Exercicis: Extrems relatius

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ que representa l'evolució del nombre d'usuaris actius en una nova aplicació mòbil durant les primeres 8 hores del matí. Identifica les coordenades $(x, y)$ dels màxims i mínims relatius que apareixen en el dibuix.

Donada la funció de beneficis d'una petita empresa tèxtil, definida per $B(x) = -x^2 + 10x - 16$, on $x$ és el nombre de peces de roba fabricades (en centenars):

1. Calcula la funció derivada $B'(x)$.

2. Troba el valor de $x$ que anul·la la derivada (punt crític).

3. Determina si aquest punt correspon a un màxim o a un mínim relatiu.

Un influencer ha comprovat que el nombre de likes de les seves publicacions segueix la funció $L(t) = t^3 - 3t^2 + 4$, on $t$ és el temps en hores des de la publicació ($0 \le t \le 3$).

Calcula els punts crítics de la funció en aquest interval resolent l'equació $L'(t) = 0$.

Classifica els extrems relatius de la funció $f(x) = x^2 - 6x + 8$ utilitzant el criteri de la segona derivada. Per fer-ho:

1. Troba $f'(x)$ i busca el valor de $x$ tal que $f'(x) = 0$.

2. Troba $f''(x)$ i comprova el seu signe en el valor obtingut anteriorment.

Donada la gràfica següent de la funció derivada $f'(x)$ (una recta), indica per a quins valors de $x$ la funció original $f(x)$ té un màxim o un mínim relatiu. Justifica la resposta basant-te en el canvi de signe de la derivada.

Troba els extrems relatius de la funció polinòmica $f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + 5$. Indica les coordenades completes $(x, y)$ de cada extrem identificat.

Es sap que una funció $f(x)$ té un punt crític a $x = 3$. Si la segona derivada és $f''(x) = 2x - 10$, utilitza el valor de $f''(3)$ per determinar si a $x = 3$ hi ha un màxim relatiu o un mínim relatiu.

La funció $C(x) = 2x^2 - 8x + 20$ descriu els costos de manteniment d'un servidor web en funció de la càrrega de treball $x$.

Representa esquemàticament la paràbola i troba el valor de $x$ que minimitza el cost.

ERROR ALIÈ. En Mateo està analitzant la rendibilitat d'una petita empresa familiar i afirma el següent en el seu informe:

«Per a la funció de cost unitari $C(x) = x^3 - 6x^2 + 12x + 10$ (en euros, on $x$ és el nombre de lots produïts), he calculat $C'(x) = 3x^2 - 12x + 12$. En resoldre $C'(x) = 0$, obtinc una única solució a $x = 2$. Com que la derivada s'anul·la, a $x = 2$ hi ha obligatòriament un extrem relatiu. A més, en calcular la segona derivada obtinc $C''(2) = 0$, la qual cosa confirma que no és un màxim, per la qual cosa ha de ser un mínim relatiu».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals que ha comès en Mateo en la seva argumentació teòrica.
2. b) Corregeix l'anàlisi: estudia el signe de $C'(x)$ a l'esquerra i a la dreta de $x = 2$ i determina de manera raonada què passa realment en aquest punt de producció.

TRIA EL MÈTODE. Una empresa de comerç electrònic estima que els ingressos nets diaris derivats d'una campanya publicitària venen donats per la funció $I(x) = -x^4 + 4x^3$ (en centenars d'euros), on $x$ representa la inversió publicitària diària (en centenars d'euros, amb $x \ge 0$).

1. a) Troba els dos punts crítics de la funció $I(x)$ igualant la seva derivada primera a zero.
2. b) Intenta classificar tots dos punts utilitzant el criteri de la segona derivada. Què passa en cadascun d'ells? Permet aquest criteri classificar tots dos punts o resulta inconclusiu en algun?
3. c) Aplica el criteri del canvi de signe de la primera derivada per estudiar el comportament al voltant dels punts crítics. A partir dels resultats, compara tots dos mètodes: explica quin ha estat més eficaç en aquest cas concret i conclou quin tipus de punt (màxim relatiu, mínim relatiu o cap) representa cadascun.

Un creador de contingut ha analitzat l'evolució de les visualitzacions dels seus vídeos durant les primeres 10 hores després de publicar-los. La funció que descriu el nombre de visualitzacions acumulades (en milers) ve donada per $V(t) = -t^3 + 12t^2 + 60t$, on $t$ és el temps en hores, amb $t \in [0, 10]$.

Calcula en quin moment el nombre de visualitzacions creix més ràpidament. Per fer-ho, troba el valor de $t$ que maximitza la funció de ritme de creixement $V'(t)$ i determina els extrems relatius de la funció original $V(t)$ en aquest interval.

Calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció polinòmica $f(x) = ax^3 + bx^2 + 9x + 4$ tingui un màxim relatiu en el punt $P(1, 8)$. Una vegada trobats els valors, comprova mitjançant la segona derivada si realment es tracta d'un màxim o d'un mínim.

La gràfica següent correspon a la funció derivada $f'(x)$ d'una funció contínua $f(x)$. A partir de la informació visual, identifica raonadament les abscisses dels punts on la funció original $f(x)$ presenta els seus màxims i mínims relatius. Explica quin criteri utilitzes per diferenciar entre un màxim i un mínim a partir del signe de $f'(x)$.

Una empresa de missatgeria ha determinat que el cost mitjà de lliurament d'un paquet depèn de la distància $x$ (en km) al centre de distribució segons la funció:

$C(x) = \dfrac{2x^2 + 32}{x}$ per a $x > 0$.

Troba la distància $x$ a la qual el cost de lliurament és mínim. Justifica que el valor obtingut és efectivament un mínim relatiu utilitzant el criteri de la primera o la segona derivada.

L'eficàcia d'un nou fàrmac per a l'estudi de la memòria en adolescents es mesura en una escala de 0 a 20. Després de la ingesta, l'eficàcia $E$ al cap de $t$ hores ve donada per la funció exponencial:

$E(t) = 10t \cdot e^{-0,2t}$ per a $t \ge 0$.

Determina l'instant $t$ en què el fàrmac assoleix la seva màxima eficàcia. Indica el valor d'aquesta eficàcia màxima i confirma si és un extrem relatiu.

Sigui la funció racional $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.

Estudia el creixement i decreixement de la funció i localitza els seus extrems relatius. Té aquesta funció algun punt on la derivada s'anul·li però no sigui ni màxim ni mínim? Raona la teva resposta.

Es considera la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3 & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{3}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Estudia la continuïtat i derivabilitat a $x = 0$. Basant-te en l'estudi anterior i en el càlcul de la derivada en cada tram, determina si la funció presenta un màxim o un mínim relatiu a $x = 0$.

Un departament de màrqueting estima que els beneficis mensuals d'una campanya publicitària (en euros) segueixen la funció $B(x) = -x^3 + 15x^2 + 600x - 1000$, on $x$ és el nombre de canals de difusió utilitzats ($x \in [1, 30]$).

Troba el nombre de canals que maximitza el benefici mensual. Distingeix entre els extrems relatius que es troben a l'interior de l'interval i els valors que pren la funció a les vores del domini per assegurar el màxim absolut.

ESTIMA I COMPROVA. En el mercat elèctric regulat a Espanya (tarifa PVPC), la gran aportació de la generació solar fotovoltaica sol reduir el preu horari de l'electricitat en les hores centrals de la tarda (habitualment entre les 14:00 i les 18:00), abans que el preu torni a pujar quan es fa fosc. Un analista modelitza el preu del megawatt-hora (en euros) en una jornada de primavera mitjançant la funció $P(t) = 0,1t^3 - 4,2t^2 + 57,6t - 150$, on $t$ representa l'hora del dia en l'interval $t \in [10, 20]$ (de 10:00 a 20:00 hores).

1. a) Abans de fer cap càlcul derivatiu, estima raonadament en quina franja horària s'hauria de situar el mínim relatiu de preus i justifica si esperes que el preu a les 12:00 sigui superior o inferior que a mitja tarda.
2. b) Calcula amb exactitud els punts crítics de $P(t)$ en l'interval obert $(10, 20)$ i classifica'ls justificadament mitjançant el criteri de la segona derivada.
3. c) Comprova si el mínim relatiu obtingut coincideix amb la teva estimació prèvia i explica la utilitat de conèixer les hores exactes dels extrems relatius per a una empresa que hagi de programar un consum intensiu de maquinària.

PROBLEMA INVERS. Una empresa de distribució de paqueteria urgent a l'àrea metropolitana de Madrid necessita dissenyar un model per predir els seus costos operatius diaris $C(x) = a x^3 + b x^2 + c x + 500$ (en euros), on $x$ és el nombre de vehicles de repartiment en circulació ($x \in [1, 15]$). L'equip directiu imposa les tres condicions d'eficiència següents:

1) La funció ha d'assolir un màxim relatiu d'ineficiència quan circulen exactament $x = 2$ vehicles (a causa de problemes d'escala inicials).

2) La funció ha d'assolir un mínim relatiu de cost operatiu quan circulen exactament $x = 10$ vehicles (punt d'òptim repartiment de rutes).

3) El cost marginal inicial per a $x = 0$ (és a dir, el pendent $C'(0)$) ha de ser exactament de $60$ euros per vehicle.

1. a) Planteja el sistema d'equacions lineals que permet calcular els paràmetres $a$, $b$ i $c$, i resol el seu valor exacte.
2. b) Amb els valors calculats, justifica formalment mitjançant el signe de $C'(x)$ o mitjançant la segona derivada que a $x = 2$ hi ha un màxim relatiu i a $x = 10$ hi ha un mínim relatiu.
3. c) Si l'empresa ha de triar entre mantenir operatives 2 furgonetes o 10 furgonetes, raona econòmicament quina és la decisió correcta basant-te en la teoria d'extrems relatius.

Una agència de màrqueting digital ha determinat que el nivell d'interacció (engagement) d'una campanya a les xarxes socials segueix la funció $E(t) = \frac{at}{1 + bt^2}$, on $t$ és el temps en dies des del llançament. Se sap que el màxim nivell d'interacció s'assoleix exactament als 4 dies i que, en aquest moment, el valor de l'engagement és de 10 unitats.

1. a) Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$.
2. b) Justifica, mitjançant el criteri de la segona derivada, que en $t = 4$ hi ha efectivament un màxim relatiu.
3. c) Què passa amb l'engagement a molt llarg termini? Interpreta el resultat.

Es considera la funció de beneficis d'una startup tecnològica definida a trossos per als dos primers anys ($t \in [0, 24]$ mesos):

$B(t) = \begin{cases} t^2 - 12t & \text{si } 0 \le t < 12 \\ \ln(t - 11) + k & \text{si } 12 \le t \le 24 \end{cases}$

1. a) Calcula el valor de $k$ perquè la funció sigui contínua a $t = 12$.
2. b) Per al valor de $k$ trobat, estudia si la funció és derivable a $t = 12$.
3. c) Determina els intervals de creixement i decreixement, i troba els extrems relatius (màxims i mínims) de la funció en l'interval total.

Un estudi logístic per a una empresa de repartiment de menjar a domicili estima que el cost operatiu horari depèn de la velocitat mitjana $v$ (en km/h) dels seus repartidors segons la funció:

$C(v) = 2v^2 + \frac{16000}{v} + 50$ per a $v > 0$.

1. a) Calcula la velocitat òptima que minimitza el cost operatiu.
2. b) Demostra que no existeixen màxims relatius per a aquesta funció en el seu domini.
3. c) Si per normativa de seguretat la velocitat mitjana no pot superar els 15 km/h, quin seria el cost mínim real que l'empresa podria assolir?

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, troba els valors de $a$, $b$ i $c$ sabent que la funció presenta un punt d'inflexió a $x = 1$, un extrem relatiu a $x = 2$ i que la gràfica passa pel punt $(0, 5)$. Una vegada trobats els paràmetres, classifica tots els extrems relatius de la funció.

Un "influencer" analitza la viralitat dels seus vídeos. El nombre de visualitzacions diàries $V$ (en milers) després de $t$ hores de la publicació, amb $0 \le t \le 24$, segueix el model $V(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$. La figura mostra la gràfica de la funció.

1. a) En quin moment exacte del dia assoleix el vídeo el seu pic màxim de visualitzacions?

1. b) Determina els intervals de temps en què el ritme de creixement de les visualitzacions està augmentant (usa la segona derivada).

1. c) Calcula el valor màxim de visualitzacions diàries.

Troba els extrems relatius de la funció $f(x) = \frac{\ln(x^2)}{x}$. Para una atenció especial al domini de la funció i a la seva simetria per simplificar l'estudi. Justifica si els extrems trobats són màxims o mínims absoluts en l'interval $(0, +\infty)$.

Es vol dissenyar una tanca publicitària rectangular de $18$ $m^2$ de superfície. El cost del marc superior i inferior és de $20$ € per metre lineal, mentre que el cost dels laterals és de $15$ € per metre lineal. A més, per motius estètics, l'altura de la tanca no pot ser inferior a $2$ metres ni superior a $5$ metres.

1. a) Expressa la funció de cost total del marc en funció de l'amplada $x$.
2. b) Determina les dimensions de la tanca que minimitzen el cost total dins de les restriccions donades.
3. c) Quin és aquest cost mínim?

Sigui la funció $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^x$.

1. a) Expressa la funció sense valors absoluts.
2. b) Estudia la derivabilitat en els punts $x = -2$ i $x = 2$.
3. c) Determina tots els màxims i mínims relatius de la funció. Indica quins corresponen a punts on la funció no és derivable (punts angulosos).

MODELITZA. La taxa d'ocupació hotelera $H(t)$ (en percentatge, sobre $100$) en una comarca turística del Pirineu d'Osca al llarg de les 16 setmanes que van des de l'inici de la temporada d'esquí fins a l'arrencada de les rutes de primavera ($t \in [0, 16]$, on $t$ es mesura en setmanes) segueix un comportament dual modelitzat per la funció:

1. a) Comprova si la funció $H(t)$ és contínua a $t = 8$ i analitza si és derivable en aquest punt calculant les derivades laterals $H'(8^-)$ i $H'(8^+)$.
2. b) Determina tots els candidats a extrems relatius en l'interval obert $(0, 16)$, distingint amb claredat entre els punts on la derivada s'anul·la i aquells punts on la derivada no existeix.
3. c) Estudia el signe de la primera derivada en cadascun dels intervals generats i classifica de manera rigorosa tots els punts crítics trobats (indicant si són màxims relatius, mínims relatius o cap d'ells).
4. d) Interpreta els resultats en el context turístic: en quina setmana es registra el pic de la temporada blanca i en quina setmana es toca fons a la vall intermèdia? Constitueix la setmana de canvi de temporada ($t = 8$) un extrem relatiu d'ocupació? Justifica la teva resposta.

PROBLEMA INVERS AMB DISCUSSIÓ DE PARÀMETRES. El departament financer d'una companyia de telecomunicacions avalua el benefici net projectat $B(x)$ (en milers d'euros) derivat del llançament d'un servei digital segons la inversió en servidors $x$ (en desenes de milers d'euros, amb $x \ge 0$). El model matemàtic ve donat per l'expressió:

on $k$ és un paràmetre real positiu que reflecteix el grau de saturació de la infraestructura.

1. a) Calcula la primera derivada $B'(x)$ i discuteix, segons els diferents valors de $k > 0$, quants punts crítics té la funció i per a quins valors de $k$ existeixen extrems relatius en el domini.
2. b) Per al valor crític $k = 3$, comprova què passa amb el criteri de la segona derivada en el punt crític resultant i demostra, mitjançant l'estudi del signe de la primera derivada, per què en aquest punt no existeix ni un màxim ni un mínim relatiu.
3. c) Si estudis de mercat confirmen que l'empresa assoleix un màxim relatiu de beneficis quan la inversió és de $10\,000$ € ($x = 1$):

1. Determina el valor del paràmetre $k$.

2. Troba les coordenades $(x, B(x))$ de tots els extrems relatius (màxim i mínim) i classifica'ls.

3. Raona el comportament del benefici: explica per què després d'assolir el màxim relatiu a $x = 1$, augmentar moderadament la inversió provoca una caiguda de beneficis fins a un mínim relatiu abans de tornar a créixer a gran escala.