Función derivada. Derivadas sucesivas
Ya sabes derivar una función en un punto. Pero $f'(x)$ no es solo un número suelto para cada $x$: es, ella misma, una función completa, con su propia expresión y su propia gráfica. Y como es una función, se puede volver a derivar. Esto abre dos puertas que vas a usar en todo el bloque: leer el coste, ingreso o beneficio marginal de una empresa directamente en $f'$, y derivar varias veces para estudiar la forma de una curva con precisión.
De la derivada en un punto a la función derivada
Dada la función $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, realiza las siguientes tareas: 1. Calcula la función derivada $f'(x)$ aplicando las reglas de derivación. 2. Halla el valor de la…
Dada la función $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, realiza las siguientes tareas:
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Calcula la función derivada $f'(x)$ aplicando las reglas de derivación.
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Halla el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.
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Determina la ecuación de la recta tangente en dicho punto.
Lectura económica: la función marginal
En economía, la derivada de una función de coste, ingreso o beneficio se llama función marginal: aproxima cuánto cambia el total al producir o vender una unidad más. Este apartado es la puerta de entrada a todo el bloque de optimización económica.
Una empresa de fabricación de fundas para móviles ha determinado que el coste total (en euros) de producir $x$ unidades viene dado por la función: $$C(x) = 0,5x^2 + 10x…
Una empresa de fabricación de fundas para móviles ha determinado que el coste total (en euros) de producir $x$ unidades viene dado por la función:
$$C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$$Calcula la función de coste marginal, $C'(x)$, y determina cuál es el coste aproximado de producir la unidad número 21 (es decir, calcula $C'(20)$).
Derivadas sucesivas
Calcula las tres primeras derivadas de la función polinómica $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 7$. Una vez obtenidas, comprueba si se cumple que $f'''(1) = 18$.
Calcula las tres primeras derivadas de la función polinómica $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 7$. Una vez obtenidas, comprueba si se cumple que $f'''(1) = 18$.
Dada la función polinómica $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 10$, realiza las siguientes operaciones: a) Calcula la función derivada primera…
Dada la función polinómica $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 10$, realiza las siguientes operaciones:
- a) Calcula la función derivada primera $f'(x)$ y la función derivada segunda $f''(x)$.
- b) Determina los valores de $x$ para los cuales la derivada segunda se anula ($f''(x) = 0$).
- c) Calcula la derivada de orden superior $f^{(5)}(x)$ y justifica el resultado obtenido sin necesidad de realizar todos los pasos intermedios.
El patrón de la derivada $n$-ésima
En funciones sencillas (potencias, exponenciales, $1/x$) las derivadas sucesivas siguen un patrón regular que se puede escribir de golpe con la fórmula $f^{(n)}(x)$, sin derivar una por una hasta el orden que se pida.
Dada la función $h(x) = \ln(x^2 + 1)$, calcula: a) La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$. b) La ecuación de la función derivada…
Dada la función $h(x) = \ln(x^2 + 1)$, calcula:
- a) La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$.
- b) La ecuación de la función derivada segunda $h''(x)$.
- c) Los puntos de la gráfica donde la derivada segunda es igual a cero.
Determina la expresión general para la derivada $n$-ésima de la función racional $f(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$. Para ello, calcula las cuatro primeras derivadas sucesivas,…
Determina la expresión general para la derivada $n$-ésima de la función racional $f(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$. Para ello, calcula las cuatro primeras derivadas sucesivas, identifica el patrón recurrente y utiliza la notación de factorial $n!$ y potencias para escribir $f^{(n)}(x)$.