"Casos especiales: solución única, múltiple, no acotada o infactible"

Verdadero o falso, razonando la respuesta: «Si la región factible de un problema de programación lineal no es acotada, el problema nunca tiene solución óptima». Ilustra tu razonamiento con el ejemplo de $F(x, y) = x + y$ en la región $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 2$.

Maximiza la función objetivo $F(x, y) = 2x + 4y$ sujeta a $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \leq 8$ y $x + y \leq 5$.

• a) Halla los vértices de la región factible y evalúa $F$ en ellos.

• b) Observarás que el valor máximo se repite en dos vértices: explica qué significa esto y escribe la expresión de todos los puntos óptimos como segmento.

• c) Da dos soluciones óptimas de coordenadas enteras.

Sea la región definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 3$ y $3x + y \geq 5$.

• a) Comprueba que no es acotada y halla sus vértices.

• b) Estudia si la función objetivo $F(x, y) = 3x + 2y$ alcanza un máximo en la región.

• c) Estudia si alcanza un mínimo y, en caso afirmativo, calcúlalo.

Representa las rectas $x + y = 2$ y $x + y = 5$ y justifica, a partir del dibujo, que el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 2$ y $x + y \geq 5$ no tiene ninguna solución. ¿Cómo se dice en programación lineal que la región factible es vacía?

Una pastelería recibe un encargo de al menos $50$ tartas y $40$ brazos de gitano para una semana. Cada tarta requiere $2$ horas de obrador y cada brazo, $1$ hora, y el obrador solo dispone de $60$ horas semanales.

• a) Plantea el sistema de restricciones y demuestra que la región factible es vacía.

• b) Propón una modificación de un único dato del enunciado que haga el problema factible, y compruébalo.