Exercicis: Monotonia d'una funció

Observa la gràfica següent que representa l'evolució del nombre d'usuaris d'una nova aplicació mòbil en les seves primeres 8 hores de llançament. Identifica, simplement observant el dibuix, els intervals de temps en els quals el nombre d'usuaris està creixent i aquells en els quals està decreixent.

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, realitza els passos següents per estudiar la seva monotonia:

1. Calcula la seva funció derivada $f'(x)$.

2. Troba el valor de $x$ per al qual la derivada és igual a zero.

3. Determina el signe de la derivada en els intervals creats per aquest punt i diu en quin d'ells la funció creix i en quin decreix.

Un estudi de mercat indica que el benefici diari d'una petita empresa tèxtil (en centenars d'euros) ve donat per la funció $B(t) = -t^2 + 10t - 16$, on $t$ és el temps en hores des de l'obertura. Utilitza la derivada per trobar en quin interval de temps el benefici de l'empresa està augmentant.

Donada la funció $f(x) = 2x^3 - 6x$, volem saber com es comporta a prop de l'origen. Calcula el pendent de la recta tangent (la derivada) en els punts $x = -2$, $x = 0$ i $x = 2$. Basant-te únicament en el signe d'aquests resultats, indica si la funció és creixent o decreixent en cadascun d'aquests punts.

Considera la funció $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 5$.

1. Calcula $f'(x)$.

2. Resol l'equació $f'(x) = 0$ per trobar els punts crítics.

3. Representa els punts en la recta real i estudia el signe de la derivada per escriure els intervals de creixement i decreixement.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sabem que una funció $g(x)$ té com a derivada $g'(x) = x - 4$. Sense necessitat de conèixer l'expressió de $g(x)$, determina per a quins valors de $x$ la funció original $g(x)$ és creixent i per a quins és decreixent. Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de derivada.

Comprova si la funció lineal $f(x) = 5x - 3$ és sempre creixent en tot el seu domini. Per a fer-ho, calcula la seva derivada i explica quina relació té el resultat obtingut amb el pendent de la recta.

L'altura d'una pilota de bàsquet (en metres) quan és llançada ve modelitzada per la funció $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, on $t$ és el temps en segons.

1. Calcula la velocitat instantània de la pilota derivant la funció altura.

2. Determina l'interval de temps en què la pilota està pujant (creixement de la funció altura).

En una cooperativa oliera de Jaén, el benefici net mensual $B(x)$, expressat en milers d'euros, depèn de la quantitat $x$ de milers de litres d'oli verge extra produïts i embotellats ($x \in [0, 8]$), segons el model:

En Marcos, un dels socis, exposa en assemblea el següent:

«He calculat que el benefici és zero per a $x = 3$ i per a $x = 7$. Com que entre $3$ i $7$ el benefici és positiu (per exemple, per a $x = 5$ guanyem $4$ mil euros), afirmo que mentre produïm entre $3$ i $7$ milers de litres l'empresa està en fase de creixement dels seus guanys».

a) [ERROR ALIÈ] Assenyala amb precisió l'error de raonament que comet en Marcos en confondre el signe del benefici amb el signe de la seva derivada primera (monotonia).

b) Corregeix la seva anàlisi calculant $B'(x)$ i deduint l'interval real en el qual el benefici és estrictament creixent i aquell en el qual decreix.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra la temperatura $T(t)$, en graus Celsius, en una estació de la província de Terol durant les hores diürnes d'un dia clar d'hivern ($t$ representa l'hora solar, amb $t \in [8, 18]$). El registre s'ajusta a la funció:

a) [ESTIMA I COMPROVA] Abans de fer cap càlcul matemàtic, fes una estimació raonada basada en l'experiència quotidiana: esperes que la temperatura estigui augmentant o disminuint a les $10:00$ del matí ($t = 10$)? I a les $17:00$ de la tarda ($t = 17$)? Justifica breument la teva intuïció física.

b) Comprova analíticament la teva predicció: calcula la funció derivada $T'(t)$, avalua el seu signe a $t = 10$ i a $t = 17$, i interpreta el significat economicoambiental dels signes obtinguts indicant si confirmen la teva estimació inicial.

Una empresa de serveis de streaming ha detectat que el nombre de nous subscriptors diaris, en milers, segueix la funció $S(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t + 100$, on $t$ representa el temps en mesos des de l'inici d'una campanya publicitària ($0 \leq t \leq 15$).

a) Determina els intervals de temps en què el creixement de nous subscriptors és positiu (la funció és creixent).

b) A partir de quin mes la tendència canvia i el nombre de nous subscriptors diaris comença a disminuir? Justifica la resposta mitjançant l'estudi de la primera derivada.

Estudia la monotonia de la funció racional $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$. Aquest tipus de funcions solen modelar el cost mitjà de producció en Ciències Socials. Indica raonadament els intervals on el cost mitjà està disminuint i aquells on està augmentant, tenint en compte que en aquest context només tenen sentit els valors de $x > 0$.

A la figura tens la gràfica de $f$ per a $x > 0$; pots usar-la per comprovar el teu resultat.

Donada la funció $f(x) = x^3 + kx^2 + 15x + 2$, calcula els valors del paràmetre $k$ perquè la funció sigui estrictament creixent en tot el domini dels nombres reals.

Un estudi sociològic analitza l'interès dels adolescents per una nova tendència en xarxes socials. El percentatge de la població que segueix la tendència ve donat per la funció $P(t) = \dfrac{50t}{t^2 + 4}$, on $t$ és el temps en setmanes ($t \geq 0$).

Determina en quins períodes de temps la tendència està en auge (creixement) i quan comença a perdre interès entre els joves (decreixement).

A continuació es mostra la gràfica de la funció derivada $f'(x)$ d'una funció polinòmica $f(x)$. A partir de l'observació de la gràfica de la derivada, indica els intervals de creixement i decreixement de la funció original $f(x)$.

Sigui la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \leq 0 \\ \ln(x+1) & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Estudia la monotonia de la funció en tot el seu domini. Existeix algun punt on la funció passi de créixer a decreixer o viceversa? Justifica si a $x=0$ hi ha un canvi en el comportament de la funció.

El benefici d'una startup tecnològica, en centenars de milers d'euros, es modelitza mitjançant la funció $B(x) = (x-2) \cdot e^{0,5x}$, on $x$ és el nombre d'anys des de la seva fundació ($x \geq 0$).

estudia els intervals de creixement i decreixement del benefici. Durant quant de temps l'empresa va obtenir beneficis decreixents (o pèrdues creixents) abans de començar a millorar la seva situació financera de manera sostinguda? Si no hi va haver cap fase així, justifica-ho.

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x-1}{x^2 + 3}$, determina els seus intervals de creixement i decreixement. A partir d'aquest estudi, indica si la funció presenta algun màxim o mínim relatiu, especificant el valor de $x$ on es troben.

Una empresa de missatgeria urgent que reparteix a l'àrea metropolitana de Sevilla estima que el cost mitjà operatiu per paquet, $C(x)$ (en euros), en distribuir $x$ centenars de paquets diaris ($x \in [1, 8]$), respon a la fórmula:

Per determinar el tram d'activitat en el qual el cost per paquet disminueix i a partir de quin volum comença a encarir-se per saturació logística, dos analistes debaten quin procediment seguir:

• La Clara proposa avaluar el cost mitjà en diversos valors enters ($x = 2$, $x = 4$, $x = 6$) i deduir la tendència a partir d'aquests resultats numèrics concrets.

• En Roberto proposa calcular la derivada $C'(x)$, trobar els seus zeros en l'interval $[1, 8]$ i deduir la monotonia analitzant el signe de la derivada en cada tram.

a) [TRIA EL MÈTODE] Compara críticament ambdós mètodes. Explica per què el mètode de la Clara pot ser enganyós o insuficient per garantir el comportament global de la funció i justifica per què el mètode d'en Roberto és l'adequat matemàticament.

b) Aplica el mètode d'en Roberto: obtén $C'(x)$, factoritza el seu numerador, estudia el signe de la derivada a $[1, 8]$ i determina raonadament els intervals de decreixement i creixement del cost mitjà.

L'Institut d'Estadística d'Andalusia publica dades sobre l'ocupació hotelera a la Costa del Sol. El nombre de pernoctacions mensuals, $P(t)$ (en milers), al llarg d'un any natural ($t \in [1, 12]$, on $t = 1$ representa el gener i $t = 12$ el desembre), s'aproxima mitjançant la funció:

a) [MODELITZA] Estudia la monotonia de $P(t)$: calcula la derivada primera, determina els seus punts d'anul·lació dins de l'any i identifica els mesos exactes en els quals el turisme hoteler està en fase de creixement i aquells en els quals està disminuint.

b) Calcula els valors numèrics de $P'(5)$ i $P'(10)$. Interpreta ambdós resultats en el context turístic real, explicant la diferència entre el ritme de variació al maig ($t = 5$) i a l'octubre ($t = 10$), així com la situació estratègica del sector en el mes en el qual $P'(t) = 0$.

Una productora estudia l'evolució de l'audiència d'un documental acabat d'estrenar. El nombre d'espectadors setmanals, en milers, segueix la funció $R(t) = (t^2 + at + 10) \cdot e^{-0,5t}$, on $t$ és el temps en setmanes des de l'estrena ($t \ge 0$). Determina el valor del paràmetre $a \in \mathbb{R}$ perquè l'audiència sigui estrictament decreixent durant les primeres dotze setmanes (interval $[0, 12]$) i descriu com afecta el signe d'aquest paràmetre a la "velocitat" amb què cau l'audiència.

La gràfica següent representa la funció derivada $f'(x)$ d'una funció contínua $f(x)$ definida en tot $\mathbb{R}$. A partir de l'observació de la gràfica de la derivada, realitza un estudi exhaustiu de la monotonia de la funció original $f(x)$, indicant els seus intervals de creixement, decreixement i les abscisses on s'assoleixen els seus màxims i mínims relatius. Justifica si és possible que la funció $f(x)$ sigui un polinomi de tercer grau basant-te en el nombre de canvis de monotonia.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de missatgeria ha determinat que el cost operatiu diari de la seva flota de vehicles elèctrics depèn de la velocitat mitjana $v$ (en km/h) segons la funció $C(v) = \frac{2v^2 + 450}{v-10}$ per a velocitats superiors a $10 \text{ km/h}$.

1. a) Estudia la monotonia de la funció de cost i indica a partir de quina velocitat el cost comença a ser ineficient (quan el cost torna a créixer).
2. b) Si per normatives de trànsit la velocitat mitjana ha d'estar compresa en l'interval $[20, 60]$, determina els intervals de creixement i decreixement dins d'aquest domini restringit.

Es considera la funció dependent de dos paràmetres $a$ i $b$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Troba els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable en el punt $x = 1$. Una vegada obtinguts, estudia la monotonia de la funció resultant en tot el seu domini $\mathbb{R}$. Presenta la funció algun canvi de monotonia en el punt d'unió de les dues branques? Justifica la teva resposta utilitzant les derivades laterals.

El nombre d'usuaris actius d'una xarxa social juvenil durant les primeres 24 hores després del llançament d'un repte viral ve donat per la funció $U(t) = \frac{100t^2}{t^3 + 16}$, on $t$ és el temps en hores.

1. a) Determina els intervals de temps en què el repte està guanyant popularitat i en què està perdent interès.
2. b) Troba el moment exacte en què el creixement d'usuaris és màxim (és a dir, quan la velocitat de creixement $U'(t)$ assoleix el seu valor més gran). Pista: Estudia la monotonia de la funció derivada.

Donada la funció $f(x) = \frac{e^x}{x^2 - k}$, estudia la seva monotonia en funció dels valors del paràmetre real $k$. En particular, demostra que si $-1 < k < 0$, la funció té un únic interval de decreixement. Per al cas $k = 4$, determina tots els intervals de creixement i decreixement, tenint en compte les discontinuïtats de la funció.

Un estudi sociològic analitza el nivell d'"estrès col·lectiu" $S$ en una ciutat durant un esdeveniment que dura 8 hores. La funció que el modela és $S(t) = |t^2 - 6t + 5| + 2t$, amb $t \in [0, 8]$.

1. a) Expressa la funció $S(t)$ com una funció definida a trossos.
2. b) Estudia els intervals de creixement i decreixement del nivell d'estrès.
3. c) Identifica els punts on la funció no és derivable i explica si en algun d'aquests punts es produeix un canvi en la monotonia de la funció.

Sigui la funció $f(x) = x^2 - \ln(x^2 - 1)$.

1. a) Determina el domini de definició de la funció.
2. b) Estudia la monotonia de la funció, indicant clarament els intervals de creixement i decreixement.
3. c) Demostra raonadament que la funció és sempre creixent per a qualsevol valor de $x$ més gran que $\sqrt{2}$. Què passa en l'interval $(1, \sqrt{2})$? Explica el comportament de la funció a prop de les seves asímptotes verticals en relació amb la seva monotonia.

Una consultora financera dissenya un model de benefici net $B(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ (en milers d'euros) per a una empresa valenciana de components tecnològics, en funció del volum de producció $x$ (en milers d'unitats, amb $x \ge 0$). La direcció exigeix que el model compleixi tres condicions simultànies:

1. El benefici marginal sigui nul exactament quan es fabriquen $2$ milers d'unitats i quan es fabriquen $6$ milers d'unitats.

2. La funció de benefici sigui estrictament decreixent en l'interval $(2, 6)$ a causa de costos extraordinaris d'emmagatzematge, i estrictament creixent a $[0, 2)$ i a $(6, +\infty)$.

3. Per a un nivell de producció de $x = 1$ mil unitats, el benefici marginal sigui de $15$ milers d'euros per cada mil unitats addicionals fabricades ($B'(1) = 15$).

a) [PROBLEMA INVERS] Tradueix raonadament cadascuna de les condicions al llenguatge de derivades i planteja el sistema necessari per trobar els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$. Demostra que la funció obtinguda compleix de manera estricta els intervals de creixement i decreixement exigits.

b) El director d'operacions afirma: «Com que l'empresa torna a ser creixent per a qualsevol producció superior a $6$ milers d'unitats, a $x = 7$ guanyarem amb total seguretat més benefici total que en qualsevol punt del tram de caiguda $(2, 6)$». Refuta o confirma la seva afirmació calculant $B(3)$ i $B(7)$, i argumenta per què la monotonia descriu la direcció del canvi local i no el valor absolut del benefici.

El Ministeri per a la Transició Ecològica i el Repte Demogràfic estudia la viabilitat d'un pla pilot contra la despoblació en una comarca rural. L'índex de dinamisme socioeconòmic $I(t)$ al llarg del temps ($t \ge 0$, mesurat en anys des de l'inici del pla) respon al model:

on $k \ge 0$ és un paràmetre que mesura la intensitat pressupostària dels ajuts públics destinats a la comarca.

a) [MODELITZA] Demostra formalment que si no es destinen fons ($k = 0$), la funció derivada $I'(t)$ és negativa per a tot $t > 0$. Conclou i justifica què li passarà al dinamisme comarcal en absència d'inversió.

b) Mitjançant el càlcul de la derivada general $I'(t)$, analitza el valor de $I'(0)$ per a qualsevol nivell d'inversió $k > 0$. Basant-te en la continuïtat de les funcions derivades, raona per què està garantit que, amb qualsevol $k > 0$, existirà sempre un període inicial de revitalització (creixement).

c) Si s'aprova una dotació econòmica que fixa el paràmetre en $k = 3$, resol l'equació $I'(t) = 0$, determina els intervals de creixement i decreixement de l'índex a $[0, +\infty)$ i explica en quin any exacte assolirà el seu impacte positiu més alt abans de començar a perdre dinamisme.