Exercicis: Funció derivada. Derivades successives

Donada la funció $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, fes les tasques següents:

1. a) Calcula la funció derivada $f'(x)$ aplicant les regles de derivació.

1. b) Troba el valor del pendent de la recta tangent a la gràfica de $f(x)$ en el punt d'abscissa $x = 2$.

1. c) Determina l'equació de la recta tangent en aquest punt.

Una empresa de fabricació de fundes per a mòbils ha determinat que el cost total (en euros) de produir $x$ unitats ve donat per la funció:

Calcula la funció de cost marginal, $C'(x)$, i determina quin és el cost aproximat de produir la unitat número 21 (és a dir, calcula $C'(20)$).

Calcula les tres primeres derivades de la funció polinòmica $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 7$. Una vegada obtingudes, comprova si es compleix que $f'''(1) = 18$.

La posició d'un dron de repartiment respecte a la seva base d'enlairament segueix la funció $s(t) = t^2 + 4t$, on $s$ és la distància en metres i $t$ el temps en segons.

1. Obtén la funció de la velocitat instantània, $v(t)$, sabent que és la primera derivada de la posició.

2. Obtén la funció de l'acceleració, $a(t)$, sabent que és la segona derivada de la posició.

3. Quina velocitat porta el dron als 5 segons de vol?

Troba els punts de la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - 12x + 1$ en els quals la recta tangent és horitzontal.

Pista: Una recta és horitzontal quan el seu pendent és igual a $0$.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2}{2} + 4\sqrt{x}$, calcula la seva funció derivada $f'(x)$. Una vegada calculada, troba el valor de $f'(4)$.

Es sap que la derivada d'una funció en un punt coincideix amb el pendent de la recta tangent. Si la recta tangent a la funció $g(x)$ en el punt $x = 3$ és $y = 4x - 5$, raona quant valen $g(3)$ i $g'(3)$.

Comprova que la quarta derivada de la funció $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + x^2$ és igual a zero per a qualsevol valor de $x$. Quin grau ha de tenir com a mínim un polinomi perquè la seva quarta derivada no sigui nul·la?

Marcos gestiona un taller artesanal de calçat a Elx. La funció que descriu el cost total diari (en euros) de fabricar $x$ parells de sabates és $C(x) = 200 + 15x + 0,05x^2$. Amb l'objectiu de pressupostar un augment de plantilla, Marcos vol saber quant costarà aproximadament produir el parell número 51. Per a fer-ho, realitza el següent càlcul:

i conclou: «Fabricar el parell 51 ens costarà exactament 20,10 euros, ja que per definició el cost marginal $C'(51)$ equival a la diferència $C(51) - C(50)$».

1. a) Explica els dos errors conceptuals comesos per Marcos: un respecte al punt on s'ha d'avaluar la funció marginal per a estimar l'efecte de la unitat 51, i un altre sobre la paraula «exactament».
2. b) Corregeix el càlcul: avalua la funció de cost marginal en el valor de $x$ adequat i interpreta el resultat obtingut.
3. c) Calcula el cost real exacte de produir aquesta unitat addicional mitjançant la diferència $C(51) - C(50)$ i compara'l amb l'estimació marginal de l'apartat anterior. És una bona aproximació?

La temperatura $T(t)$ (en graus Celsius) registrada per una estació meteorològica d'AEMET a Còrdova durant un dia calorós d'estiu, des de les 8:00 ($t=0$) fins a les 20:00 ($t=12$), es modelitza mitjançant la funció:

1. a) Abans de realitzar qualsevol càlcul analític, observa la funció (una paràbola còncava amb vèrtex en $t=7,5$, és a dir, a les 15:30). Estima raonadament si el ritme d'escalfament a les 10:00 ($t=2$) serà major o menor que a les 14:00 ($t=6$), i si la derivada $T'(2)$ hauria de ser positiva o negativa.
2. b) Calcula la funció derivada primera $T'(t)$ i avalua-la en $t=2$ i en $t=6$. Comprova si els valors obtinguts confirmen la teva estimació prèvia i interpreta el significat dels seus signes i les seves unitats de mesura.
3. c) Troba la funció derivada segona $T''(t)$. Interpreta el seu valor constant i explica quina informació aporta sobre com evoluciona la velocitat d'escalfament de l'aire al llarg de les hores diürnes.

Donada la funció polinòmica $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 10$, realitza les operacions següents:

1. a) Calcula la funció primera derivada $f'(x)$ i la funció segona derivada $f''(x)$.
2. b) Determina els valors de $x$ per als quals la segona derivada s'anul·la ($f''(x) = 0$).
3. c) Calcula la derivada d'ordre superior $f^{(5)}(x)$ i justifica el resultat obtingut sense necessitat de realitzar tots els passos intermedis.

Una empresa de missatgeria ha comprovat que el cost total de repartiment (en centenars d'euros) segueix la funció $C(x) = \sqrt{x^2 + 9}$, on $x$ és el nombre de milers de paquets enviats.

1. a) Troba la funció del cost marginal, és a dir, la derivada del cost $C'(x)$.
2. b) Calcula el ritme al qual creix el cost quan s'estan enviant $4000$ paquets ($x=4$).
3. c) Calcula la segona derivada $C''(x)$ simplificant l'expressió al màxim.

Es sap que la funció $f(x) = ax^3 + bx^2 + 9x$ té una segona derivada que s'anul·la a $x = 2$. A més, es coneix que el valor de la primera derivada en el punt $x = 1$ és igual a $6$. Calcula els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$.

Donada la funció $g(x) = e^{2x} \cdot (x^2 - 1)$, demostra que es compleix la relació següent entre la funció i les seves derivades succesives per a qualsevol valor de $x$:

El nombre de seguidors d'un "influencer" en una xarxa social creix segons la funció $S(t) = \frac{50t}{t+2}$, on $t$ és el temps en mesos des que va obrir el seu compte i $S(t)$ es mesura en milers de seguidors.

1. a) Obtén la funció derivada $S'(t)$, que representa la velocitat de creixement de la comunitat.
2. b) A quin ritme està guanyant seguidors exactament en acabar el quart mes?
3. c) Estudia el signe de la segona derivada $S''(t)$ per a $t > 0$ i explica què significa aquest resultat en termes del creixement del compte (creix cada vegada més ràpid o cada vegada més lent?).

Troba els valors de $k$ i $p$ perquè la funció $f(x)$ sigui derivable en tot el seu domini (especialment en el punt de salt $x = 0$):

Una vegada trobats, calcula el valor de $f''(1)$.

Donada la funció $h(x) = \ln(x^2 + 1)$, la gràfica de la qual apareix a la figura, calcula:

1. a) El pendent de la recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 1$.

1. b) L'equació de la funció derivada segona $h''(x)$.

1. c) Els punts de la gràfica on la derivada segona és igual a zero.

Sigui la funció $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

1. a) Calcula $f'(x)$, $f''(x)$ i $f'''(x)$.
2. b) Observant els resultats anteriors, intenta deduir una expressió general per a la derivada $n$-èsima $f^{(n)}(x)$.

(Pista: Fixa't en com evoluciona l'exponent del denominador i el signe de la fracció).

Per a calcular les derivades successives de la funció racional $f(x) = \dfrac{2x^3 - 4x^2 + 6x}{2x}$, dos estudiants de 2n de Batxillerat proposen camins diferents:

• Irene proposa aplicar directament la regla de derivació del quocient per a obtenir $f'(x)$, i tornar a aplicar la regla del quocient sobre el resultat per a trobar $f''(x)$.

• Lucas sosté que és molt més ràpid i segur simplificar l'expressió dividint cada sumand del numerador entre el denominador abans de començar a derivar.

1. a) Compara els dos mètodes i justifica quin és més convenient. Especifica el domini de definició de $f(x)$ i aclareix si la simplificació de Lucas és vàlida per a tots els punts d'aquest domini.
2. b) Utilitzant el mètode més eficient, calcula les expressions simplificades de la funció derivada $f'(x)$, de la derivada segona $f''(x)$ i de la derivada tercera $f'''(x)$.
3. c) A partir dels resultats obtinguts, dedueix de manera raonada el valor de la derivada d'ordre deu, $f^{(10)}(x)$, per a qualsevol punt del domini, justificant la teva conclusió a partir del grau de la funció sense realitzar els càlculs intermedis.

Una companyia de telecomunicacions opera a Espanya oferint un paquet mensual de fibra i mòbil. El departament d'anàlisi estima que si fixa una quota mensual de $p$ euros ($p \in [10, 60]$), el nombre d'abonats en milers vindrà donat per la funció de demanda $q(p) = 60 - 0,8p$. Els costos fixos mensuals de la infraestructura són de $150$ milers d'euros i el cost variable d'atenció i servei és de $10$ euros al mes per cada client abonat (és a dir, $10$ milers d'euros per cada miler de clients).

1. a) Escriu l'expressió analítica de la funció d'ingressos $I(p)$ i de la funció de costos totals $C(p)$, ambdues en milers d'euros i en funció exclusiva del preu $p$. A partir d'aquestes, obtén la funció de benefici mensual $B(p) = I(p) - C(p)$.
2. b) Calcula la funció de benefici marginal respecte al preu, $B'(p)$, i la funció derivada segona $B''(p)$.
3. c) Interpreta el signe constant de $B''(p)$ en termes econòmics: augmenta el benefici a un ritme cada vegada major o cada vegada menor a mesura que s'encareix la tarifa?
4. d) Determina el preu $p$ per al qual el benefici marginal s'anul·la ($B'(p) = 0$). Explica què passa amb el benefici global de l'empresa si es decideix fixar una quota inferior o superior a aquest preu.

Determina l'expressió general per a la derivada $n$-èsima de la funció racional $f(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$, definida per a $x \neq \dfrac{2}{3}$. Per a això, calcula les quatre primeres derivades successives, identifica el patró recurrent i utilitza la notació de factorial $n!$ i potències per escriure $f^{(n)}(x)$.

Una empresa de desenvolupament d'aplicacions mòbils ha comprovat que el nombre d'usuaris actius del seu nou joc, mesurat en milers, segueix la funció $U(t) = t^2 \cdot e^{-0,5t}$, on $t$ és el temps en mesos des del llançament. La gràfica de la funció és la següent:

L'"acceleració" en la captació d'usuaris ve donada per la derivada segona de la funció, $U''(t)$.

1. a) Calcula la funció derivada segona $U''(t)$.

1. b) Determina en quins moments (mesos) l'acceleració és nul·la (punts d'inflexió del creixement).

Donada la funció $f(x) = a \cdot \ln(x) + b \cdot x^2 + x$, calcula els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que la funció primera derivada s'anul·la en $x = 1$, és a dir, $f'(1) = 0$, i que la segona derivada en aquest mateix punt val $f''(1) = 5$. Un cop trobats $a$ i $b$, escriu l'expressió de la tercera derivada $f'''(x)$.

En l'anàlisi d'algorismes informàtics, s'estudia la complexitat d'una funció de cost definida per $C(x) = x^x$ per a $x > 0$. Utilitza la tècnica de la derivació logarítmica per trobar la funció derivada $C'(x)$. Posteriorment, calcula la segona derivada $C''(x)$ i comprova si existeix algun valor de $x$ per al qual la derivada del pendent sigui nul·la.

Considera la funció exponencial composta $g(x) = e^{x^2 - 4x}$. Troba les funcions derivades successives $g'(x)$ i $g''(x)$. Troba els punts de la gràfica on la funció original i la seva segona derivada prenen el mateix valor, és a dir, resol l'equació $g(x) = g''(x)$.

Un sociòleg estudia la propagació d'un rumor en una xarxa social mitjançant la funció $P(t) = \dfrac{100}{1 + 9e^{-t}}$, on $P$ és el percentatge de la població que coneix el rumor i $t$ és el temps en dies.

Demostra que la velocitat de propagació (la primera derivada $P'(t)$) és màxima quan la segona derivada és nul·la ($P''(t) = 0$). Calcula aquest instant $t$ exacte utilitzant logaritmes neperians.

Calcula el valor dels paràmetres $k$ i $p$ perquè la funció $f(x) = \sin(kx) + e^{px}$ compleixi les condicions següents simultàniament:

1. La seva primera derivada a l'origen és nul·la: $f'(0) = 0$.

2. La seva segona derivada a l'origen és igual a 2: $f''(0) = 2$.

Justifica si els valors obtinguts són únics o si existeixen múltiples combinacions.

Donada la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + k}$, on $k$ és una constant positiva, demostra que es compleix la relació:

Per fer-ho, obtén primer la funció derivada $f'(x)$, simplifica-la, i després calcula la segona derivada $f''(x)$. Substitueix totes dues en l'expressió de l'esquerra per verificar la igualtat.

Un equip de consultoria financera necessita determinar la funció de cost total $C(x)$ (en euros) d'una fàbrica de components per a vehicles elèctrics a Almussafes, on $x$ representa el nombre d'unitats produïdes diàriament. Se sap que el comportament dels costos respon a un polinomi de tercer grau de la forma $C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, i que es compleixen simultàniament les quatre condicions següents:

1. Mantenir la planta oberta sense produir cap unitat ($x=0$) genera uns costos fixos diaris de $1200$ euros.

2. En assolir una producció de $10$ unitats al dia, el cost marginal és de $40$ euros per unitat.

3. La derivada segona del cost s'anul·la exactament per a un volum de producció de $x = 20$ unitats ($C''(20) = 0$), punt a partir del qual el creixement dels costos deixa de desaccelerar-se i comença a accelerar-se.

4. Per a aquest mateix nivell de $20$ unitats diàries, el cost marginal assoleix el seu valor mínim absolut, que és de $10$ euros per unitat.

1. a) Tradueix cadascuna de les quatre condicions a una equació que involucri $C(x)$, $C'(x)$ o $C''(x)$.
2. b) Planteja i resol el sistema resultant per a trobar els valors numèrics dels paràmetres $a$, $b$, $c$ i $d$.
3. c) Un cop obtinguda la funció $C'(x)$, demostra algebraicament que el cost marginal $C'(x)$ és estrictament positiu per a qualsevol nivell de producció $x \ge 0$. Quina implicació econòmica real té aquest fet per a la fàbrica?

Per a estudiar l'impacte d'una campanya de conscienciació de la Direcció General de Trànsit (DGT) a les xarxes socials, es modelitza la proporció de conductors joves assolits mitjançant la funció $f(t) = \dfrac{t}{t+2}$, on $t \ge 0$ és el temps transcorregut en setmanes.

Per a predir el comportament a llarg termini de les successives acceleracions de la difusió, dos analistes intenten deduir la fórmula general de la derivada $n$-èsima, $f^{(n)}(t)$:

• Lucía proposa la fórmula: $f^{(n)}(t) = \dfrac{(-1)^{n-1} \cdot 2 \cdot n!}{(t+2)^{n+1}}$, per a tot $n \ge 1$.

• Sergio sosté que la fórmula correcta és: $f^{(n)}(t) = \dfrac{(-1)^n \cdot n!}{(t+2)^{n+1}}$, per a tot $n \ge 1$.

1. a) Comprova que $f(t)$ es pot reescriure algebraicament com $f(t) = 1 - \dfrac{2}{t+2}$. Justifica per què utilitzar aquesta expressió simplifica notablement el càlcul de derivades successives en comparació amb derivar reiteradament com a quocient.
2. b) Calcula de manera seqüencial les quatre primeres funcions derivades: $f'(t)$, $f''(t)$, $f'''(t)$ i $f^{(4)}(t)$, expressant cadascuna com una única fracció sense exponents negatius.
3. c) Analitza amb rigor qui té raó entre Lucía i Sergio. Per a fer-ho, examina detalladament els tres patrons que intervenen en la derivada $n$-èsima: la regla d'alternança de signes, el coeficient numèric (i l'aparició del factorial $n!$) i l'exponent del denominador. Assenyala amb precisió les errades comeses per la persona equivocada.
4. d) A partir de la derivada segona $f''(t)$, determina el seu signe per a qualsevol instant $t > 0$ i interpreta el resultat en el context de la campanya: el ritme al qual s'incorporen nous conductors informats s'està accelerant o frenant amb el pas de les setmanes?