Ecuaciones de primer y segundo grado

Un creador de contenido en una conocida red social observa que el número de nuevos seguidores que consigue cada día sigue una tendencia lineal. Si el número de seguidores $x$ satisface la siguiente ecuación, ¿cuántos seguidores ha ganado hoy?

$3(x - 15) + 2x = 2(x + 30)$

En el diseño de una zona verde, un paisajista quiere crear un parterre rectangular cuya base sea 4 metros más larga que su altura. Si el área total del parterre debe ser de $96 \text{ m}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula las dimensiones exactas de la base y la altura.

Un estudio de fotografía quiere imprimir carteles cuadrados para una exposición. Si el doble del área de uno de estos carteles es igual a $50$ $dm^2$, calcula la medida del lado $x$ del cartel resolviendo la ecuación:

$2x^2 = 50$

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención al cálculo del mínimo común múltiplo y al efecto de los signos negativos delante de las fracciones:

Halla las soluciones reales de la siguiente ecuación de segundo grado completa utilizando la fórmula general $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x^2 - x - 6 = 0$

Encuentra una ecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ cuyas soluciones sean $x_1 = 3$ y $x_2 = -4$.

Pista: Recuerda que si conoces las raíces, puedes escribir la ecuación como $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.

Un centro deportivo ofrece un abono mensual. Si se inscriben 20 personas más de las previstas, el coste por persona bajaría $4 \text{ €}$ para mantener la misma recaudación total de $2400 \text{ €}$. Plantea la ecuación correspondiente para averiguar cuántas personas se habían previsto inicialmente.

Una empresa de marketing digital ha comprobado que el éxito de una campaña en redes sociales (medido en miles de "me gusta") sigue un modelo racional dependiendo del tiempo $x$ (en semanas) según la siguiente expresión:

Halla el valor de $x$ que satisface esta ecuación. No olvides comprobar si los valores obtenidos son válidos dentro del dominio de las expresiones racionales planteadas.

Una empresa de mensajería cobra una tarifa fija de $5 \text{ €}$ por el envío de un paquete, más un coste adicional por cada kilómetro de distancia. Si por un envío a una ciudad situada a $120 \text{ km}$ han cobrado $23 \text{ €}$:

1. Determina la ecuación de primer grado que relaciona el coste total ($C$) con la distancia ($d$).

2. Calcula cuánto costará enviar un paquete a una distancia de $350 \text{ km}$.

Resuelve la siguiente ecuación con radicales dobles y asegúrate de verificar la validez de las soluciones obtenidas en la expresión original: