Monotonía de una función
Una gráfica te dice de un vistazo si una función sube o baja. Pero cuando no tienes el dibujo —solo la fórmula de un beneficio, un coste o una audiencia— necesitas otra forma de saberlo. La derivada la da: su signo, en cada punto, dice si la función crece o decrece ahí mismo.
El signo de $f'$ decide la monotonía
Dada la función $f(x) = 2x^3 - 6x$, queremos saber cómo se comporta cerca del origen. Calcula la pendiente de la recta tangente (la derivada) en los puntos $x = -2$,…
Dada la función $f(x) = 2x^3 - 6x$, queremos saber cómo se comporta cerca del origen. Calcula la pendiente de la recta tangente (la derivada) en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$. Basándote únicamente en el signo de esos resultados, indica si la función es creciente o decreciente en cada uno de esos puntos.
Sabemos que una función $g(x)$ tiene como derivada $g'(x) = x - 4$. Sin necesidad de conocer la expresión de $g(x)$, determina para qué valores de $x$ la función…
Sabemos que una función $g(x)$ tiene como derivada $g'(x) = x - 4$. Sin necesidad de conocer la expresión de $g(x)$, determina para qué valores de $x$ la función original $g(x)$ es creciente y para cuáles es decreciente. Justifica tu respuesta utilizando el concepto de derivada.
Lo lineal siempre crece o siempre decrece
Comprueba si la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es siempre creciente en todo su dominio. Para ello, calcula su derivada y explica qué relación tiene el resultado obtenido…
Comprueba si la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es siempre creciente en todo su dominio. Para ello, calcula su derivada y explica qué relación tiene el resultado obtenido con la pendiente de la recta.
Estudiar la monotonía en un punto concreto
Cuando una función no es lineal, el signo de $f'$ cambia según el punto. Para saber qué pasa en $x_0$ basta calcular $f'(x_0)$: no hace falta resolver la ecuación $f'(x)=0$ ni estudiar toda la función.
La altura de un balón de baloncesto (en metros) al ser lanzado viene modelada por la función $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, donde $t$ es el tiempo en segundos. 1. Calcula la…
La altura de un balón de baloncesto (en metros) al ser lanzado viene modelada por la función $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, donde $t$ es el tiempo en segundos.
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Calcula la velocidad instantánea del balón derivando la función altura.
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Determina el intervalo de tiempo en el que el balón está subiendo (crecimiento de la función altura).
Estudia la monotonía de la función racional $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$. Este tipo de funciones suelen modelar el coste medio de producción en Ciencias Sociales. Indica…
Estudia la monotonía de la función racional $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$. Este tipo de funciones suelen modelar el coste medio de producción en Ciencias Sociales. Indica razonadamente los intervalos donde el coste medio está disminuyendo y aquellos donde está aumentando, teniendo en cuenta que en este contexto solo tienen sentido los valores de $x > 0$.
Monotonía en un intervalo: beneficio creciente
Un estudio de mercado indica que el beneficio diario de una pequeña empresa textil (en cientos de euros) viene dado por la función $B(t) = -t^2 + 10t - 16$, donde $t$ es…
Un estudio de mercado indica que el beneficio diario de una pequeña empresa textil (en cientos de euros) viene dado por la función $B(t) = -t^2 + 10t - 16$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura. Utiliza la derivada para encontrar en qué intervalo de tiempo el beneficio de la empresa está aumentando.
Una empresa de servicios de streaming* ha detectado que el número de suscriptores nuevos diarios, en miles, sigue la función $S(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t + 100$, donde $t$…
Una empresa de servicios de streaming ha detectado que el número de suscriptores nuevos diarios, en miles, sigue la función $S(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t + 100$, donde $t$ representa el tiempo en meses desde el inicio de una campaña publicitaria ($0 \leq t \leq 15$).
a) Determina los intervalos de tiempo en los que el crecimiento de nuevos suscriptores es positivo (la función es creciente).
b) ¿A partir de qué mes la tendencia cambia y el número de suscriptores nuevos diarios empieza a disminuir? Justifica la respuesta mediante el estudio de la derivada primera.