Distribuciones de probabilidad continua
¿Cuánto tarda exactamente el autobús en llegar? ¿Cuánto dura exactamente la batería de tus auriculares? Estas preguntas no tienen una respuesta de "sí o no" entre unos pocos valores: el tiempo puede ser $14$ minutos, $14,3$ minutos, $14,37$ minutos... cualquier número de un intervalo. Hasta ahora las variables aleatorias tomaban valores aislados (número de caras, número de aciertos); ahora toca el caso en que la variable puede tomar cualquier valor real de un intervalo.
De lo discreto a lo continuo
En la variable discreta hay barras separadas: entre $1$ averia y $2$ averías no hay nada intermedio con sentido. En la continua hay una curva sin huecos: entre $14$ y $15$ minutos caben infinitos valores posibles ($14,2$; $14,37$; $14,371$...).
La función de densidad
En el caso discreto bastaba una tabla con $P[X=x_i]$ para cada valor. En el caso continuo eso no sirve: hay infinitos valores posibles, así que no se puede repartir la probabilidad valor a valor. En su lugar se usa una curva, la función de densidad, y la probabilidad de un intervalo es el área que queda bajo esa curva.
Se sabe que el tiempo que tarda el autobús escolar en completar su ruta matinal sigue una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad es constante en…
Se sabe que el tiempo que tarda el autobús escolar en completar su ruta matinal sigue una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad es constante en el intervalo $[80, 120]$ minutos, y vale $0$ en cualquier otro punto.
- a) Determina el valor de la función de densidad en dicho intervalo para que sea válida.
- b) Calcula la probabilidad de que el autobús tarde menos de 90 minutos en completar la ruta.
- c) Representa gráficamente la función de densidad.
Densidades con forma: rectángulo, triángulo y trozos
La densidad más sencilla es constante en un intervalo (densidad uniforme): el área es entonces un rectángulo, $\text{base} \cdot \text{altura}$. Pero muchas situaciones reales (un tiempo de reacción, un tiempo de espera que crece y luego decrece) se modelan con una densidad triangular o definida a trozos, y el área se calcula trozo a trozo con geometría: rectángulos, triángulos y trapecios.
Se está estudiando el tiempo que tarda un grupo de jóvenes en desconectar por completo después de apagar el móvil antes de dormir. La función de densidad de esta…
Se está estudiando el tiempo que tarda un grupo de jóvenes en desconectar por completo después de apagar el móvil antes de dormir. La función de densidad de esta variable aleatoria continua, $x$, expresada en minutos, viene dada por la siguiente gráfica:
Calcula razonadamente:
- a) El valor de la ordenada máxima $k$ para que sea una función de densidad válida.
- b) La probabilidad de que un joven tarde entre 15 y 20 minutos en desconectar.
- c) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde exactamente 22 minutos?
Se considera la función de probabilidad continua definida por tramos de una variable aleatoria $X$, que representa el tiempo (en horas) que un grupo de adolescentes…
Se considera la función de probabilidad continua definida por tramos de una variable aleatoria $X$, que representa el tiempo (en horas) que un grupo de adolescentes dedica al estudio de matemáticas en un fin de semana:
$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k(4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$
- a) Determina razonadamente el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad.
- b) Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar estudie entre 1,5 y 3 horas.
- c) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie exactamente 2 horas? Justifica tu respuesta basándote en la naturaleza de la variable.
Un valor exacto no tiene área: $P[X=a]=0$
Primer vistazo: la curva de Gauss
La densidad continua más importante en la práctica es la llamada distribución normal, cuya gráfica es la campana de Gauss. Aparece una y otra vez al medir estaturas, tiempos de reacción, puntuaciones de un test o pesos de un mismo producto: la mayoría de valores se agrupan cerca del centro y cada vez hay menos al alejarse.
Dos números bastan para describirla del todo: la media $\mu$ (dónde está el centro) y la desviación típica $\sigma$ (lo estrecha o ancha que es la campana). Calcular probabilidades exactas con ella —tipificar, usar tablas— es el contenido del siguiente apartado; aquí basta con reconocer su forma: simétrica, con un único máximo en $\mu$, y con área total $1$ como cualquier función de densidad.