Exercicis: Paràmetres estadístics d'una N

Un ajuntament ha analitzat el temps que triguen els autobusos de la línia circular a completar el seu recorregut. Han comprovat que aquest temps segueix una distribució normal amb una mitjana de $25$ minuts i una desviació típica de $4$ minuts. Identifica els paràmetres estadístics d'aquesta distribució i escriu-la utilitzant la notació matemàtica abreujada $X \sim N(\mu, \sigma)$.

Observa la gràfica següent que representa la distribució dels pesos dels gatets acabats de néixer en una protectora d'animals. Sabent que la distribució és simètrica, indica visualment quin és el valor de la mitjana poblacional $\mu$.

Dues marques de bombetes, "LuzEterna" i "BrilloMax", tenen una durada mitjana de $1200$ hores. Tanmateix, la desviació típica de "LuzEterna" és de $50$ hores, mentre que la de "BrilloMax" és de $150$ hores.

• Quina de les dues marques ofereix un producte més "homogeni" o regular en la seva durada?

• Si haguessis de dibuixar totes dues campanes de Gauss en el mateix eix, quina de les dues seria més alta i estreta?

En l'examen de Selectivitat de Geografia, les notes han seguit una distribució $N(6,5; 1,2)$, mentre que en Història han seguit una $N(7,2; 1,2)$.

• Quin paràmetre és idèntic en totes dues assignatures?

• Explica què significa aquest paràmetre en el context de la "dispersió" de les notes dels alumnes.

La distribució Normal Estàndard és un cas especial molt utilitzat en estadística per poder usar les taules d'àrees. Indica quins són els valors fixos de la seva mitjana ($\mu$) i la seva desviació típica ($\sigma$). Representa-la simbólicament.

A continuació es mostren dues corbes de distribució normal que representen el temps de càrrega de dos models de telèfons intel·ligents diferents. Totes dues tenen la mateixa desviació típica. Quin dels dos models (A o B) té una mitjana poblacional $\mu$ més gran? Justifica la teva resposta basant-te en la posició de les corbes a l'eix.

Un nutricionista afirma que el consum de sucre diari dels adolescents d'una ciutat segueix una distribució normal. Si denotem aquesta variable com a $X \sim N(45, 8)$, on els valors estan en grams:

• Quin és el valor esperat del consum de sucre per a un adolescent triat a l'atzar?

• Quin paràmetre indica si les dades estan molt agrupades a prop d'aquest valor o molt disperses?

Imagina que estàs comparant la precisió de dues màquines que tallen llistons de fusta. La Màquina 1 talla amb una distribució $N(100; 0,1)$ i la Màquina 2 amb una distribució $N(100; 0,5)$ (en centímetres).

• Quina de les dues màquines és més precisa?

• Relaciona el concepte de "precisió" amb el valor de la desviació típica $\sigma$ en una distribució normal.

La Lucía analitza la despesa mensual en electricitat de les llars del seu municipi, la qual segueix una distribució normal $X \sim N(60, 12)$ en euros. Per a l'any vinent, la companyia elèctrica anuncia una actualització de tarifes que transforma linealment el cost mensual segons la fórmula $Y = 1,05 \cdot X + 8$ (un increment del $5\%$ en el consum més $8$ € fixos de manteniment).\n\nLa Lucía afirma en el seu informe: «Com que a cada rebut se'l multiplica per $1,05$ i se li sumen $8$ €, els dos paràmetres canvien de la mateixa manera, per la qual cosa la nova distribució serà $Y \sim N(1,05 \cdot 60 + 8,\ 1,05 \cdot 12 + 8) = N(71,\ 20,6)$».\n\na) Identifica l'error conceptual comès per la Lucía i explica, des del punt de vista de la dispersió de les dades, per què sumar una quantitat fixa no altera la desviació típica.\nb) Corregeix el càlcul i escriu la distribució normal correcta que segueix la variable $Y$.

A partir de sèries climàtiques de l'AEMET, es modelitza la temperatura màxima diària durant el mes de maig a dues ciutats peninsulars mitjançant sengles distribucions normals: a la ciutat costanera A segueix $X_A \sim N(21, 2)$ en °C, mentre que a la ciutat interior B segueix $X_B \sim N(21, 5)$ en °C.\n\na) Interpreta el significat dels paràmetres $\mu$ i $\sigma$ a totes dues ciutats: a quina d'elles el clima és més regular o predictible al maig? Relaciona la teva resposta amb l'amplada i l'alçada de les seves respectives campanes de Gauss.\nb) Si una associació vol organitzar una cursa popular i necessita que la temperatura no superi els $25$ °C per evitar cops de calor, a quina de les dues ciutats hi ha més probabilitat de superar aquest límit? Raona la teva resposta comparant a quantes desviacions típiques queda el valor $25$ °C de la mitjana a cada ciutat, sense necessitat de consultar taules.

En un videojoc d'estratègia popular, els punts d'experiència obtinguts pels jugadors en una missió específica segueixen una distribució normal de mitjana $\mu = 4500$ punts i desviació típica $\sigma = 800$ punts. Si els desenvolupadors volen atorgar una medalla especial només al $15\%$ dels jugadors que aconsegueixin les puntuacions més altes, a partir de quants punts es començarà a lliurar aquesta medalla?

El temps de càrrega completa d'un nou model de patinet elèctric segueix una distribució normal $N(240, 20)$, on el temps es mesura en minuts.

Un adolescent afirma que el seu patinet triga habitualment menys de $215$ minuts a carregar-se.

1. a) Calcula la probabilitat que un patinet triat a l'atzar trigui menys d'aquests $215$ minuts.
2. b) Si el fabricant millora la bateria i la nova distribució passa a ser $N(230, 15)$, ha augmentat o ha disminuït la probabilitat que trigui menys de $215$ minuts? Justifica la teva resposta calculant la nova probabilitat.

S'ha realitzat un estudi sobre el temps que els joves d'entre $16$ i $18$ anys passen diàriament en una coneguda xarxa social de vídeos curts. Es sap que aquest temps segueix una distribució normal de mitjana $\mu = 110$ minuts. Si es coneix que el $33\%$ dels usuaris passa més de $125$ minuts al dia a la plataforma, calcula el valor de la desviació típica $\sigma$ d'aquesta distribució.

El pes de les motxilles dels alumnes d'un institut segueix una distribució normal de mitjana $\mu = 6,2$ kg i desviació típica $\sigma = 1,4$ kg. Determina l'interval característic centrat en la mitjana que comprengui el $90\%$ dels pesos de les motxilles dels estudiants. Interpreta el resultat obtingut en el context del problema.

Les qualificacions obtingudes en un simulacre d'examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials segueixen una distribució normal $X \sim N(5,8; 1,2)$. Sense utilitzar la taula de la normal per a aquest apartat, i basant-te en les propietats de simetria de la campana de Gauss, si sabem que $P(X \leq k) = 0,72$, calcula raonadament:

1. a) $P(X > k)$
2. b) $P(X \leq 5,8)$
3. c) $P(5,8 - (k - 5,8) \leq X \leq k)$

Una empresa de missatgeria ràpida garanteix que el temps de lliurament dels seus paquets en una ciutat segueix una distribució normal amb una desviació típica de $12$ minuts. Després d'analitzar milers d'enviaments, s'observa que només el $2,5\%$ dels paquets triga més de $75$ minuts a ser lliurat. A partir d'aquesta informació, calcula el temps mitjà ($\mu$) de lliurament de l'empresa.

Es presenten a continuació dues gràfiques que representen la distribució de la durada de dos tipus de bombetes LED de diferents marques, A i B. Totes dues segueixen una distribució normal.

1. a) Observant la forma de les corbes, quina de les dues marques té una desviació típica més gran? Raona la teva resposta relacionant la dispersió amb la forma de la campana.
2. b) Si la marca A té una distribució $N(25000, 2000)$ i la marca B una $N(28000, 3500)$, calcula la probabilitat que una bombeta de la marca A duri més que la durada mitjana de la marca B.

En una estació d'esquí, el gruix de la neu durant el mes de gener segueix una distribució normal de mitjana $85$ cm i desviació típica $18$ cm.

1. a) Quina és la probabilitat que un dia de gener el gruix sigui superior a $100$ cm?
2. b) Si per poder obrir una pista negra es requereix un gruix mínim de $x$ cm, i se sap que aquesta pista està oberta el $70\%$ dels dies de gener, quin és aquest gruix mínim $x$?

Una cooperativa d'oli d'oliva envasa garrafes el volum de les quals en mil·lilitres segueix una distribució normal $X \sim N(\mu, 15)$. La normativa d'etiquetatge exigeix garantir que almenys el $95\%$ de les garrafes contingui $1000$ ml o més (és a dir, $P(X \ge 1000) = 0,95$, o equivalentment, $P(X < 1000) = 0,05$).\n\na) Estima: Abans d'operar, raona si la mitjana $\mu$ a la qual s'ha de calibrar la màquina ha de ser més gran, igual o més petita que $1000$ ml. Sabent que en qualsevol normal l'interval $(\mu - \sigma,\ \mu + \sigma)$ concentra el $68,26\%$ de la producció i $(\mu - 2\sigma,\ \mu + 2\sigma)$ el $95,44\%$, estima entre quins valors aproximats s'hauria de situar $\mu$.\nb) Comprova: Calcula amb precisió el valor que ha de tenir $\mu$ sabent que en una normal estàndard $Z \sim N(0,1)$ es verifica $P(Z \le 1,645) = 0,95$ (i per simetria, $P(Z \le -1,645) = 0,05$). Compara el resultat amb la teva estimació prèvia i valora si és coherent amb el marge de seguretat de la cooperativa.

El temps de lliurament (en minuts) dels repartiments en hora punta d'una empresa de logística segueix una distribució $X \sim N(40, 6)$. La direcció estableix un índex de cost operatiu per retard definit per la transformació lineal $Y = 1,5 \cdot X - 30$ (en euros). Es vol calcular la probabilitat que el cost d'un repartiment superi els $45$ €.\n\nDos membres de l'equip proposen estratègies diferents:\n- Mètode 1: Determinar primer els paràmetres de la nova variable $Y$ aplicant la transformació lineal $Y \sim N(a\mu+b,\ a\sigma)$ i tipificar després directament el valor $45$ sobre la distribució d'$Y$.\n- Mètode 2: Aïllar a partir de la袍inequació $1,5 \cdot X - 30 > 45$ quin temps de lliurament en la variable original $X$ equival a aquest cost, i tipificar aquest valor sobre $X \sim N(40, 6)$.\n\na) Aplica tots dos mètodes detallant els passos intermedis i comprova que tots dos condueixen exactament al mateix valor de $Z$ tipificat. Calcula aquesta probabilitat sabent que $P(Z \le 1,67) = 0,9525$.\nb) Discuteix raonadament quin dels dos mètodes resultaria més avantatjós i eficient si l'empresa necessités calcular no només aquesta probabilitat, sinó també els percentils $10$, $50$ i $90$ del cost $Y$.

L'algorisme d'una coneguda xarxa social analitza el temps de permanència dels usuaris mirant "reels". S'ha comprovat que aquest temps segueix una distribució normal $X \sim N(\mu, \sigma)$. Els analistes de dades han determinat que només el $15,87\%$ dels usuaris passa més de $45$ minuts al dia, mentre que el $2,28\%$ en passa menys de $10$ minuts. Calcula de manera raonada el temps mitjà de permanència ($\mu$) i la desviació típica ($\sigma$) del comportament dels usuaris en aquesta xarxa social.

Una empresa de missatgeria sostenible utilitza patinets elèctrics per als seus repartiments. L'autonomia de les bateries d'aquests patinets segueix una distribució normal amb una mitjana de $60$ km. Es sap que la probabilitat que un patinet tingui una autonomia superior a $75$ km és de $0,0668$. A causa d'una actualització del programari, l'autonomia de tots els patinets augmenta un $10\%$ més un extra fix de $2$ km. Determina la desviació típica original de les bateries i els nous paràmetres (mitjana i desviació típica) després de l'actualització del programari.

En un campionat d'e-sports, la puntuació obtinguda pels jugadors en una fase classificatòria segueix una distribució normal $N(\mu, \sigma)$. El comitè organitzador ha establert que l'interval característic centrat en la mitjana per al $95,44\%$ dels jugadors és $[1250, 1750]$ punts.

1. Calcula la mitjana i la variància de la puntuació dels jugadors.

2. Si per passar a la final es requereix estar en el "top" $5\%$ dels millors jugadors, quina és la puntuació mínima necessària?

Un fabricant de components per a telescopis espacials produeix lents el diàmetre de les quals segueix una distribució normal. Pel control de qualitat, es sap que la mitjana és de $120$ mm. Perquè una lent sigui acceptada, el seu diàmetre ha d'estar en el rang $[118, 122]$ mm. Si el fabricant desitja que el $99,73\%$ de la seva producció sigui acceptable per evitar pèrdues econòmiques, quin ha de ser el valor màxim de la desviació típica del procés de fabricació?

La petjada de carboni anual (en tones de $CO_2$) de les llars d'una ciutat europea segueix una distribució normal. S'ha observat que el $33\%$ de les llars emet menys de $4,5$ tones i el $33\%$ de les llars emet més de $6,2$ tones.

1. Justifica si la distribució és simètrica i calcula la petjada de carboni mitjana de la ciutat.

2. Determina la desviació típica de la petjada de carboni d'aquestes llars.

El temps que triga un estudiant a completar un examen de Selectivitat de Matemàtiques segueix una distribució normal. Es sap que el temps mitjà és de $70$ minuts. Si la probabilitat que un estudiant acabi l'examen en menys de $60$ minuts és la mateixa que la probabilitat que trigui més de $k$ minuts, i es coneix que la variància de la distribució és $25$, determina el valor de $k$ utilitzant les propietats dels paràmetres de la normal.

Un estudi sobre el son en adolescents indica que el nombre d'hores diàries de descans segueix una distribució normal. Si el valor de la variància és numèricament igual a la mitjana, i es sap que la probabilitat de dormir més de $10,36$ hores és de només el $0,0228$, calcula el valor de la mitjana ($\mu$) i de la desviació típica ($\sigma$). (Nota: Hauràs de resoldre una equació de segon grau per a $\sqrt{\mu}$).

Dues plataformes de transmissió en continu (streaming) de música, "SoundCloud" i "Melody", competeixen pel temps d'ús diari dels seus subscriptors joves.

• A "SoundCloud", el temps segueix una $N(45, 10)$.

• A "Melody", el temps segueix una $N(40, 15)$.

Si un usuari es considera "altament actiu" quan supera els $65$ minuts diaris d'escolta:

1. En quina plataforma és més probable trobar un usuari "altament actiu"?

2. Quin valor hauria de tenir la desviació típica de "Melody" perquè, mantenint la seva mitjana en $40$, el percentatge d'usuaris "altament actius" fos exactament el mateix que a "SoundCloud"?

En un estudi sobre el salari mensual dels acabats de graduar en Ciències Socials a Espanya, s'assumeix que la retribució segueix una distribució normal $X \sim N(\mu, \sigma)$. Després de processar la informació de dues enquestes d'inserció laboral mitjançant tipificació, l'equip investigador planteja el següent sistema d'equacions lineals per calcular els paràmetres de la distribució:\n$$\begin{cases} \mu - 1,28 \cdot \sigma = 1100 \\ \mu + 0,84 \cdot \sigma = 1600 \end{cases}$$\n\na) Problema invers (reconstrucció): Interpreta i dedueix quines dues dades probabilístiques o percentuals sobre els salaris d'$1100$ € i $1600$ € van originar aquest sistema. Recolza't en el fet que en una normal estàndard $Z \sim N(0,1)$ es compleix $P(Z \le 1,28) = 0,90$ i $P(Z \le 0,84) = 0,80$.\nb) Resol el sistema per trobar el salari mitjà $\mu$ i la desviació típica $\sigma$ del col·lectiu.\nc) Si el Ministeri de Treball considerés un llindar salarial d'$1300$ € i es comprovés que el $25\%$ dels graduats percep un salari inferior a aquesta xifra, escriu l'equació lineal en funció de $\mu$ i $\sigma$ que modelitzaria aquesta nova dada. (Dada de la normal estàndard: $P(Z \le 0,67) = 0,7486 \approx 0,75$).

El temps d'espera (en dies) per a una intervenció quirúrgica programada en un servei de salut autonòmic segueix una distribució normal $X \sim N(90, 20)$. La llei de garanties estableix un termini màxim de $120$ dies; si el pacient espera més d'aquest temps, l'administració l'ha de derivar a un centre privat concertat amb el consegüent sobrecost públic.\n\na) Modela la situació actual calculant el percentatge de pacients que han de ser derivats per superar els $120$ dies. (Dada: $P(Z \le 1,5) = 0,9332$).\nb) La gerència hospitalària disposa de pressupost per aplicar només una de les dues mesures següents:\n- Pla A: Contractar reforços a quiròfan per reduir la mitjana en $10$ dies, mantenint la mateixa dispersió organitzativa ($X_A \sim N(80, 20)$).\n- Pla B: Estandarditzar els protocols de citació i preparació preoperatòria per reduir la desviació típica a la meitat, mantenint la mitjana ($X_B \sim N(90, 10)$).\nCalcula el nou percentatge de derivacions que s'obtindria amb cadascun dels plans. (Dades: $P(Z \le 2) = 0,9772$; $P(Z \le 3) = 0,9987$).\nc) Justifica matemàticament per què reduir la desviació típica (Pla B) resulta molt més eficaç per contenir el percentatge de derivacions que reduir la mitjana (Pla A), analitzant la rapidesa amb què decauen les probabilitats a la cua d'una campana de Gauss en allunyar-se de la mitjana en unitats de $\sigma$.