Tipos de funciones

Una plataforma de streaming de videojuegos ofrece una suscripción mensual que consiste en una cuota fija de $12€$ al mes más un coste adicional de $0,50€$ por cada hora de juego en la "nube".

1. a) Escribe la expresión algebraica de la función $f(x)$ que relaciona el coste mensual con el número de horas jugadas $x$.
2. b) Indica cuál es la pendiente ($m$) y la ordenada en el origen ($n$) de esta función.
3. c) ¿Cuánto pagará un estudiante que haya jugado $20$ horas en un mes?

Un servicio municipal de alquiler de patinetes eléctricos quiere modelar sus costes. El coste total diario de operación $C(x)$ (en euros) depende de los kilómetros recorridos en conjunto por la flota $x$ y sigue una función lineal. Se sabe que un día que los patinetes recorrieron $20$ km el coste fue de $15$ €, y otro día con $50$ km recorridos el coste ascendió a $30$ €.

1. a) Determina la expresión analítica de la función $C(x)$.
2. b) Identifica y explica el significado de la pendiente y de la ordenada en el origen en el contexto del problema.
3. c) Si el presupuesto máximo diario es de $50$ €, ¿cuántos kilómetros pueden recorrer como máximo?

Calcula la función inversa de la siguiente función lineal, que representa la conversión de una moneda virtual en un juego a euros:

$f(x) = \dfrac{x - 100}{50}$

Sigue los pasos aprendidos en clase:

1. Sustituye $f(x)$ por $y$.

2. Despeja la variable $x$ en función de $y$.

3. Intercambia las variables para obtener $f^{-1}(x)$.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 3}$:

1. Halla su función inversa $f^{-1}(x)$.

2. Demuestra analíticamente que la composición $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

3. Representa ambas funciones en el mismo plano cartesiano y dibuja la recta de simetría $y = x$. Indica las coordenadas de los puntos donde la función y su inversa coinciden (puntos invariantes).

El diseño de una nueva rampa para un parque de skate sigue la forma de una función raíz cuadrada. Para que la estructura sea estable, el ingeniero debe calcular su dominio de definición.

Halla el dominio de la función:

$f(x) = \sqrt{2x - 8}$

Recuerda que para las funciones con raíces de índice par, el radicando debe ser mayor o igual a cero.

Un dron de vigilancia forestal analiza el terreno siguiendo una trayectoria cuya altura respecto al suelo viene dada por la función $h(x) = \sqrt{2x + 8}$, donde $x$ es la distancia horizontal desde la base de operaciones en kilómetros y $h(x)$ es la altura en hectómetros.

1. a) Determina el dominio de definición de la función en este contexto.
2. b) Calcula la tasa de variación media (TVM) de la altura en el intervalo $[0, 4]$.
3. c) ¿A qué distancia de la base el dron alcanza una altura de $4$ hectómetros?

Un joven emprendedor vende camisetas personalizadas por internet. Ha decidido aplicar un descuento por volumen de compra, definiendo el precio total mediante la siguiente función a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 15x & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 12x + 15 & \text{si } x > 5 \end{cases}$

Donde $x$ es el número de camisetas compradas.

1. a) ¿Cuánto costará comprar $4$ camisetas?
2. b) ¿Cuál es el precio de un pedido de $10$ camisetas?
3. c) ¿Es la función continua en el punto de ruptura $x = 5$? Justifica tu respuesta calculando el valor de la función en ese punto por ambos tramos.

El ayuntamiento de una localidad ha establecido una nueva tarifa para el consumo de agua orientada al ahorro. El coste mensual $f(x)$ en euros por $x$ metros cúbicos consumidos se define mediante la siguiente función a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} 0,8x + 12 & \text{si } 0 \leq x \le 15 \\ 1,2x + k & \text{si } x > 15 \end{cases}$$

1. a) Halla el valor de $k$ para que la tarifa sea continua en el punto de cambio de tramo (para que no haya saltos bruscos en la factura).
2. b) Representa gráficamente la función resultante.
3. c) ¿Cuánto pagará una familia que consume $22$ $m^3$ al mes?

Una plataforma de venta online de videojuegos ofrece un descuento que depende del gasto total $x$ realizado. La función que describe el importe final a pagar $G(x)$ tras aplicar el descuento es:

$$G(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \leq x < 30 \\ 0,8x + 6 & \text{si } x \ge 30 \end{cases}$$

1. a) Estudia si la función es continua en $x = 30$. ¿Qué significa este resultado para el comprador?
2. b) Representa la función gráficamente.
3. c) Si un usuario ha pagado $54$ €, ¿cuál era el precio original de su compra antes del descuento?

Representa gráficamente la función de valor absoluto $f(x) = |x + 2|$.

Para ello:

1. Identifica el vértice de la función (el valor de $x$ que hace que el interior sea cero).

2. Crea una tabla de valores con dos puntos a la izquierda y dos a la derecha del vértice.

3. Dibuja la gráfica resultante en unos ejes cartesianos.

Representa gráficamente la función $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$. Para ello, sigue estos pasos:

1. a) Representa la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ hallando su vértice y puntos de corte con el eje $OX$.
2. b) Aplica la definición de valor absoluto para expresar $f(x)$ como una función definida a trozos.
3. c) Indica los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

Halla la expresión analítica de la función $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$. Para ello:

1. Divide la recta real en los intervalos definidos por las raíces de los argumentos de los valores absolutos.

2. Redacta la función resultante como una función definida a trozos.

3. Represéntala gráficamente. ¿Qué nombre recibe este tipo de gráfica en el ámbito de las matemáticas? ¿Cuál es su valor mínimo absoluto?

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$, realiza las siguientes tareas:

1. a) Completa la tabla de valores para $x = \{-4, -2, -1, 1, 2, 4\}$.
2. b) Indica cuáles son las asíntotas de la función.
3. c) Explica razonadamente por qué el valor $x = 0$ no pertenece al dominio de esta función.

En un laboratorio de química, la concentración de un reactivo en una solución (en mg/L) en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la función de proporcionalidad inversa:

$$C(t) = \dfrac{40}{t + 2}$$

1. a) ¿Cuál es la concentración en el instante inicial $t=0$?
2. b) Representa la función para valores de $t \ge 0$.
3. c) ¿Es posible que la concentración llegue a ser de $0$ mg/L? Justifica tu respuesta analizando la asíntota horizontal de la función.
4. d) ¿En qué momento la concentración es de exactamente $5$ mg/L?