Exercicis: Probabilitats d'una N(0,1)

Un estudi sobre el temps que els joves passen en una coneguda xarxa social de vídeos curts determina que, una vegada tipificades les dades, la variable segueix una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$. Si seleccionem un usuari a l'atzar, calcula la probabilitat que el seu temps d'ús sigui menor o igual a $1,45$ unitats tipificades. Utilitza la representació gràfica per identificar l'àrea sol·licitada.

En un torneig d'e-sports, el temps de reacció dels jugadors professionals s'ha normalitzat perquè segueixi una distribució $N(0,1)$. Si es considera "temps de reacció lent" qualsevol valor per sobre de $0,82$, troba la probabilitat que un jugador triat a l'atzar tingui un temps de reacció lent, és a dir, calcula $P(Z > 0,82)$.

La puntuació en un test d'aptitud musical per a adolescents segueix una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$. El departament de música d'un institut decideix reforçar aquells alumnes la puntuació tipificada dels quals sigui inferior a $-1,2$. Quina és la probabilitat que un alumne seleccionat a l'atzar necessiti aquest reforç?

Una aplicació d'idiomes registra el progrés diari dels usuaris. La millora en el vocabulari, després de tipificar les dades, s'ajusta a una normal $N(0,1)$. Calcula la probabilitat que un usuari millori el seu vocabulari en un interval comprès entre $0,5$ i $1,5$ unitats tipificades.

En una fàbrica de sabatilles d'esport, el control de qualitat de la resistència de la sola es realitza mitjançant una variable tipificada $Z \sim N(0,1)$. Els enginyers volen identificar el valor $k$ positiu tal que la probabilitat que una sola tingui una resistència menor o igual a $k$ sigui de $0,975$. Cerca a la taula de la normal estàndard aquest valor de $k$.

El temps d'espera a la cua d'un festival de música, mesurat de forma tipificada, segueix una distribució $N(0,1)$. Els organitzadors volen determinar un interval central $(-k, k)$ que contingui el $95\%$ dels assistents. Sabent que $P(-k \le Z \le k) = 0,95$, utilitza la simetria de la campana de Gauss per trobar el valor crític $z_{\alpha/2}$ corresponent.

Les notes d'un simulacre d'examen de Selectivitat (EBAU) s'han tipificat obtenint una distribució normal estàndard. Si un estudiant vol estar per sobre del $22,66\%$ dels pitjors resultats, ha d'obtenir una puntuació tipificada superior a $-0,75$. Calcula la probabilitat $P(Z > -0,75)$ utilitzant les propietats de simetria de la normal.

Donada una variable aleatòria contínua que segueix una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$, calcula la probabilitat que la variable prengui valors en l'interval $[-1,1, 0,4]$. Recorda que per resoldre aquest tipus d'intervals has d'aplicar la fórmula:

Una estudiant, la Irene, està calculant la probabilitat $P(Z \le -1,35)$ per a una variable normal estàndard $Z \sim N(0,1)$. Com que a la taula de la normal estàndard només figuren valors positius, busca el valor $1,35$, observa que $P(Z \le 1,35) = 0,9115$ i conclou al seu examen: «Com que es tracta d'un valor negatiu, la probabilitat acumulada és $P(Z \le -1,35) = -0,9115$».

1. a) Explica quin és l'error conceptual greu que comet la Irene respecte a la definició i les propietats fonamentals d'una probabilitat.
2. b) Recolzant-te en la simetria de la campana de Gauss respecte a l'eix vertical $Z = 0$, dedueix la relació correcta entre $P(Z \le -1,35)$ i les àrees de la meitat dreta de la corba.
3. c) Corregeix el procediment de la Irene i calcula el valor numèric exacte de $P(Z \le -1,35)$.

Considera una variable amb distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$.

1. a) Abans de realitzar cap càlcul analític, efectua una estimació raonada: la probabilitat $P(-0,50 \le Z \le 1,20)$ serà estrictament més gran, més petita o igual que $0,50$? Justifica la teva resposta analitzant quina porció de l'àrea total tanca l'interval a l'esquerra i a la dreta de la mitjana $\mu = 0$.
2. b) Comprova la teva estimació calculant el valor exacte de $P(-0,50 \le Z \le 1,20)$. Detalla cadascuna de les transformacions per simetria emprades.

(Dades: $P(Z \le 0,50) = 0,6915$; $P(Z \le 1,20) = 0,8849$).

En un estudi sobre el rendiment d'una nova intel·ligència artificial, s'han estandarditzat els temps de resposta seguint una distribució normal mínima $N(0,1)$. Calcula les probabilitats següents utilitzant la taula de la distribució normal:

1. La probabilitat que un temps estandarditzat sigui superior a $1,32$; és a dir, $P(Z > 1,32)$.

2. La probabilitat que el temps es trobi per sota de $-0,45$; és a dir, $P(Z < -0,45)$.

Les puntuacions d'un test d'aptitud per a joves de 18 anys s'han normalitzat de manera que segueixin una distribució $N(0,1)$. Si seleccionem un aspirant a l'atzar, determina la probabilitat que la seva puntuació estandarditzada es trobi en l'interval $[-1,24, 2,13]$.

Donada una variable aleatòria contínua $Z$ que segueix una distribució normal estàndard $N(0,1)$, troba el valor de la constant positiva $k$ que satisfà cadascuna de les condicions següents:

1. $P(Z \leq k) = 0,8708$

2. $P(Z > k) = 0,0228$

En el control de qualitat d'una fàbrica de components electrònics, s'utilitza la distribució $N(0,1)$ per analitzar les desviacions respecte al diàmetre nominal. Calcula la probabilitat que una peça triada a l'atzar tingui una desviació (en valor absolut) menor o igual a $1,96$ unitats típiques. És a dir, troba:

Un algorisme de xarxes socials classifica la rellevància de les publicacions mitjançant una variable $Z \sim N(0,1)$. Se sap que el $10\%$ de les publicacions més rellevants reben una menció especial. A partir de quin valor de $Z$ una publicació es considera dins d'aquest $10\%$ superior? (Troba el valor crític $z_{\alpha}$ tal que $P(Z > z_{\alpha}) = 0,10$).

Utilitzant les propietats de simetria de la campana de Gauss per a una distribució normal estàndard $Z$, calcula les probabilitats següents sense consultar valors negatius a la taula:

1. $P(Z > -1,5)$

2. $P(-0,8 \leq Z \leq 0)$

S'ha comprovat que el nivell de soroll en una biblioteca, una vegada estandarditzat, segueix una distribució $N(0,1)$. Si la probabilitat que el soroll superi un nivell $k$ és de $0,33$, troba el valor de $k$.

Determina el valor de $a$ perquè es compleixi la igualtat següent en una distribució normal estàndard $N(0,1)$:

Explica el significat gràfic d'aquest resultat en relació amb l'àrea central de la corba de Gauss.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) utilitza anomalies estandarditzades per classificar les temperatures mensuals respecte a sèries històriques de referència. Suposa que l'índex tèrmic tipificat d'un determinat mes segueix una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$. El protocol meteorològic classifica un mes com a «molt càlid» si el seu índex tipificat és estrictament superior a $1,40$, i com a «fred» si se situa per sota de $-0,80$.

1. a) Modela la situació mitjançant notació formal de probabilitat i calcula la proporció teòrica de mesos que es classificaran com a «molt càlids» a llarg termini.
2. b) Determina la probabilitat que un mes seleccionat a l'atzar registri un comportament tèrmic intermedi, és a dir, que el seu índex tipificat pertanyi a l'interval $[-0,80; 1,40]$.

(Dades de la taula $N(0,1)$: $P(Z \le 0,80) = 0,7881$; $P(Z \le 1,40) = 0,9192$).

Sigui $Z$ una variable aleatòria contínua amb distribució normal estàndard $N(0,1)$.

1. a) Troba el valor positiu $k$ per al qual es compleix que $P(-k \le Z \le k) = 0,8064$. Explica el procés deductiu: indica quant fa cadascuna de les dues cues exteriors i quina probabilitat acumulada total has de buscar al cos de la taula.
2. b) Troba el valor de la constant real $c$ que satisfà la condició $P(Z \ge c) = 0,7357$. Raona prèviament, sense calcular, quin signe ha de tenir obligatòriament $c$ a partir de la simetria de la campana respecte a $0$, i formalitza després el càlcul del seu valor numèric.

(Dades del cos de la taula: $P(Z \le 0,63) = 0,7357$; $P(Z \le 1,30) = 0,9032$; $P(Z \le 1,67) = 0,9525$).

En un estudi sobre l'eficiència d'un nou algorisme de recomanació d'una xarxa social, s'ha determinat que el temps de permanència addicional dels usuaris segueix una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$. Si la plataforma vol identificar el grup d'usuaris "ultraactius", que són aquells el temps tipificat dels quals es troba en un interval simètric respecte a la mitjana que tanca exactament el 88,82 % de la població, calcula el valor crític $k$ que defineix els límits d'aquest interval.

Calcula el valor de la constant positiva $a$ sabent que, en una distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$, la probabilitat que la variable prengui valors en l'interval comprès entre $-a$ i $a$ és el triple de la probabilitat que prengui valors més grans que $a$. Utilitza les propietats de simetria de la campana de Gauss per plantejar una equació abans de consultar la taula.

Un analista de dades d'una lliga d'e-sports està estudiant l'"índex de reflexos" dels jugadors professionals, el qual es distribueix segons una $N(0,1)$. Se sap que un jugador és seleccionat per a l'equip nacional si el seu índex està per sobre d'un valor $z_0$. Si es tria un jugador a l'atzar i se sap que el seu índex és positiu, la probabilitat que sigui seleccionat per a l'equip nacional és de 0,3412. Determina el valor de la puntuació de tall $z_0$ necessària per entrar a l'equip.

Donada una variable aleatòria contínua $Z$ que segueix una distribució normal de mitjana $0$ i desviació típica $1$, determina el valor de $k$ tal que es compleixi la igualtat següent:

Explica raonadament el procés, indicant com utilitzes la propietat del succés contrari i la simetria de la distribució.

En una distribució $N(0,1)$, es consideren els punts $z_1$ i $z_2$ tals que $z_1$ és el percentil 20 i $z_2$ és el valor que deixa a la seva dreta una probabilitat de 0,15. Calcula la probabilitat que la variable $Z$ es trobi en l'interval $[z_1, z_2]$. Arrodoneix els valors intermedis de la taula a quatre decimals.

Sigui $Z$ una variable aleatòria amb distribució normal estàndard. Determina el valor de la constant $c > 0$ perquè es verifiqui la condició següent sobre el valor absolut de la variable:

A continuació, utilitzant el valor de $c$ trobat, calcula la probabilitat condicionada $P(Z > -c \text{ | } Z < c)$.

S'ha dissenyat un test d'aptitud acadèmica els resultats del qual segueixen una $N(0,1)$. La institució que atorga les beques decideix que:

• El 10 % dels estudiants amb millors notes rebran la "Beca d'Excel·lència".

• El 25 % dels estudiants amb notes més baixes quedaran exclosos de qualsevol ajut.

Calcula la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar no estigui en cap d'aquests dos grups extrems i la seva nota tipificada sigui, a més, superior a la mitjana.

Sigui $Z \sim N(0,1)$. Troba el valor de $k$ sabent que l'àrea de la regió ombrejada a la figura inferior (que correspon a la probabilitat $P(k < Z < 2k)$) és igual a 0,1359.

Nota: Hauràs d'expressar les probabilitats en funció de la funció de distribució $\phi(z)$ i cercar a la taula el valor que faci possible la diferència d'àrees.

Per calcular la probabilitat que una variable normal estàndard $Z \sim N(0,1)$ es desviï de la seva mitjana en més d'$1,50$ unitats tipificades en valor absolut, és a dir, $P(|Z| > 1,50)$, dos companys de classe plantegen dues estratègies diferents:

• Estratègia A (per complementari): Trobar l'àrea de l'interval central mitjançant $P(-1,50 \le Z \le 1,50) = P(Z \le 1,50) - P(Z \le -1,50)$ i calcular després $1 - P(-1,50 \le Z \le 1,50)$.

• Estratègia B (per simetria directa de cues): Identificar que ambdues cues tenen idèntica superfície i calcular directament $2 \cdot P(Z > 1,50) = 2 \cdot [1 - P(Z \le 1,50)]$.

1. a) Demostra formalment que ambdues expressions algebraiques són idèntiques utilitzant la propietat $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$.
2. b) Compara ambdós camins i justifica quin resulta més avantatjós per minimitzar el risc de cometre errors amb els signes i reduir el nombre de lectures a la taula.
3. c) Emprant l'estratègia que has considerat òptima, calcula $P(|Z| > 1,50)$ sabent que $P(Z \le 1,50) = 0,9332$.
4. d) Sense realitzar operacions aritmètiques llargues, dedueix de manera raonada el valor de la probabilitat condicionada $P(Z > 1,50 \mid |Z| > 1,50)$ recolzant-te exclusivament en la simetria geomètrica de les regions involucrades.

En una avaluació diagnòstica de competències del sistema educatiu, les puntuacions globals s'han tipificat com una variable normal estàndard $Z \sim N(0,1)$.

1. a) Un comitè tècnic proposa delimitar una franja de «rendiment representatiu» mitjançant un interval d'amplitud fixa igual a $1$ unitat de la forma $[a; a+1]$. Demostra qualitativament, a partir de la geometria acampanada i unimodal de la funció de densitat de Gauss, quin valor ha de prendre $a$ perquè aquest interval tanqui la màxima probabilitat possible. Calcula aquesta probabilitat màxima sabent que $P(Z \le 0,50) = 0,6915$.
2. b) L'administració desitja dividir els estudiants avaluats en tres nivells equiprobables («Inicial», «Mitjà» i «Avançat»), de manera que cada grup contingui exactament un terç de la població (probabilitat $1/3 \approx 0,3333$). Els llindars s'estableixen com a: Inicial per a $Z < z_1$, Mitjà per a $z_1 \le Z \le z_2$, i Avançat per a $Z > z_2$.

1. Demostra que, per simetria respecte a la mitjana $0$, s'ha de complir necessàriament que $z_1 = -z_2$.

2. Planteja l'equació de la probabilitat acumulada que permet determinar $z_2$ i troba el seu valor amb dos decimals sabent que $P(Z \le 0,43) = 0,6664$ i $P(Z \le 0,44) = 0,6700$.

1. c) Si en lloc de tres nivells es dividís la distribució en quatre quartils equiprobables mitjançant els punts de tall $Q_1$, $Q_2$ i $Q_3$, raona geomètricament per què $Q_2 = 0$ i justifica per què n'hi ha prou de buscar un únic valor al cos de la taula per determinar els tres quartils.