Exercicis: Identificació del model funcional adequat

La gràfica mostra les dades d'usuaris mensuals d'una plataforma de pòdcasts durant el seu primer any, tal com es mostra a la figura.

Quin d'aquests models funcionals descriu millor la tendència: lineal, quadràtic, exponencial o logarítmic? Justifica la teva elecció descartant almenys dos dels altres models.

Es mesura la temperatura d'una tassa de cafè cada $5$ minuts després de servir-la:

• a) Representa els punts i explica per què un model lineal no és adequat.

• b) Sabent que la temperatura ambient és de $22\ ^\circ$C, raona quin tipus de model (amb quina asímptota) descriu millor el refredament.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Cert o fals, raonant la resposta amb un contraexemple: «Qualsevol conjunt de dades que creix s'ajusta bé a un model lineal».

Aquestes dades mostren el cost d'imprimir cartells en funció del nombre d'unitats:

• a) Comprova que les diferències entre costos consecutius són constants.

• b) Quin model funcional convé? Determina la seva expressió i calcula quant costarien $100$ cartells.

Un tècnic municipal de mobilitat, Hugo, analitza la implantació de punts de recàrrega per a vehicles elèctrics a la seva ciutat durant quatre trimestres consecutius. Les dades registrades són:

Hugo afirma en el seu informe tècnic: «Atès que entre el primer i el segon trimestre el nombre de carregadors es duplica exactament (de $12$ a $24$), el fenomen respon indubtablement a un creixement exponencial del tipus $y = 12 \cdot 2^{x-1}$».

1. a) Localitza l'error conceptual en la deducció d'Hugo. Per què comprovar una raó o quocient en un únic interval no basta per concloure que una funció és exponencial?
2. b) Calcula les primeres diferències $(\Delta y)$ entre trimestres consecutius i identifica de manera raonada quin és el model funcional adequat, indicant la seva equació analítica.
3. c) Avalua quin valor prediria el model erroni d'Hugo per al trimestre $4$ i compara'l amb la dada real per il·lustrar la magnitud del seu error.

Per calibrar un simulador de gestió empresarial, necessites construir una taula de dades de prova per a tres variables independents ($A$, $B$ i $C$) avaluades en els instants discrets $x = 0$, $x = 1$, $x = 2$ i $x = 3$. Les condicions de disseny són les següents:

• Variable $A$: parteix d'$y(0) = 15$ i les seves primeres diferències consecutives han de ser constants i iguals a $-3$.

• Variable $B$: parteix d'$y(0) = 8$ i el quocient entre cada valor i l'anterior, $\frac{y(x+1)}{y(x)}$, s'ha de mantenir constant i igual a $1{,}5$.

• Variable $C$: presenta un mínim absolut en el punt $(1, 2)$, té segones diferències constants $\Delta^2 y = 4$ i satisfà que $y(0) = 4$.

1. a) Construeix la taula amb els valors numèrics de les tres variables per a $x \in \{0, 1, 2, 3\}$.
2. b) Dedueix la fórmula analítica explícita $y = f(x)$ que genera les dades de la variable $A$ i de la variable $B$.

La figura mostra tres núvols de punts corresponents a tres fenòmens diferents, com es mostra a la figura.

Associa cada gràfica amb un d'aquests fenòmens i amb el model funcional que millor li convé, justificant cada assignació:

• 1. El cost mitjà de producció d'una empresa en funció del nombre d'unitats fabricades.
• 1. Els seguidors d'un compte que creix per recomanacions entre usuaris.
• 1. La despesa mensual en transport d'una família en funció del nombre de trajectes realitzats.

La població d'un poble petit amb accés limitat d'habitatge ha passat de $800$ a $1.600$ habitants en deu anys, però el ritme de creixement s'està frenant a mesura que s'ocupen els habitatges disponibles (capacitat màxima estimada: $2.000$ habitants).

• a) Explica per què un model exponencial pur no seria realista a llarg termini.

• b) Quin model amb asímptota horitzontal seria més adequat? Descriu la seva forma i els seus paràmetres qualitatius.

• c) Quina predicció a $30$ anys donaria cada model? Comenta la diferència.

Una estudiant de 2n de Batxillerat registra el nombre acumulat de termes específics d'Economia ($P$) que aconsegueix retenir en la memòria a llarg termini en funció de les hores totals d'estudi intensiu ($t$):

1. a) Abans de fer càlculs formals, observa les dades i estima qualitativament si el rendiment marginal de l'estudi (termes apresos per cada hora addicional invertida) augmenta, roman constant o disminueix a mesura que avança el temps. Segons aquesta estimació inicial, quins models descartaries immediatament entre el lineal i l'exponencial?
2. b) Comprova la teva estimació calculant la taxa de variació mitjana (TVM) de l'aprenentatge en els intervals $[1, 2]$, $[2, 4]$ i $[4, 8]$. Què confirma aquest càlcul sobre la linealitat del procés?
3. c) Observa què passa amb l'increment de termes cada vegada que el temps d'estudi acumulat es duplica. Raona per què un model logarítmic del tipus $P(t) = a + b \ln t$ descriu millor aquest fenomen cognitiu que un model polinòmic de segon grau i reflexiona sobre què passaria amb la validesa del model si $t = 100$ hores.

Una almàssera cooperativa a Jaén ha recopilat dades de les seves campanyes recents per analitzar com influeix el volum de producció d'oli d'oliva verge extra en el seu benefici net mensual. La taula següent recull el benefici $B(x)$ (en milers d'euros) segons el volum d'oli envasat $x$ (en desenes de milers de litres):

1. a) Elabora la taula de primeres diferències ($\Delta B$) i segones diferències ($\Delta^2 B$) per a les dades observades. Justifica a partir d'aquests resultats per què el comportament observat correspon a un model quadràtic i descarta formalment el model lineal i l'exponencial.
2. b) Sabent que per a un pas constant $h=1$ la segona diferència compleix $\Delta^2 B = 2a$, determina els coeficients de la paràbola $B(x) = ax^2 + bx + c$ que interpola amb exactitud les dades.
3. c) Interpreta el significat econòmic del vèrtex de la paràbola: a partir de quin volum envasat comença a baixar el benefici total de la cooperativa i quins són els guanys màxims que pot aspirar a obtenir?

Els casos setmanals d'una epidèmia de grip en una comarca han estat:

• a) Representa les dades i raona per què ni un model exponencial ni un de logístic descriuen tot el procés.

• b) Proposa quin tipus de model (o combinació de models a trossos) es podria ajustar a cada fase del fenomen, justificant-ho.

• c) Quina predicció raonable faries per a la setmana $10$?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un analista ajusta les dades del consum elèctric mensual d'un municipi (que és alt a l'hivern, baix a la primavera i torna a pujar a l'estiu per l'aire condicionat) amb un polinomi de segon grau.

• a) Raona per què un model quadràtic pot donar prediccions absurdes a mitjà termini per a aquest fenomen.

• b) Quina família de funcions seria més adequada per a un fenomen que es repeteix cada any? Escriu la forma general d'aquest model i explica el significat dels seus paràmetres.

• c) Quina precaució general s'ha de tenir en extrapolar qualsevol model ajustat a dades?

Després de la liberalització del transport ferroviari d'alta velocitat a Espanya, un equip d'analistes de la Comissió Nacional dels Mercats i la Competència (CNMC) monitora la quota de mercat del tren enfront de l'avió en un nou corredor. Les dades dels quatre primers semestres després de l'entrada de nous operadors són:

Per predir l'evolució a mitjà i llarg termini (per exemple, en el semestre $t = 10$), tres membres de l'equip proposen enfocaments diferents:

• Mètode 1 (Model Exponencial): Proposa $C(t) = 12 \cdot (1{,}4)^{t-1}$, argumentant que en els primers períodes la ràtio de creixement relatiu és elevada i constant.

• Mètode 2 (Model Parabòlic): Proposa ajustar un polinomi de segon grau $C(t) = at^2 + bt + c$, adduint que les diferències simples van augmentant de semestre en semestre.

• Mètode 3 (Model Logístic o amb Sostre): Proposa una funció del tipus $C(t) = \dfrac{M}{1 + a e^{-kt}}$, on $M$ representa la quota màxima teòrica assolible en el corredor (per exemple, $M = 85\%$).

1. a) Demostra analíticament la inviabilitat del Mètode 1 a mitjà termini calculant la quota que prediria per al semestre $t = 8$ i explicant la incongruència que sorgeix en el context del problema.
2. b) Explica per què el Mètode 2, tot i poder ajustar-se bé als quatre primers punts, fracassarà conceptualment tant a llarg termini si les branques de la paràbola es dirigeixen cap a $+\infty$, com si es força a tenir un vèrtex màxim poc després de $t=4$.
3. c) Defensa raonadament per què el Mètode 3 és l'únic dels tres amb fonament estructural per modelitzar la penetració d'un mercat tancat. En la teva justificació, analitza el canvi de concavitat (inflexió) i la presència de l'asimptota horitzontal en relació amb la saturació de la demanda.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) recull les dades de població empadronada en un municipi de la comarca de Sayago (Castella i Lleó), afectada intensament per la despoblació rural durant les últimes dècades:

(El valor de $2020$ es troba arrodonit al nombre enter de persones més proper).

1. a) Analitza rigorosament si la pèrdua de població s'ajusta a un ritme lineal, a un de quadràtic o a un d'exponencial decreixent. Per a fer-ho, calcula i compara tant les diferències consecutives com els quocients consecutius entre períodes regulars de 5 anys.
2. b) Obtén l'expressió analítica del model funcional $P(t) = P_0 \cdot b^t$, on $t$ és el nombre d'anys transcorreguts des de l'any $2000$.
3. c) Durant el ple municipal de 2020, un regidor sosté: «Entre l'any 2000 i el 2020 hem perdut una mitjana d'unes $118$ persones a l'any; si continuem perdent exactament aquest mateix nombre cada any, l'any $2034$ el poble s'haurà quedat amb $0$ habitants (despoblació absoluta)». Identifica quin model matemàtic està utilitzant implícitament el regidor, explica per què la seva hipòtesi és inconsistent amb la tendència real de les dades i dedueix què prediu en realitat el teu model exponencial per a l'any $2034$ i per al límit a llarg termini ($t \to +\infty$).

Repte del tema. Pot una funció predir el comportament del mercat energètic? Com a analista socioeconòmic, modelitzaràs la demanda de potència elèctrica segons l'hora del dia amb dades reals de Red Eléctrica de España (REE).

1. Mostreig i estimació: Entra al portal de REE i pren una mostra aleatòria simple de $n=10$ registres horaris de consum en un dia feiner. En un full de càlcul, calcula la mitjana mostral $\bar{x}$ i la quasivariància $s^2_{n-1}$, raonant per què $\bar{x}$ és un estimador no esbiaixat de la demanda mitjana diària.

2. Identificació del model: Introdueix les dades a GeoGebra i selecciona la funció $f(t)$ més coherent (per exemple, una funció racional senzilla $f(t)=\frac{a\cdot t}{t^2+b}$ o polinòmica) per descriure la tendència observada.

3. Estudi analític: Determina a la teva llibreta el domini de definició contextualitzat, talls amb els eixos, simetria, intervals de monotonia amb els seus extrems relatius, i branques infinites (asimptotes) de $f(t)$.

4. Informe final: Elabora un informe d'una pàgina que contrasti la corba analítica amb el núvol de punts i valori la validesa del model asimptòtic enfront de la realitat socioeconòmica estimada.

Es valorarà:

• Correcció en el càlcul d'estimadors mostrals, biaix i quasivariància.

• Justificació raonada del model funcional triat respecte a la mostra.

• Rigor matemàtic en l'estudi analític (domini, talls, monotonia i asimptotes).

• Claredat i sentit crític en la interpretació de l'informe final.