Exercicis: Sistemes homogenis

Un grup d'estudiants de 2n de Batxillerat està analitzant diferents tipus de models matemàtics. Es troben amb el sistema d'equacions següent:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 0 \\ x + 4y - 5z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \end{cases}$

Indica raonadament per què aquest sistema es classifica com a sistema homogeni i comprova si la terna $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ n'és solució. Com es denomina tècnicament aquesta solució?

Geomètricament, cada equació d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites representa un pla en l'espai. En el cas dels sistemes homogenis, tots els plans comparteixen una característica comuna respecte a la seva posició en l'eix de coordenades.

Observa el gràfic següent que representa tres plans intersecant-se:

Si el punt destacat és l'origen de coordenades, és possible que un sistema homogeni sigui incompatible (que no tingui cap solució)? Justifica la teva resposta basant-te en la interpretació geomètrica.

Determina si el sistema homogeni següent de dues equacions amb dues incògnites té únicament la solució trivial o si, per contra, té infinites solucions:

$\begin{cases} 2x + 5y = 0 \\ 4x + 10y = 0 \end{cases}$

Per a fer-ho, utilitza el determinant de la matriu de coeficients $A$.

Resol el següent sistema homogeni expressant les seves solucions en funció de dos paràmetres (forma paramètrica):

$\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x - 4y + 2z = 0 \end{cases}$

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II, l'Hugo s'enfronta al sistema homogeni següent:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x + y - 3z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \end{cases}$$

Després de calcular el determinant de la matriu de coeficients i obtenir $|A| = 0$, l'Hugo escriu la conclusió següent:

«Com que el determinant és 0, el rang de la matriu de coeficients és menor que 3. Pel teorema de Rouché-Frobenius, en no coincidir el rang amb el nombre d'incògnites, el sistema no té cap solució; és a dir, és un sistema incompatible».

1. a) Identifica i explica de manera raonada l'error conceptual comès per l'Hugo. Esmenta quins tipus de compatibilitat pot presentar un sistema homogeni segons el teorema de Rouché-Frobenius i quina és la solució que sempre té assegurada.
2. b) Corregeix la resolució: calcula el rang de la matriu de coeficients, classifica el sistema adequadament i troba la solució general en forma paramètrica.

Considera el següent sistema lineal homogeni de dues equacions amb tres incògnites:

$$\begin{cases} 2x - 3y + z = 0 \\ 4x + y - 5z = 0 \end{cases}$$

1. a) Estima i raona: Abans de fer cap càlcul formal, raona si és possible que aquest sistema sigui compatible determinat (és a dir, que admeti únicament la solució trivial $(0, 0, 0)$). Basa la teva estimació en el nombre d'equacions enfront del nombre d'incògnites i en la interpretació geomètrica de les equacions com a plans que passen per l'origen de coordenades.
2. b) Comprova: Aplica el teorema de Rouché-Frobenius determinant els rangs de la matriu de coeficients i de la matriu ampliada. Resol el sistema expressant les solucions en funció d'un paràmetre $\lambda$ i confirma si el resultat obtingut coincideix amb l'estimació que has formulat en l'apartat anterior.

Un estudi d'arquitectura dissenya una estructura basada en tres bigues de suport les tensions internes de les quals, representades per les variables $x$, $y$ i $z$, han d'estar en equilibri. El model matemàtic resultant és el sistema homogeni següent:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ 4x + y + 5z = 0 \end{cases}$

1. a) Justifica, sense resoldre el sistema, per què sempre admet almenys una solució.
2. b) Calcula el rang de la matriu de coeficients i determina si l'estructura només té la "solució de repòs" (trivial) o si permet altres configuracions d'equilibri.
3. c) En cas que existeixin solucions no trivials, troba la seva expressió general.

En un laboratori de química, es barregen tres components per estabilitzar un reactiu. Les proporcions relatives $x, y, z$ han de satisfer el sistema:

$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ x + 3y + z = 0 \\ 3x + 10y + 4z = 0 \end{cases}$

Demostra que el sistema és compatible indeterminat i obtén les seves solucions depenent d'un paràmetre $\lambda$. Si el laboratori exigeix que $z = 5$, quin seria el valor dels altres dos components?

Estudia el rang de la matriu del sistema homogeni següent i resol en els casos en què no sigui compatible determinat:

$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 2y - 2z = 0 \\ -x - y + z = 0 \end{cases}$

Explica raonadament per què aquest sistema té "més llibertat" (més paràmetres) que un sistema compatible indeterminat convencional de tres equacions amb una sola fila redundant.

Construeix un sistema de tres equacions lineals homogeni amb tres incògnites que compleixi les condicions següents simultàniament:

1. El rang de la matriu de coeficients sigui 2.

2. Una de les solucions sigui $(1, -1, 0)$.

3. El sistema sigui compatible indeterminat.

Posteriorment, comprova que el sistema dissenyat efectivament té la solució trivial com una de les seves solucions possibles.

Com a analista financer d'una consultora, necessites formular un model matemàtic homogeni de tres incògnites ($x, y, z$) que simuli el reajustament comptable de tres partides de despesa sense generar desequilibri global. El sistema ha de complir alhora els tres requisits següents:

1. La terna $(x, y, z) = (2, -1, 3)$ ha de ser una solució particular del sistema.

2. El conjunt de solucions ha de representar una recta a l'espai tridimensional (és a dir, el sistema ha de ser compatible indeterminat amb un únic grau de llibertat).

3. El sistema ha de contenir tres equacions lineals de manera que cap d'elles sigui nul·la ($0 = 0$) ni idèntica a una altra.

1. a) Construeix raonadament les tres equacions del sistema homogeni, justificant pas a pas com garanteixes que es compleixi la solució particular donada i que el rang de la matriu de coeficients sigui exactament 2.
2. b) Resol el sistema que has construït expressant la solució general en funció d'un paràmetre $\lambda$ i comprova per a quin valor exacte de $\lambda$ s'obté la solució $(2, -1, 3)$.

Es proposa el següent sistema d'equacions lineals homogeni dependent del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} x + y + kz = 0 \\ kx + y + z = 0 \\ x + ky + z = 0 \end{cases}$$

Per determinar els valors de $k$ que fan que el sistema admeti solucions diferents de la solució trivial, dos estudiants proposen camins metodològics diferents:

• Mètode de Gauss (Álvaro): Esglaonar la matriu de coeficients mitjançant operacions elementals per files fins a analitzar la presència de zeros a la diagonal principal.

• Mètode de Determinants (Beatriz): Calcular el determinant $|A|$, factoritzar el polinomi resultant i igualar-lo a 0 per identificar quan el rang descendeix de 3.

1. a) Avalua críticament ambdós mètodes. Explica les dificultats i els riscos algebraics que comporta el mètode d'Álvaro en aquest cas particular (en especial, la necessitat de dividir per expressions amb $k$ o distingir casos en fer zeros) en contrast amb el mètode de Beatriz, i justifica quin dels dos resulta més fiable i ràpid.
2. b) Aplica el mètode que has seleccionat per trobar tots els valors de $k$ per als quals el sistema admet solucions no trivials. Per al menor d'aquests valors, resol el sistema i escriu la solució general en forma paramètrica.

Tres empreses de tecnologia, Alpha, Beta i Gamma, intercanvien serveis de consultoria mensualment. El cost dels serveis es compensa de manera que el flux net de caixa al final del trimestre sigui zero per al sistema global. Es modela el balanç de pagaments pendents mitjançant el sistema homogeni següent, on $x, y, z$ representen els pagaments mensuals de cada empresa:

$$ \begin{cases} 2x - ay + z = 0 \\ ax - 4y + (a-2)z = 0 \\ x + 2y - z = 0 \end{cases} $$

Determina el valor del paràmetre $a$ per al qual les empreses poden fer pagaments no nuls sense trencar l'equilibri del sistema. Per a aquest valor, calcula la relació de proporcionalitat entre els pagaments de les tres empreses.

Sigui $M$ una matriu quadrada d'ordre 3 les files de la qual són $F_1, F_2$ i $F_3$. Sabem que el sistema homogeni $MX = 0$ és compatible indeterminat. Si fem una transformació elemental en el sistema de manera que la nova matriu $M'$ té com a files $F_1' = F_1 + F_2$, $F_2' = F_1 - F_2$ i $F_3' = k \cdot F_3$:

1. a) Sota quines condicions sobre el paràmetre $k$ el nou sistema $M'X = 0$ manté el mateix grau d'indeterminació que el sistema original?

1. b) Si el sistema original tenia com a solució la recta paramètrica $x = \lambda, y = 2\lambda, z = -\lambda$, quina serà la solució del nou sistema si $k=0$? Explica la interpretació geomètrica d'aquest canvi.

Un sistema de control de trànsit en una zona de baixes emissions d'una ciutat espanyola analitza el flux de vehicles en tres carrers principals. El nombre de cotxes que entren i surten d'una intersecció central ha de complir la condició de balanç net nul (entrades = sortides). El sistema es descriu per:

$$ \begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} $$

Analitza la compatibilitat d'aquest sistema de 4 equacions amb 3 incògnites en funció del paràmetre $a$. És possible que el sistema sigui compatible indeterminat tot i tenir més equacions que incògnites? Justifica la teva resposta fent servir el rang de la matriu ampliada.

Troba els valors de $m$ i $n$ perquè el sistema homogeni següent tingui un espai de solucions de dimensió 2 (és a dir, que la solució depengui de dos paràmetres lliures):

$$ \begin{cases} x + my + z = 0 \\ 2x + 4y + nz = 0 \\ mx + 4y + 2z = 0 \end{cases} $$

Pels valors trobats, descriu geomètricament què representen les equacions del sistema i quin és el conjunt de punts que satisfan totes les condicions.

Tres cooperatives agrícoles d'Almeria i Múrcia ($C_1$, $C_2$ i $C_3$) comparteixen un banc comú de recursos i maquinària. En acabar l'any, estableixen un model d'intercanvi intern tancat (model de Leontief) en què no entra ni surt diners del consorci: el valor total del que consumeix cada cooperativa de les altres ha de ser exactament igual al valor total del que produeix. La distribució del consum entre elles és la següent:

• $C_1$ consumeix el $20\,\%$ de la seva pròpia producció, el $60\,\%$ de la producció de $C_2$ i el $10\,\%$ de la de $C_3$.

• $C_2$ consumeix el $50\,\%$ de la producció de $C_1$, el $10\,\%$ de la seva pròpia i el $20\,\%$ de la de $C_3$.

• $C_3$ consumeix el $30\,\%$ de la producció de $C_1$, el $30\,\%$ de la de $C_2$ i el $70\,\%$ de la seva pròpia.

Siguin $p_1, p_2, p_3$ els valors monetaris de la producció anual de $C_1$, $C_2$ i $C_3$, respectivament.

1. a) Formula el sistema homogeni que defineix l'equilibri comptable de les tres cooperatives (valor produït = valor consumit). Explica quin és el significat econòmic de la solució trivial $(0, 0, 0)$ i per què no té utilitat real per a l'activitat econòmica de les cooperatives.
2. b) Demostra, sense necessitat de calcular el determinant explícit de la matriu de coeficients, per què l'estructura de les columnes (les sumes de les quals són totes iguals a 1) garanteix que el sistema és compatible indeterminat.
3. c) Resol el sistema per obtenir la proporció de producció $p_1 : p_2 : p_3$ en l'equilibri. Si la cooperativa $C_1$ va produir béns per valor de $150.000$ euros, determina quant han de produir $C_2$ i $C_3$ perquè el consorci tanqui en equilibri financer.

Un model de control de risc per a carteres indexades a l'IBEX 35 descriu l'estabilitat del mercat mitjançant el següent sistema homogeni dependent de dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ 2x - y + a z = 0 \\ 3x + y + b z = 0 \end{cases}$$

1. a) Problema invers: Dedueix la relació algebraica exacta que han de complir obligatòriament els paràmetres $a$ i $b$ perquè el sistema admeti configuracions d'equilibri no nul·les (és a dir, perquè existeixin infinites solucions).
2. b) Determinació de paràmetres: Sabent a més que una de les carteres en equilibri observades al mercat distribueix les seves ponderacions segons la proporció $(x, y, z) = (1, 1, 3)$, calcula els valors numèrics concrets dels paràmetres $a$ i $b$.
3. c) Resolució i interpretació geomètrica: Amb els valors d'$a$ i $b$ obtinguts en l'apartat anterior, troba la solució general en forma paramètrica i descriu la posició relativa a l'espai dels tres plans definits per les equacions del sistema, justificant si es tallen en un únic punt, en una recta o si dos d'ells són coincidents.

Repte del tema. Com influeix el mix de generació elèctrica en la factura? La teva missió és assessorar una cooperativa energètica a partir de dades reals de Red Eléctrica de España (REE).

1. Presa de dades i model: Consulta a REE la generació diària (GWh) de tres fonts (solar, eòlica i hidràulica) durant tres jornades. Modela el repartiment de costos fixant l'expressió matricial $A \cdot X = B$, i introdueix un paràmetre $k$ per simular una taxa ecològica variable.

2. Discussió i resolució: Aplica el teorema de Rouché-Frobenius per classificar les solucions del sistema segons els valors de $k$. Per al cas base ($k = 1,0$), calcula les solucions aplicant el mètode de Gauss i corrobora el resultat mitjançant la regla de Cramer. Planteja a més el sistema homogeni associat $A \cdot X = 0$ i interpreta el seu significat econòmic.

3. Anàlisi i producte final: Suposant que la demanda diària segueix una distribució $N(\mu, \sigma)$, calcula els seus paràmetres estadístics amb full de càlcul o GeoGebra a partir de la teva mostra. Redacta un informe breu amb una proposta raonada per a la cooperativa.

Es valorarà:

• Rigor en l'expressió matricial i en la discussió amb Rouché-Frobenius segons el paràmetre.

• Correcció en aplicar i comparar el mètode de Gauss, la regla de Cramer i el sistema homogeni.

• Precisió en calcular els paràmetres de la normal amb dades reals utilitzant GeoGebra o full de càlcul.