Asíntotas y ramas infinitas

Dada la función racional $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$, realiza el siguiente estudio:

1. Identifica su asíntota vertical.

2. Calcula el límite de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$ para hallar su asíntota horizontal.

Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$, escribiendo los límites que las justifican.

Verdadero o falso, razonando la respuesta con un ejemplo: «Toda función racional tiene al menos una asíntota vertical».

Se está monitorizando la velocidad de descarga de un archivo en Megabytes por segundo (MB/s). La función que describe la velocidad tras $t$ segundos es:

$v(t) = \frac{10t}{t + 5}$

Halla las ramas infinitas calculando el límite cuando $t \to +\infty$. ¿A qué valor se estabiliza la velocidad de descarga a largo plazo?

Sea la función $f(x) = e^x + 2$.

• a) ¿Tiene asíntotas verticales? ¿Por qué?

• b) Calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y deduce su asíntota horizontal.

• c) ¿Está la gráfica por encima o por debajo de esa asíntota? ¿Y qué ocurre cuando $x \to +\infty$?

Dada la función racional $f(x) = \frac{ax+b}{x-3}$, determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que:

• La función tiene una asíntota horizontal en $y = 2$.

• La gráfica de la función pasa por el punto $P(1, -1)$.

Una vez hallados $a$ y $b$, estudia la monotonía de la función y comprueba si tiene puntos singulares.

Estudia las ramas infinitas y la existencia de asíntotas de la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x+2}$.

1. Halla la ecuación de la asíntota oblicua.

2. Determina la posición de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

3. Encuentra los puntos de la gráfica donde la tangente es paralela a la asíntota oblicua.

4. Realiza un dibujo aproximado de las asíntotas y la función.

Estudia las ramas infinitas de la función $f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x + 1}$: asíntota vertical, asíntota oblicua y posición de la curva respecto de esta última en $+\infty$ y en $-\infty$.

Sea la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$.

• a) Determina su dominio y su asíntota vertical, estudiando los límites laterales.

• b) Halla la asíntota oblicua y estudia la posición de la curva respecto de ella en $+\infty$ y en $-\infty$.

• c) Calcula los puntos de corte con los ejes y esboza la gráfica completa con sus asíntotas.

Un estudio sociológico sobre la propagación de un rumor en una comunidad de estudiantes sigue la función $P(t) = 100(1 - e^{-0,2t})$, donde $P$ es el porcentaje de personas que conocen el rumor y $t$ es el tiempo en horas ($t \ge 0$).

1. Calcula el porcentaje inicial de personas que conocen el rumor.

2. ¿A qué valor tiende el porcentaje de personas conforme pasa el tiempo? Interpreta el resultado en términos de asíntotas.

3. Justifica, mediante la derivada primera, que el rumor siempre se extiende (la función es creciente).

4. ¿En algún momento cambia la curvatura de la función? Razona tu respuesta.

El coste medio de producción de una revista independiente es $C(x) = \frac{500 + 2x}{x}$ euros por ejemplar, donde $x$ es el número de ejemplares impresos.

• a) Halla la asíntota horizontal de $C(x)$ e interprétala: ¿por qué el coste medio no puede bajar de cierto valor?

• b) ¿Qué ocurre con el coste medio cuando se imprimen muy pocos ejemplares? Relaciónalo con la asíntota vertical.

• c) ¿Tiene sentido hablar de asíntota oblicua en esta función? Justifícalo.

Analiza y representa gráficamente la función $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 - 3x}$. En tu estudio debes incluir:

1. Dominio y puntos de discontinuidad.

2. Límites infinitos y asíntotas verticales.

3. Asíntotas horizontales y ramas parabólicas (estudiando el comportamiento tanto en $+\infty$ como en $-\infty$).

4. Cálculo de la primera derivada para hallar intervalos de monotonía y extremos relativos.

5. Esbozo de la gráfica indicando todos los elementos hallados.