Exercicis: Asímptotes i branques infinites

Donada la funció racional $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$, realitza l'estudi següent:

1. a) Identifica la seva asímptota vertical.

1. b) Calcula el límit de la funció quan $x$ tendeix a $+\infty$ per trobar la seva asímptota horitzontal.

S'està monitorant la velocitat de descàrrega d'un fitxer en Megabytes per segon (MB/s). La funció que descriu la velocitat després de $t$ segons és:

$v(t) = \frac{10t}{t + 5}$

Troba les rames infinites calculant el límit quan $t \to +\infty$. A quin valor s'estabilitza la velocitat de descàrrega a llarg termini?

Analitza i dibuixa l'esbós de la funció $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ seguint aquests passos:

1. a) Troba el domini.

1. b) Comprova si té simetria.

1. c) Determina si existeixen asímptotes horitzontals.

1. d) Amb la informació anterior, fes un dibuix aproximat de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera una funció $f(x)$ que compleix les tres característiques següents:

1. Presenta una asímptota vertical a $x = 0$.

2. És una funció sempre creixent en el seu domini.

3. Talla l'eix $X$ en el punt $(1, 0)$.

Proposa una expressió analítica senzilla (fórmula) que compleixi aquestes tres condicions simultàniament i comprova que es verifica cadascuna.

La figura mostra la gràfica d'una funció racional i les seves dues asímptotes, tal com es mostra a la figura.

• a) Llegeix a la gràfica el domini de la funció.

• b) Escriu les equacions de l'asímptota vertical i de l'asímptota horitzontal.

• c) Indica la posició de la corba respecte de l'asímptota horitzontal a cada branca.

Calcula les asímptotes verticals i horitzontals de la funció $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$, escrivint els límits que les justifiquen.

Sigui la funció $f(x) = e^x + 2$.

• a) Té asímptotes verticals? Per què?

• b) Calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ i dedueix la seva asímptota horitzontal.

• c) La gràfica està per sobre o per sota d'aquesta asímptota? I què passa quan $x \to +\infty$?

Cert o fals, raonant la resposta amb un exemple: «Tota funció racional té almenys una asímptota vertical».

Per a la funció racional $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$, en Marcos afirma al seu examen de Matemàtiques: «Com que els valors que anul·len el denominador són $x = 2$ i $x = 3$, la funció té dues asímptotes verticals: les rectes $x = 2$ i $x = 3$».\na) Identifica l'error conceptual comès per en Marcos i explica per què la seva afirmació és falsa.\nb) Determina quines són les veritables asímptotes verticals i horitzontals de la funció, calculant els límits laterals necessaris per justificar el comportament de la gràfica en els punts conflictius.

Un informe del Banc d'Espanya analitza la implantació del sistema de pagament Bizum entre les persones majors de 65 anys en una comunitat autònoma. L'evolució del percentatge d'usuaris en aquest col·lectiu es modelitza mitjançant la funció:\n$$P(t) = 85 \cdot (1 - e^{-0,3t})$$\non $t \ge 0$ és el temps transcorregut en anys des de l'inici de les campanyes de digitalització i $P(t)$ representa el percentatge de penetració sobre el total del col·lectiu.\na) Comprova si la funció té cap asímptota vertical en el seu domini.\nb) Calcula l'asímptota horitzontal de la funció justificant el càlcul del límit quan $t \to +\infty$.\nc) Interpreta el significat socioeconòmic del valor obtingut a l'asímptota: segons aquest model, s'arribarà mai a assolir el $100\,\%$ d'adopció en aquest col·lectiu? I el $85\,\%$? Raona la teva resposta.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{ax+b}{x-3}$, determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que:

• La funció té una asímptota horitzontal a $y = 2$.

• La gràfica de la funció passa pel punt $P(1, -1)$.

Una vegada trobats $a$ i $b$, estudia la monotonia de la funció i comprova si té punts singulars.

Un estudi sociològic sobre la propagació d'un rumor en una comunitat d'estudiants segueix la funció $P(t) = 100(1 - e^{-0,2t})$, on $P$ és el percentatge de persones que coneixen el rumor i $t$ és el temps en hores ($t \ge 0$).

1. Calcula el percentatge inicial de persones que coneixen el rumor.

2. Cap a quin valor tendeix el percentatge de persones a mesura que passa el temps? Interpreta el resultat en termes d'asímptotes.

3. Justifica, mitjançant la primera derivada, que el rumor sempre s'estén (la funció és creixent).

4. En algun moment canvia la curvatura de la funció? Raona la teva resposta.

Estudia les branques infinites i l'existència d'asímptotes de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x+2}$.

1. Troba l'equació de l'asímptota obliqua.

2. Determina la posició de la corba respecte d'aquesta asímptota quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

3. Troba els punts de la gràfica on la tangent és paral·lela a l'asímptota obliqua.

4. Dibuixa aproximadament les asímptotes i la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La figura mostra la gràfica de la funció $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2}$ i la seva asímptota obliqua, com es mostra a la figura.

• a) Troba analíticament l'equació de l'asímptota obliqua calculant $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ i $n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx)$.

• b) Efectua la divisió entera del numerador entre el denominador i comprova que obtens el mateix resultat.

• c) Estudia la posició de la corba respecte de l'asímptota obliqua quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Sigui la funció $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$.

• a) Té asímptotes verticals? Raona la resposta.

• b) Té asímptota horitzontal? Calcula-la si existeix.

• c) Troba la seva asímptota obliqua i estudia la posició de la corba respecte d'aquesta.

Una funció $f$ compleix que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$, com es mostra a la figura amb dues possibles gràfiques.

• a) Quina de les dues gràfiques, la del panell A o la del panell B, pot correspondre a $f$? Raona la tria comprovant cadascun dels tres límits.

• b) Escriu les equacions de les asímptotes de $f$.

• c) Proposa una fórmula senzilla per a una funció que compleixi aquestes tres condicions.

Estudia les branques infinites de la funció $f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x + 1}$: asímptota vertical, asímptota obliqua i posició de la corba respecte d'aquesta última a $+\infty$ i a $-\infty$.

El cost mitjà de producció d'una revista independent és $C(x) = \frac{500 + 2x}{x}$ euros per exemplar, on $x$ és el nombre d'exemplars impresos.

• a) Troba l'asímptota horitzontal de $C(x)$ i interpreta-la: per què el cost mitjà no pot baixar d'un cert valor?

• b) Què passa amb el cost mitjà quan s'imprimeixen molt pocs exemplars? Relaciona-ho amb l'asímptota vertical.

• c) Té sentit parlar d'asímptota obliqua en aquesta funció? Justifica-ho.

Dissenya l'expressió algebraica simplificada d'una funció racional de la forma $f(x) = \dfrac{a x^2 + b x + c}{x^2 + d x + e}$ que satisfaci simultàniament les quatre condicions següents:\n1. Té una asímptota vertical a la recta $x = 3$.\n2. Presenta una discontinuïtat evitable a $x = -2$ (és a dir, el denominador s'anul·la a $x = -2$, però la funció no té una asímptota vertical en aquest punt).\n3. Té una asímptota horitzontal a la recta $y = 2$.\n4. La seva gràfica talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, 4)$.\n\nExplica amb claredat el raonament seguit per deduir els factors del numerador i del denominador, i comprova mitjançant el càlcul formal de límits que la teva funció compleix la condició de l'asímptota vertical i de l'horitzontal.

Considera la funció racional $f(x) = \dfrac{2x^2 + 5x - 1}{x + 2}$.\nPer trobar la seva asímptota obliqua $y = m x + n$, dos estudiants proposen camins diferents:\n- Mètode 1 (Límits generals): Calcular $m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ i després $n = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \big(f(x) - m x\big)$.\n- Mètode 2 (Divisió sencera): Dividir el polinomi del numerador entre el del denominador per expressar la funció com a $\text{quocient} + \dfrac{\text{residu}}{\text{divisor}}$.\n\na) Aplica tots dos mètodes detallant tots els passos i comprova que s'obté la mateixa recta.\nb) Justifica quin dels dos mètodes resulta més eficient en les funcions racionals i explica quina informació addicional immediata aporta el residu de la divisió respecte a la posició relativa de la corba enfront de l'asímptota quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Sigui la funció racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x - 2}$. Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que la funció té una asímptota obliqua que passa pel punt $(0, 2)$ i que presenta un extrem relatiu al punt d'abscissa $x = 0$. Un cop trobats $a$ i $b$, fes l'estudi complet de la funció (domini, talls amb els eixos, asímptotes, intervals de creixement i decreixement, i extrems) i representa-la gràficament.

Analitza i representa gràficament la funció $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 - 3x}$. En el teu estudi has d'incloure:

1. Domini i punts de discontinuïtat.

2. Límits infinits i asímptotes verticals.

3. Asímptotes horitzontals i branques parabòliques (estudiant el comportament tant a $+\infty$ com a $-\infty$).

4. Càlcul de la primera derivada per trobar intervals de monotonia i extrems relatius.

5. Esbós de la gràfica indicant tots els elements trobats (fes-ho a mà al teu quadern o amb l'eina que prefereixis).

Sigui la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$.

• a) Determina el seu domini i la seva asímptota vertical, estudiant els límits laterals.

• b) Troba l'asímptota obliqua i estudia la posició de la corba respecte d'aquesta a $+\infty$ i a $-\infty$.

• c) Calcula els punts de tall amb els eixos i esboça la gràfica completa amb les seves asímptotes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La figura mostra la gràfica d'una funció amb una asímptota vertical i una asímptota obliqua, com es mostra a la figura.

• a) Dedueix de la gràfica el seu domini i les equacions de les seves asímptotes.

• b) Proposa una funció racional la gràfica de la qual pugui ser la de la figura, i comprova que les seves asímptotes coincideixen amb les que has deduït.

Sigui la funció $f(x) = x \cdot e^{1/x}$ per a $x > 0$.

• a) Estudia el seu comportament quan $x \to 0^+$.

• b) Demostra que té una asímptota obliqua quan $x \to +\infty$ i troba la seva equació (pista: calcula primer $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ i recorda que $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$).

Sigui la funció $f(x) = \frac{\ln x}{x}$.

• a) Estudia la branca infinita quan $x \to 0^+$. De quin tipus és?

• b) Estudia la branca infinita quan $x \to +\infty$, sabent que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$. Quina asímptota apareix?

• c) En quin punt tall la gràfica aquesta asímptota? Raona si és contradictori que una corba talli la seva pròpia asímptota horitzontal.

Determina el valor de $b$ perquè la funció $f(x) = \frac{x^2 + a}{x + b}$ tingui una asímptota vertical a $x = 3$ i una asímptota obliqua d'equació $y = x + 3$.

• a) Planteja les condicions que s'han de complir i troba $b$.

• b) Quina condició ha de verificar $a$ perquè l'asímptota vertical existeixi realment (és a dir, perquè la discontinuïtat no sigui evitable)?

• c) Tria un valor vàlid de $a$ i comprova les dues asímptotes.

Compara el comportament a l'infinit de $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$ i $g(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

• a) Estudia les branques infinites de $f$ a $+\infty$ i a $-\infty$, indicant quin tipus de branca és cadascuna (pots usar que l'exponencial creix més ràpidament que qualsevol potència).

• b) Fes el mateix amb $g$.

• c) Explica, a la vista dels resultats, per què es diu que «l'exponencial sempre guanya les potències».

Una plataforma logística ubicada a Saragossa (PLAZA) estudia el cost mitjà per paquet processat $\overline{C}(x)$ (en euros) en funció del volum diari d'enviaments $x$ (mesurat en centenars de paquets, amb $x > 0$), seguint el model:\n$$\overline{C}(x) = \dfrac{0,2x^2 + 4x + 80}{x}$$\n\na) Estima: Abans de calcular cap asímptota, respon raonadament a aquestes dues qüestions intuïtives:\n - Si l'activitat diària és pràcticament nul·la ($x \to 0^+$), és lògic que el cost unitari tendeixi a estabilitzar-se o que es dispari cap a l'infinit? Relaciona-ho amb el pes dels costos fixos.\n - Si el volum diari creix indefinidament ($x \to +\infty$), tendirà el cost mitjà per paquet a zero, a un sostre horitzontal fix o creixerà de forma lineal a causa de problemes de saturació logística?\nb) Calcula: Determina formalment totes les branques infinites de la funció (asímptotes verticals, horitzontals i obliqües) per a $x > 0$, calculant els límits necessaris.\nc) Comprova i valora: Compara els resultats analítics amb les teves estimacions prèvies. A partir de l'equació de l'asímptota obtinguda, interpreta què representen econòmicament cadascun dels seus termes quan el volum d'enviaments és molt elevat.

Una consultora econòmica defineix l'índex de viabilitat $V(x)$ d'un projecte d'inversió en funció de l'índex de risc de mercat $x \in \mathbb{R}$ mitjançant la següent funció definida a trossos:\n$$V(x) = \begin{cases} \dfrac{a x^2 + 4x - 1}{x - 3} & \text{si } x < 2 \\[2ex] \dfrac{b x + 5}{x - 1} & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$\n\na) Un analista afirma precipitadament: «La funció té dues asímptotes verticals: les rectes $x = 3$ i $x = 1$, perquè són els valors que anul·len els denominadors». Justifica de manera rigorosa per què l'analista comet un greu error conceptual en ignorar els dominis de definició de cada branca.\nb) Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que:\n - Quan el risc creix de manera il·limitada ($x \to +\infty$), l'índex de viabilitat tendeix a estabilitzar-se en el valor $3$.\n - En l'extrem oposat ($x \to -\infty$), la funció presenta una asímptota obliqua el pendent de la qual és $m = -2$.\nc) Per als valors $a$ i $b$ trobats, calcula l'equació completa d'aquesta asímptota obliqua ($y = mx + n$) i estudia si la funció presenta cap discontinuïtat en el punt d'unió $x = 2$, classificant el tipus de discontinuïtat si n'hi hagués.