Optimización de funciones
Todo lo que has aprendido en este bloque —derivar, estudiar el signo, clasificar extremos— converge aquí. La optimización es la pregunta que de verdad importa en la economía y en la EvAU de esta vía: ¿qué precio fijar, cuánto producir, qué forma dar a un envase, para que el beneficio sea el máximo posible o el coste el mínimo? El procedimiento es siempre el mismo, cinco pasos fijos, y dominarlo es la clave de este bloque.
El procedimiento: cinco pasos siempre en el mismo orden
Calcula dos números reales no negativos cuya suma sea exactamente $20$, de tal manera que el producto de ambos sea el mayor posible.
Calcula dos números reales no negativos cuya suma sea exactamente $20$, de tal manera que el producto de ambos sea el mayor posible.
Beneficio máximo: la pregunta clásica de empresa
Una empresa de accesorios para móviles ha determinado que el beneficio mensual $B(x)$, expresado en euros, al vender $x$ fundas personalizadas viene dado por la función:…
Una empresa de accesorios para móviles ha determinado que el beneficio mensual $B(x)$, expresado en euros, al vender $x$ fundas personalizadas viene dado por la función:
$B(x) = -x^2 + 120x - 500$
¿Cuántas fundas deben venderse para obtener el beneficio máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
La visibilidad de una publicación en una red social (medida en número de "likes") durante las primeras $10$ horas después de subirla sigue la función:…
La visibilidad de una publicación en una red social (medida en número de "likes") durante las primeras $10$ horas después de subirla sigue la función:
$V(t) = 20t^2 - 2t^3$
donde $t$ es el tiempo en horas ($0 \le t \le 10$). ¿En qué momento alcanza la publicación su pico máximo de visibilidad?
Problemas geométricos: el dominio físico de la variable
El segundo tipo clásico de examen: una cantidad fija de material (valla, cartón) y la forma que la aprovecha mejor. El procedimiento es idéntico, pero aquí es más visible que la variable tiene un rango limitado por la propia geometría.
Un grupo de estudiantes quiere vallar una zona rectangular en el patio del instituto para un mercadillo solidario. Si disponen de $40$ metros de valla en total,…
Un grupo de estudiantes quiere vallar una zona rectangular en el patio del instituto para un mercadillo solidario. Si disponen de $40$ metros de valla en total, determina las dimensiones del rectángulo (largo y ancho) que encierran el área máxima posible.
Se quiere construir un marco de madera rectangular para un cartel publicitario que debe tener un área de $16$ $m^2$. Calcula las dimensiones del cartel para que el coste…
Se quiere construir un marco de madera rectangular para un cartel publicitario que debe tener un área de $16$ $m^2$. Calcula las dimensiones del cartel para que el coste de la madera del marco sea mínimo (es decir, para que el perímetro sea mínimo).
Minimizar el coste: coste medio y coste marginal
Un joven programador está diseñando una aplicación de gestión de tiempo. Ha determinado que la productividad de un usuario, medida en "puntos de enfoque", sigue la…
Un joven programador está diseñando una aplicación de gestión de tiempo. Ha determinado que la productividad de un usuario, medida en "puntos de enfoque", sigue la función $P(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral ($0 \le t \le 8$). Calcula en qué momento del día el usuario alcanza su productividad máxima y cuántos puntos obtiene en ese instante.
Se desea diseñar un envase de cartón con forma de prisma rectangular de base cuadrada y sin tapa superior para un nuevo modelo de tablet. El volumen del envase debe ser…
Se desea diseñar un envase de cartón con forma de prisma rectangular de base cuadrada y sin tapa superior para un nuevo modelo de tablet. El volumen del envase debe ser de exactamente $2000 \text{ cm}^3$. Halla las dimensiones del envase (lado de la base y altura) que minimizan la cantidad de cartón empleada en su fabricación.
Maximizar el ingreso: ajustar el precio
Un dron de reparto debe desplazarse desde un punto de carga $A(0, 4)$ hasta un almacén $B(10, 2)$. Para optimizar su batería, el dron debe aterrizar en un punto…
Un dron de reparto debe desplazarse desde un punto de carga $A(0, 4)$ hasta un almacén $B(10, 2)$. Para optimizar su batería, el dron debe aterrizar en un punto $P(x, 0)$ sobre una plataforma de carga inalámbrica situada en el eje de abscisas, y desde allí continuar hacia $B$.
Sin embargo, el consumo de energía por kilómetro volando sobre la plataforma es un $25\%$ menor que volando en trayectoria directa hacia ella. La función de coste energético total es $E(x) = \sqrt{x^2 + 16} + 0,75\sqrt{(10-x)^2 + 4}$. Encuentra la posición exacta del punto $P$ que minimiza el consumo total de energía.
Optimización con exponenciales y logaritmos
En problemas más avanzados, la función a optimizar incluye exponenciales o logaritmos: el procedimiento de cinco pasos no cambia, solo la derivada es más laboriosa.
Una empresa de tecnología ha lanzado una nueva red social. El número de usuarios activos, medido en millones, sigue la función $U(t) = \frac{40t^2}{e^{0,5t}}$, donde $t$…
Una empresa de tecnología ha lanzado una nueva red social. El número de usuarios activos, medido en millones, sigue la función $U(t) = \frac{40t^2}{e^{0,5t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento ($t \geq 0$). Simultáneamente, los costes de mantenimiento mensuales en miles de euros vienen dados por la función $C(t) = 10t + 5$.
Determina en qué mes el número de usuarios activos alcanza su máximo nivel. ¿En qué momento es máxima la diferencia entre el número de usuarios (en millones) y el coste de mantenimiento (dividido por 100 para equiparar escalas)? Justifica si ese máximo es absoluto analizando el comportamiento de la función a largo plazo.
Un estudio de mercado para una nueva aplicación de entrenamiento personalizado determina que el beneficio mensual $B(x)$, en cientos de euros, depende del precio de la…
Un estudio de mercado para una nueva aplicación de entrenamiento personalizado determina que el beneficio mensual $B(x)$, en cientos de euros, depende del precio de la suscripción $x$ (en euros), según la función:
$B(x) = (x - 5)^2 \cdot \ln(x - 4)$ para $x > 4$.
Calcula el precio de suscripción que maximiza el beneficio en el intervalo $[6, 15]$. Comprueba si en dicho intervalo existe algún punto de inflexión que indique un cambio en la tendencia del crecimiento de los beneficios.