Aplicaciones de la derivada

Una heladería ha determinado que sus beneficios mensuales (en cientos de euros) dependen del número de empleados contratados $x$ según la función $B(x) = -x^2 + 10x - 16$. Determina si el beneficio está creciendo o decreciendo cuando la heladería cuenta con 3 empleados.

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ analizando el signo de su primera derivada.

Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 12x + 2$ en los que la recta tangente es horizontal.

Pista: Una recta tangente es horizontal cuando su pendiente es igual a cero.

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, realiza un estudio de su monotonía. Para ello, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y halla las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos.

Estudia la curvatura (concavidad y convexidad) y encuentra los puntos de inflexión de la función $f(x) = 3x^4 - 4x^3$. Dibuja un esquema aproximado de la forma de la función basándote únicamente en su segunda derivada.

Se desea cercar un recinto rectangular destinado a la zona de juegos de una urbanización. El recinto debe tener una superficie de $600 \text{ m}^2$. Uno de los lados del rectángulo linda con un edificio y no necesita valla. El precio de la valla para los dos lados laterales es de $20 \text{ €/m}$, mientras que el lado paralelo al edificio utiliza una valla reforzada que cuesta $60 \text{ €/m}$.

Determina las dimensiones del recinto que minimizan el coste total de la valla y calcula dicho coste mínimo.

Una empresa de venta de fundas personalizadas para móviles ha determinado que sus beneficios diarios, en euros, siguen la función $B(x) = -x^2 + 40x - 300$, donde $x$ representa el número de fundas vendidas.

• ¿Cuántas fundas deben vender para que el beneficio sea máximo?

• ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?

• ¿A partir de qué cantidad de fundas vendidas el beneficio empieza a disminuir?