Tasa de variación media y análisis marginal

Calcula la tasa de variación media de $f(x) = x^{2}$ en el intervalo $[1, 3]$.

Calcula la tasa de variación media de $f(x) = x^{2} - 2x$ en el intervalo $[0, 2]$ y explica por qué el resultado es $0$ aunque la función no sea constante en ese intervalo.

Calcula, aplicando la definición con límites, la derivada de $f(x) = 3x - 2$ en $x = 1$. ¿Depende el resultado del punto elegido? ¿Por qué?

La posición de un ciclista en una recta viene dada por $e(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t$, en metros, con $t$ en segundos y $0 \leq t \leq 4$.

1. a) Calcula su velocidad media en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 4]$. ¿Qué indica el signo de cada una?

1. b) Calcula la velocidad instantánea $v(t) = e'(t)$.

1. c) ¿En qué instantes del trayecto la velocidad instantánea es nula? Describe qué hace el ciclista en esos momentos.

Una empresa que fabrica mochilas tiene una función de coste total $C(q) = 0,02q^{2} + 10q + 800$, en euros, donde $q$ es el número de mochilas producidas al mes. La figura muestra la curva de coste y la tangente en $q = 60$.

1. a) Calcula el coste real de producir la mochila número $61$: $C(61) - C(60)$.

1. b) Calcula el coste marginal $C'(60)$ como aproximación del coste de esa unidad adicional.

1. c) Compara ambos valores y explica por qué los economistas usan la derivada como «coste marginal».

Un taller fabrica $q$ bicicletas al mes con unos ingresos $I(q) = 50q - 0,1q^{2}$ y unos costes $C(q) = 20q + 1.000$, en miles de euros.

1. a) Calcula el ingreso marginal $I'(q)$ y evalúalo en $q = 100$. ¿Qué significa su valor?

1. b) Calcula el beneficio marginal $B'(q)$, donde $B(q) = I(q) - C(q)$, y halla para qué valor de $q$ se anula.

1. c) Explica, usando el signo del beneficio marginal antes y después de ese valor, por qué corresponde al beneficio máximo.

La cotización de una acción al cierre de cada día de una semana ha sido: lunes $10,40\ \text{ €}$; martes $10,12\ \text{ €}$; miércoles $10,35\ \text{ €}$; jueves $10,80\ \text{ €}$; viernes $10,55\ \text{ €}$.

1. a) Calcula la variación diaria (absoluta y porcentual) de cada jornada, redondeando a las centésimas.

1. b) Calcula la variación total de la semana y la tasa de variación media diaria, en euros por día.

1. c) Un titular afirma: «la acción ha subido de media un $0,4 \%$ diario». Comprueba si es cierto usando la variación porcentual media y comenta qué medida —absoluta o porcentual— informa mejor al inversor.

La población de una especie protegida en un parque nacional sigue el modelo $P(t) = 12.000 \cdot 1,02^{t}$, con $t$ en años.

1. a) Calcula la tasa de variación media de la población en el intervalo $[0, 5]$, en individuos por año, redondeada a las unidades.

1. b) Calcula la tasa de variación media relativa (porcentual) anual en ese intervalo y comprueba que coincide con el $2 \%$.

1. c) Demuestra que en cualquier modelo exponencial $P(t) = P_0 \cdot a^{t}$ la tasa de variación relativa anual es constante, mientras que la absoluta crece con el tiempo. ¿Qué implica esto para las previsiones?