Exercicis: Optimització de funcions

Calcula dos nombres reals no negatius la suma dels quals sigui exactament $20$, de manera que el producte d'ambdós sigui el més gran possible.

Una empresa d'accessoris per a mòbils ha determinat que el benefici mensual $B(x)$, expressat en euros, en vendre $x$ fundes personalitzades ve donat per la funció:

$B(x) = -x^2 + 120x - 500$

Quantes fundes s'han de vendre per obtenir el benefici màxim? A quant ascendeix aquest benefici?

Un grup d'estudiants vol tancar una zona rectangular al pati de l'institut per a un mercat solidari. Si disposen de $40$ metres de tanca en total, determina les dimensions del rectangle (longitud i amplada) que tanquen l'àrea màxima possible.

Es vol descompondre el nombre $12$ en dos sumands positius tals que la suma dels seus quadrats sigui mínima. Utilitza les derivades per trobar aquests sumands.

La visibilitat d'una publicació en una xarxa social (mesurada en nombre de m'agrada) durant les primeres $10$ hores després de penjar-la segueix la funció:

$V(t) = 20t^2 - 2t^3$

on $t$ és el temps en hores ($0 \le t \le 10$). En quin moment assoleix la publicació el seu pic màxim de visibilitat?

Es vol construir un marc de fusta rectangular per a un cartell publicitari que ha de tenir una àrea de $16$ $m^2$. Calcula les dimensions del cartell perquè el cost de la fusta del marc sigui mínim (és a dir, perquè el perímetre sigui mínim).

El cost de fabricació d'una sèrie d'auriculars sense fil ve donat per la funció $C(x) = 2x^2 - 80x + 2000$, on $x$ és el nombre d'unitats produïdes. Quantes unitats s'han de fabricar per minimitzar el cost total de producció?

Un agricultor sap que si planta $100$ tarongers a la seva parcel·la, la producció mitjana per arbre és de $400$ kg de fruita a l'any. Per cada arbre addicional que planti, la producció mitjana per arbre disminueix en $2$ kg a causa de la falta d'espai. La producció total ve donada per:

$P(x) = (100 + x)(400 - 2x)$

on $x$ és el nombre d'arbres addicionals plantats. Troba el valor de $x$ que maximitza la producció total anual.

Un taller artesanal de calçat d'Elx té uns costos de producció mensuals (en centenars d'euros) modelitzats per la funció $C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 10$, on $x$ representa el nombre de parells de sabates elaborats (en centenars d'unitats). Per restriccions de personal i maquinària, la producció màxima mensual és de $400$ parells, és a dir, el domini físic admisible és $x \in [0, 4]$.

En Marcos, el comptable en pràctiques, busca la quantitat de parells que minimitza el cost total i escriu al seu informe:

«Calculo la derivada $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$. En resoldre l'equació $3x^2 - 12x + 15 = 0$, el discriminant és $(-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 144 - 180 = -36 < 0$, per la qual cosa no hi ha arrels reals. Com que la derivada no s'anul·la en cap punt, la funció no té mínim i, per tant, el cost no depèn de quantes sabates fabriquem».

1. a) Explica detalladament l'error de raonament d'en Marcos. Quin tipus de candidats ha omès en la seva anàlisi i per què la seva conclusió sobre la independència del cost és falsa?
2. b) Estudia el signe de $C'(x)$ a tot l'interval $[0, 4]$ i dedueix raonadament la monotonia de la funció de cost.
3. c) Determina la producció real $x \in [0, 4]$ que minimitza el cost mensual, indicant quin és aquest cost mínim i quin seria el cost a l'extrem oposat del domini.

Una empresa d'autobusos que cobreix la línia entre Granada i Motril cobra actualment $15$ € per bitllet, i registra una mitjana de $180$ viatgers per trajecte. La direcció comercial planteja fer rebaixes per captar més demanda: per cada $0,50$ € de descompte en el bitllet ($x$ rebaixes de $0,50$ €, de manera que la rebaixa total és de $0,5x$ euros), el nombre de viatgers augmenta en $10$ persones. La capacitat màxima del vehicle és de $250$ passatgers, per la qual cosa com a màxim es poden incorporar $70$ viatgers addicionals ($0 \le x \le 7$).

1. a) Estima: Abans de calcular derivades, calcula els ingressos actuals (sense rebaixa, $x=0$) i els ingressos si s'apliqués la rebaixa màxima permesa ($x=7$). A partir d'aquests dos valors de partida, elabora una estimació raonada de si convindria aplicar la rebaixa màxima, quedar-se com està o buscar un preu intermedi.
2. b) Calcula: Formula la funció d'ingressos $I(x)$ en funció del nombre de reduccions $x$. Utilitza el procediment d'optimització amb derivades per trobar el valor exacte de $x$ que maximitza els ingressos en l'interval $[0, 7]$.
3. c) Comprova: Determina el preu final òptim del bitllet, el nombre de viatgers resultant i l'ingrés total obtingut. Compara aquests resultats amb la teva estimació inicial i valora si l'estratègia de rebaixa resulta aconsellable respecte a la situació prèvia.

Un jove programador està dissenyant una aplicació de gestió de temps. Ha determinat que la productivitat d'un usuari, mesurada en "punts de foc", segueix la funció $P(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des de l'inici de la jornada laboral ($0 \le t \le 8$). Calcula en quin moment del dia l'usuari assoleix la seva productivitat màxima i quants punts obté en aquest instant.

Un taller de cuina professional dissenya un recipient d'acer amb base quadrada i sense tapa per conservar aliments. El recipient ha de tenir un volum de $13,5$ litres ($13,5\ \text{dm}^3$). Determina les dimensions del costat de la base ($x$) i de l'altura ($h$) que minimitzen la quantitat d'acer utilitzat (és a dir, la superfície total del recipient) i calcula aquesta superfície mínima.

El cost total de fabricació de $x$ unitats d'un model d'auriculars sense fil ve donat per la funció $C(x) = 0,2x^2 + 10x + 500$ euros. El preu de venda unitari depèn de la demanda i s'ajusta a la fórmula $p(x) = 70 - 0,1x$. Determina quantes unitats s'han de fabricar i vendre perquè el benefici total de l'empresa sigui màxim.

Un estudi de màrqueting per a una plataforma d'un streaming indica que el nombre de subscriptors mensuals, en milers, varia segons el preu de la subscripció mensual $x$ (en euros) seguint la funció $S(x) = \frac{48}{x} + x - 10$ per a preus entre $4$ i $15$ euros. Calcula el preu de la subscripció que minimitza el nombre de subscriptors. Justifica si aquest resultat és útil per a l'empresa des del punt de vista dels ingressos.

Es vol dissenyar un envas de cartró amb forma de prisma rectangular de base quadrada i sense tapa superior per a un nou model de tauleta. El volum de l'envas ha de ser d'exactament $2000 \text{ cm}^3$. Troba les dimensions de l'envas (costat de la base i altura) que minimitzen la quantitat de cartró emprada en la seva fabricació.

Un "booktuber" ha comprovat que l'impacte dels seus vídeos (mesurat en milers de visualitzacions diàries) depèn del temps $t$ (en dies) transcorregut des de la seva publicació, segons la funció $V(t) = \frac{100t}{t^2 + 9}$. Determina en quin dia el vídeo assoleix el seu impacte màxim i quin és aquest nombre màxim de visualitzacions.

Es vol imprimir un cartell publicitari per a un festival de música que ocupi una superfície total de $2 \text{ m}^2$. El cartell ha de deixar uns marges de $10 \text{ cm}$ a les parts superior i inferior, i de $5 \text{ cm}$ als costats esquerre i dret. Calcula les dimensions totals del cartell perquè l'àrea de la zona d'impressió sigui la més gran possible.

Una botiga en línia de roba urbana ha estimat que els seus ingressos diaris en euros segueixen la funció $I(p) = -2p^2 + 120p$, on $p$ és el preu mitjà en euros de les seves peces de roba. D'altra banda, les seves despeses diàries estan modelitzades per $G(p) = 40p + 100$. Obtén el preu $p$ que han de fixar perquè el benefici diari (Ingressos $-$ Despeses) sigui màxim. Determina també la quantia d'aquest benefici màxim.

Una cooperativa d'oli d'oliva a Jaén modelitza els seus costos totals d'envasament (en milers d'euros) mitjançant la funció $C(q) = 0,1q^3 - 0,6q^2 + 4q + 10$, on $q$ és el volum envasat en milers de litres, amb $q \in [1, 8]$.

Per trobar la producció $q$ que fa mínim el cost mitjà per litre, $CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}$, l'equip tècnic debat entre dos camins:

• Mètode 1 (Optimització directa): Escriure l'expressió algebraica de $CM(q)$, calcular la seva derivada $CM'(q)$, igualar-la a zero i justificar el mínim amb la segona derivada.

• Mètode 2 (Propietat marginal-mitjana): Utilitzar la propietat teòrica segons la qual el cost mitjà es minimitza quan iguala el cost marginal, resolent directament l'equació $C'(q) = CM(q)$.

1. a) Desenvolupa ambdós mètodes pas a pas fins a obtenir l'equació que proporciona el candidat a mínim. Demostra algebraicament, aplicant la regla de derivació del quocient sobre $CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}$, per què ambdós mètodes condueixen de manera necessària a la mateixa equació.
2. b) Compara l'esforç de càlcul d'ambdós mètodes: quin avantatge algebraic presenta el Mètode 2 respecte al Mètode 1 en tractar amb el terme lineal ($4q$) i el terme independent ($10$) del cost?
3. c) Resol l'equació resultant, descarta possibles arrels no admissibles i comprova que es tracta d'un mínim local mitjançant $CM''(q)$. Indica la producció òptima $q$ i el cost mitjà mínim resultant per litre (en euros).

Una empresa de paqueteria urgent opera amb furgonetes elèctriques de repartiment dins d'una Zona de Baixes Emissions (ZBE) a Madrid. El cost operatiu per quilòmetre recorregut, $C(v)$ en euros, depèn de la velocitat mitjana de circulació $v$ (en km/h) a través de tres components:

• El consum d'energia elèctrica de la bateria: $0,02v$ €/km.

• El salari del conductor ($18$ €/hora): atès que a una velocitat mitjana $v$ es triguen $\dfrac{1}{v}$ hores a recórrer un quilòmetre, aquest cost suposa $\dfrac{18}{v}$ €/km.

• El desgast mecànic i amortització del vehicle: un cost fix de $0,10$ €/km.

1. a) Expressa la funció del cost total per quilòmetre $C(v)$. Si inicialment les condicions de trànsit permeten circular a velocitats mitjanes compreses entre $10$ i $60$ km/h ($v \in [10, 60]$), calcula la velocitat mitjana que minimitza el cost per quilòmetre i justifica que es tracta d'un mínim absolut en aquest interval.
2. b) Determina el cost mínim per quilòmetre que assumeix l'empresa circulant a aquesta velocitat òptima.
3. c) Per una modificació en l'ordenança municipal de pacificació urbana, la velocitat màxima al districte es restringeix a $20$ km/h, de manera que el nou domini operatiu passa a ser $[10, 20]$. Sense necessitat de tornar a calcular derivades, utilitza el signe de $C'(v)$ en aquest interval per raonar quina ha de ser la nova velocitat adoptada i calcula el percentatge de sobrecost per quilòmetre que patirà l'empresa respecte a la situació inicial.

Una empresa de tecnologia ha llançat una nova xarxa social. El nombre d'usuaris actius, mesurat en milions, segueix la funció $U(t) = \frac{40t^2}{e^{0,5t}}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament ($t \geq 0$). Simultàniament, els costos de manteniment mensuals, en milers d'euros, vénen donats per $C(t) = 10t + 5$. Per equiparar escales, treballarem amb $\frac{C(t)}{100}$ i definirem la diferència $D(t) = U(t) - \frac{C(t)}{100}$.

1. a) Determina en quin mes el nombre d'usuaris actius assoleix el seu màxim nivell i calcula quants milions d'usuaris hi ha en aquest moment.

1. b) Calcula $D'(t)$ i estudia'n el signe amb l'ajuda de la calculadora, provant per exemple $t = 3,9$ i $t = 4$. Indica entre quins dos valors es troba el moment en què la diferència $D(t)$ és màxima i a quin mes correspon aproximadament.

1. c) Justifica si el màxim de $U(t)$ és absolut analitzant el valor de $U(0)$ i el comportament de la funció a llarg termini, és a dir, $\lim_{t\to+\infty} U(t)$.

La figura mostra les gràfiques de $U(t)$ i de $\frac{C(t)}{100}$.

Es vol dissenyar un envàs per a una edició limitada d'un perfum prèmium. L'envàs ha de tenir la forma d'un cilindre coronat per una semiesfera de vidre. El volum total de l'envàs ha de ser exactament de $250 \text{ cm}^3$. El cost del material de la base i el lateral cilíndric és de $2 \text{ €/cm}^2$, mentre que el vidre de la semiesfera superior, en estar decorat, costa $5 \text{ €/cm}^2$.

Calcula les dimensions (radi $r$ i altura del cilindre $h$) que ha de tenir l'envàs perquè el cost de fabricació sigui mínim. (Recorda que el volum de l'esfera és $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ i la seva superfície $S = 4\pi r^2$).

Un estudi de mercat per a una nova aplicació d'entrenament personalitzat determina que el benefici mensual $B(x)$, en centenars d'euros, depèn del preu de la subscripció $x$ (en euros), segons la funció:

$B(x) = (x - 5)^2 \cdot \ln(x - 4)$ per a $x > 4$.

Calcula el preu de subscripció que maximitza el benefici en l'interval $[6, 15]$. Comprova si en aquest interval existeix algun punt d'inflexió que indiqui un canvi en la tendència del creixement dels beneficis.

Un dron de repartiment s'ha de desplaçar des d'un punt de càrrega $A(0, 4)$ fins a un magatzem $B(10, 2)$. Per optimitzar la seva bateria, el dron ha d'aterrar en un punt $P(x, 0)$ sobre una plataforma de càrrega sense fil situada a l'eix d'abscisses, i des d'allà continuar cap a $B$.

La funció de cost energètic total ve donada per la distància recorreguda: $E(x) = \sqrt{x^2 + 16} + \sqrt{(10-x)^2 + 4}$. Troba la posició exacta del punt $P$ que minimitza el consum total d'energia.

Un granger vol tancar un terreny dividit en tres parcel·les rectangulars iguals i contigües, com es mostra a la figura. Les dimensions de cada parcel·la són $x$ (amplada) i $y$ (llargada), en metres. El granger vol maximitzar l'àrea total tancada.

El cost de la tanca exterior és de $10\ \text{€/m}$, però la tanca utilitzada per a les dues divisions internes és més lleugera i costa només $4\ \text{€/m}$. El pressupost total per a la tanca és de $1000\ \text{€}$, i l'única restricció és aquest cost total disponible.

Calcula les dimensions de cada parcel·la perquè l'àrea total sigui la més gran possible.

Es considera la funció de costos totals de fabricació d'un component electrònic $C(x) = \frac{1}{3}x^3 - 6x^2 + 40x + 100$, on $x$ representa el nombre d'unitats produïdes en milers. La funció d'ingressos per vendes és $I(x) = 28x - x^2$.

1. a) Determina l'interval de producció en què l'empresa obté beneficis (on $I(x) > C(x)$).
2. b) Calcula el nombre d'unitats que maximitza el benefici mensual i el valor d'aquest benefici màxim.
3. c) Per a quin valor de $x$ el cost mitjà per unitat, definit com a $Q(x) = \frac{C(x)}{x}$, és mínim?

Un centre logístic està situat en un punt estratègic, l'evolució del trànsit diari de camions del qual es modelitza mitjançant la funció $T(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 50$, on $t$ és l'hora del dia ($0 \leq t \leq 24$).

Calcula a quines hores es produeixen els màxims i mínims (relatius i absoluts) del flux de camions durant la jornada laboral. Si la direcció del centre decideix dur a terme tasques de manteniment quan el trànsit està disminuint més ràpidament (pendent mínim), a quina hora hauria de programar aquestes tasques? (Pista: cerca el punt d'inflexió de $T(t)$).

Una finestra té forma de rectangle coronat per un triangle equilàter. El perímetre total de la finestra (incloent-hi la base del triangle que separa totes dues parts) és de $12 \text{ metres}$.

Calcula les dimensions del rectangle (base $x$ i altura $y$) perquè la superfície total de la finestra sigui màxima i el pas de llum sigui el més gran possible. (Recorda que l'àrea d'un triangle equilàter de costat $x$ és $A = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$).

Una empresa de microelectrònica de València necessita determinar els paràmetres del model de cost total mensual per a un nou processador: $C(x) = a x^3 + b x^2 + c x + 54$ (en milers d'euros), on $x$ és la quantitat produïda en milers d'unitats ($x > 0$).

El departament financer imposa dues condicions d'eficiència:

1. El cost mitjà per unitat, $CM(x) = \dfrac{C(x)}{x}$, ha d'assolir el seu mínim absolut en un nivell de producció de $x = 3$ milers d'unitats.

2. En aquest òptim ($x = 3$), el cost mitjà ha de ser exactament de $35$ milers d'euros per cada mil unitats produïdes ($CM(3) = 35$).

Per trobar els tres coeficients ($a, b, c$), un analista suggereix com a tercera condició: «Com que en el mínim de cost mitjà aquest coincideix amb el cost marginal, exigirem també que $C'(3) = 35$».

1. a) Demostra analíticament per què el suggeriment de l'analista és matemàticament inútil per ser redundant: prova que qualsevol funció de cost derivable que compleixi simultàniament $CM'(3) = 0$ i $CM(3) = 35$ satisfarà sempre i de manera automàtica que $C'(3) = 35$.
2. b) Per disposar d'una condició independent real, el departament de planta aporta una dada experimental contrastada: quan la producció és de $2000$ unitats ($x = 2$), el cost marginal és de $20$ milers d'euros per cada mil unitats ($C'(2) = 20$). Planteja el sistema d'equacions corresponent i calcula els valors exactes dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.
3. c) Amb els paràmetres obtinguts, verifica mitjançant la segona derivada que la funció de cost mitjà presenta veritablement un mínim en $x = 3$ i comprova si la funció de cost total $C(x)$ és estrictament creixent per a tot $x > 0$.

Un operador ferroviari comercialitza un tren xàrter d'alta velocitat amb capacitat màxima per a $300$ passatgers destinat a viatges de final de curs entre Madrid i València. La política de tarifes estableix un preu base de $80$ € per bitllet per a un contingent mínim de $100$ viatgers. Per incentivar la contractació de grups més grans, per cada estudiant que s'afegeixi per sobre de $100$ (és a dir, $x$ estudiants addicionals, amb $100 + x \le 300$), es descompten $0,20$ € sobre el preu de tots els bitllets del tren. Tanmateix, per política de rendibilitat, la rebaixa màxima no pot superar els $35$ € per bitllet (un cop assolida aquesta rebaixa en $x = 175$, el preu queda congelat en $45$ € per a qualsevol grup superior fins a omplir el tren).

El cost d'explotació que suporta la companyia consta d'un cànon fix de $3000$ € per trajecte més un cost variable de $12$ € per cada passatger a bord.

1. a) Formula la funció de benefici net $B(x)$ en euros definint-la com una funció a trossos en el domini complet $x \in [0, 200]$, distingint el tram amb rebaixa variable ($0 \le x \le 175$) del tram amb preu congelat ($175 < x \le 200$).
2. b) Analitza tots els candidats a òptim: calcula el punt crític interior en el primer tram mitjançant derivades justificant si és un màxim local, estudia el comportament del benefici en el segon tram a través de la seva derivada, i avalua el benefici en els punts frontera ($x = 0$, $x = 175$ i $x = 200$).
3. c) Quants bitllets en total ha de vendre la companyia per aconseguir el benefici net màxim absolut i quin és el seu import? Explica per què un analista que es limiti a buscar únicament els punts on s'anul·la la derivada ($B'(x) = 0$) prendria una decisió comercial errònia i clarament subòptima.

Repte del tema. Dissenya la tarifa òptima per a un servei juvenil gestionat per l'ajuntament de la teva localitat.

1. Fase 1: Mostreig i inferència. Pregunta a $30$ persones del teu entorn quant pagarien al mes per un abonament cultural/esportiu (entre $5$ i $30$ €). Amb les teves dades, calcula la mitjana mostral i determina un interval de confiança al $95\,\%$ per al preu mitjà poblacional $\mu$.

2. Fase 2: Modelització. Assumeix una funció de demanda lineal $p(x) = \mu - 0,15x$, on $x$ és el nombre d'usuaris. Planteja la funció d'ingressos $I(x) = x \cdot p(x)$ i defineix una funció de benefici $B(x) = I(x) - (40 + 2x)$ amb costos fixos i variables estimats.

3. Fase 3: Optimització amb derivades. Utilitza GeoGebra o un full de càlcul per calcular la funció derivada $B'(x)$ i les derivades successives ($B''(x)$). Analitza la monotonia de la funció, localitza els extrems relatius i justifica si el punt crític obtingut és un màxim o un mínim relatiu.

4. Fase 4: Producte final. Elabora un informe d'una pàgina amb la gràfica de $B(x)$, raonant quina tarifa maximitza els beneficis i com influeix el marge d'error de l'interval de confiança.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul i interpretació estadística de l'interval de confiança.

• Aplicació rigorosa de derivades successives per deduir monotonia i extrems relatius.

• Destresa en la representació i optimització matemàtica mitjançant GeoGebra o calculadora/full de càlcul.

• Claredat i coherència socioeconòmica en la proposta final.