Funciones exponencial y logarítmica

Sin representarlas, indica cuáles de estas funciones exponenciales son crecientes y cuáles decrecientes, justificando la respuesta a partir de la base:

1. a) $f(x) = 3^{x}$

1. b) $g(x) = 0,5^{x}$

1. c) $h(x) = e^{x}$

1. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$

1. e) $j(x) = 1,03^{x}$

Sean $f(x) = 3^{x}$ y $g(x) = \log_{2} x$. Calcula, sin calculadora:

1. a) $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$

1. b) $g(8)$, $g(1)$ y $g\left(\frac{1}{2}\right)$

La figura muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^{x}$.

1. a) Copia y completa la tabla de valores de la función para $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

1. b) ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de la función? ¿Es creciente o decreciente?

1. c) ¿Qué recta es su asíntota? ¿La toca la gráfica en algún punto? Razona la respuesta.

Asocia cada fenómeno con el tipo de modelo exponencial que mejor lo describe, creciente (base mayor que $1$) o decreciente (base entre $0$ y $1$), y justifica la elección:

• El enfriamiento de una taza de café hasta alcanzar la temperatura ambiente.

• El capital de una cuenta de ahorro con interés compuesto.

• La radiactividad restante de una fuente médica con el paso de los años.

• El número de personas alcanzadas por una cadena solidaria en la que cada persona avisa a tres amigos.

En la figura aparecen las gráficas de $f(x) = 3^{x}$ y $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$.

1. a) ¿En qué punto se cortan ambas? Justifica que toda exponencial de la forma $h(x) = a^{x}$ pasa por ese mismo punto.

1. b) ¿Respecto de qué eje son simétricas las dos gráficas? Compruébalo calculando $f(2)$ y $g(-2)$.

1. c) Sin representarla, describe la gráfica de $k(x) = 0,7^{x}$: crecimiento, asíntota y posición respecto a las dos anteriores.

Al representar juntas las funciones $f(x) = 2^{x}$ y $g(x) = 2^{-x}$, una alumna afirma: «son simétricas respecto del eje $X$, porque una es la exponencial y la otra su opuesta». Valora razonadamente la afirmación: indica si es verdadera o falsa, haz un esquema de ambas gráficas, explica respecto de qué eje son realmente simétricas y confírmalo comparando $f(2)$ con $g(-2)$.

Toda función exponencial $f(x) = a^{x}$ (con $a > 0$ y $a \neq 1$) pasa por un mismo punto, y toda función logarítmica $g(x) = \log_{a} x$ pasa por otro. ¿Cuáles son esos puntos? Demuéstralos calculando $f(0)$ y $g(1)$ para una base cualquiera.

Indica la ecuación de la asíntota de cada función y di de qué tipo es (horizontal o vertical):

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 5^{-x}$

1. c) $h(x) = \log_{3} x$

1. d) $i(x) = \ln x$

La figura muestra la gráfica de la función logarítmica $f(x) = \log_{2} x$.

1. a) Indica su dominio y su recorrido.

1. b) ¿Cuál es su asíntota y de qué tipo es?

1. c) Calcula $f(16)$ y $f\left(\frac{1}{4}\right)$ a partir de la definición de logaritmo y comprueba que encajan con la gráfica.

1. d) ¿Tiene sentido calcular $f(-2)$? ¿Por qué?

Calcula el dominio de las siguientes funciones:

1. a) $f(x) = \log(x - 3)$

1. b) $g(x) = 2^{x - 1}$

1. c) $h(x) = \ln(10 - x)$

1. d) $i(x) = e^{x} + 1$

La figura muestra la gráfica de $f(x) = \log_{2}(x + 2)$.

1. a) ¿Cuál es el dominio de $f$? Relaciónalo con la zona sombreada y con la asíntota de la gráfica.

1. b) ¿Cuál es su recorrido?

1. c) Determina, sin representarlas, el dominio de estas funciones: $g(x) = \log_{2}(x - 5)$, $h(x) = \ln(4 - x)$, $i(x) = \log(2x + 8)$.

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

1. a) $f(x) = 2^{x - 1}$

1. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$

1. c) $h(x) = \ln(x^{2} - 4)$

1. d) $i(x) = \log_{3} x + \sqrt{x + 1}$

1. e) $j(x) = \frac{1}{1 - 2^{x}}$

El carbono-14 se desintegra de manera que la cantidad que queda en una muestra sigue el modelo $N(t) = N_0 \cdot 0,5^{t/5.730}$, donde $t$ es el tiempo en años y $N_0$ la cantidad inicial. Un equipo de arqueología analiza un fragmento de hueso hallado en una cueva.

1. a) ¿Qué porcentaje de carbono-14 quedará al cabo de $2.000$ años? Redondea a las décimas.

1. b) Si el fragmento conserva el $38 \%$ del carbono-14 original, plantea la ecuación que permite hallar su antigüedad y resuélvela usando logaritmos.

1. c) Un titular de prensa afirma: «pasados $11.460$ años ya no queda carbono-14, porque se han cumplido dos periodos de semidesintegración». Explica por qué es falso y calcula el porcentaje real que queda en ese instante.

La población de una ciudad costera evoluciona según el modelo $P(t) = 180.000 \cdot 1,015^{t}$, donde $t$ son los años transcurridos desde 2025.

1. a) ¿Qué población se espera en 2035? Redondea a las centenas.

1. b) ¿En qué año superará la ciudad los $250.000$ habitantes? Plantea la inecuación y resuélvela con logaritmos.

1. c) Explica qué hipótesis sobre el crecimiento esconde este modelo y razona por qué podría dejar de ser realista a muy largo plazo.

La concentración de un medicamento en sangre, en mg/l, evoluciona según el modelo $C(t) = 120 \cdot 0,82^{t}$, donde $t$ son las horas transcurridas desde su administración.

1. a) ¿Qué concentración había en el momento de la inyección? ¿Y a las $6$ horas? Redondea a las décimas.

1. b) El fármaco deja de ser eficaz cuando la concentración baja de $30$ mg/l. Plantea la inecuación correspondiente y calcula, con logaritmos, cuántas horas dura el efecto.

1. c) Si un paciente recibe una segunda dosis idéntica $12$ horas después de la primera, ¿qué concentración total tendrá en sangre justo después de la nueva inyección, suponiendo que las concentraciones se suman?

El valor de un coche eléctrico nuevo de $32.000\ \text{ €}$ sigue el modelo exponencial $V(t) = 32.000 \cdot 0,85^{t}$, con $t$ en años.

1. a) ¿Cuánto valdrá a los $4$ años? Redondea a los euros.

1. b) Un concesionario ofrece recomprarlo cuando su valor baje de $12.000\ \text{ €}$. ¿Cuánto tiempo pasará hasta entonces? Usa logaritmos.

1. c) Otro vendedor usa un modelo lineal según el cual el coche pierde $4.500\ \text{ €}$ de valor cada año. Compara el valor que asigna cada modelo a los $4$ años y explica cuál de los dos beneficia al propietario que quiera venderlo a medio plazo.