 4 atletas para representar a España en una competición internacional de relevos. Si en el…
En un centro de alto rendimiento deportivo, se quiere seleccionar a un grupo de 4 atletas para representar a España en una competición internacional de relevos. Si en el centro hay 12 atletas disponibles (7 hombres y 5 mujeres), calcula:
- a) El número total de formas diferentes en las que se puede elegir el equipo de 4 personas.
- b) ¿En cuántas de esas combinaciones el equipo estaría formado exactamente por 2 hombres y 2 mujeres?
- c) Utiliza las propiedades de los números combinatorios para demostrar, sin calcular el valor numérico, que: