Extremos relativos

Un "influencer" ha comprobado que el número de "likes" de sus publicaciones sigue la función $L(t) = t^3 - 3t^2 + 4$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la publicación ($0 \le t \le 3$).

Calcula los puntos críticos de la función en ese intervalo resolviendo la ecuación $L'(t) = 0$.

Dada la siguiente gráfica de la función derivada $f'(x)$, indica para qué valores de $x$ la función original $f(x)$ tiene un máximo o un mínimo relativo. Justifica tu respuesta basándote en el cambio de signo de la derivada.

Un creador de contenido ha analizado la evolución de las visualizaciones de sus videos durante las primeras 10 horas tras su publicación. La función que describe el número de visualizaciones acumuladas (en miles) viene dada por $V(t) = -t^3 + 12t^2 + 60t$, donde $t$ es el tiempo en horas, con $t \in [0, 10]$.

Calcula en qué momento el número de visualizaciones crece con mayor rapidez. Para ello, halla el valor de $t$ que maximiza la función de ritmo de crecimiento $V'(t)$ y determina los extremos relativos de la función original $V(t)$ en dicho intervalo.

Clasifica los extremos relativos de la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$ utilizando el criterio de la segunda derivada. Para ello:

1. Halla $f'(x)$ y busca el valor de $x$ tal que $f'(x) = 0$.

2. Halla $f''(x)$ y comprueba su signo en el valor obtenido anteriormente.

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$. A partir de la información visual, identifica razonadamente las abscisas de los puntos donde la función original $f(x)$ presenta sus máximos y mínimos relativos. Explica qué criterio utilizas para diferenciar entre un máximo y un mínimo a partir del signo de $f'(x)$.

Se considera la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3 & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{3}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Estudia la continuidad y derivabilidad en $x = 0$. Basándote en el estudio anterior y en el cálculo de la derivada en cada tramo, determina si la función presenta un máximo o un mínimo relativo en $x = 0$.

Un estudio logístico para una empresa de reparto de comida a domicilio estima que el coste operativo horario depende de la velocidad media $v$ (en km/h) de sus repartidores según la función:

$C(v) = 2v^2 + \frac{16000}{v} + 50$ para $v > 0$.

1. a) Calcula la velocidad óptima que minimiza el coste operativo.
2. b) Demuestra que no existen máximos relativos para esta función en su dominio.
3. c) Si por normativa de seguridad la velocidad media no puede superar los 15 km/h, ¿cuál sería el coste mínimo real que la empresa podría alcanzar?