Área bajo una curva
¿Cuál es el área de la región que queda entre la curva $f(x)=e^x$, el eje $OX$ y las rectas $x=0$ y $x=1$? No hay ninguna fórmula geométrica para esa forma curva. La integral definida nace exactamente para resolver este tipo de problema: aproximar el área con rectángulos y, en el límite, calcularla con una primitiva.
Aproximar el área con rectángulos
La idea de la integral definida es dividir la región en franjas muy estrechas y sumar sus áreas. Cuando la función es constante, ni siquiera hace falta ese límite: el área es exacta desde el primer "rectángulo".
Halla el área del recinto limitado por la función constante $f(x) = 4$, el eje $OX$ y las rectas $x = -1$ y $x = 2$. Razona el resultado gráficamente calculando el área…
Halla el área del recinto limitado por la función constante $f(x) = 4$, el eje $OX$ y las rectas $x = -1$ y $x = 2$. Razona el resultado gráficamente calculando el área del rectángulo resultante sin usar integrales.
Área bajo la curva con la regla de Barrow
El procedimiento habitual: si $f(x)\geq0$ en todo $[a,b]$, el área es directamente la integral definida calculada con Barrow.
Un atleta está entrenando para una maratón. Su velocidad en un tramo de 5 minutos es constante y viene dada por la función $v(t) = 12$ km/h, donde $t$ es el tiempo en…
Un atleta está entrenando para una maratón. Su velocidad en un tramo de 5 minutos es constante y viene dada por la función $v(t) = 12$ km/h, donde $t$ es el tiempo en horas. Utiliza la integral definida para calcular la distancia recorrida (el área bajo la curva de velocidad) entre los instantes $t = 0$ y $t = 0,25$ horas. Comprueba el resultado utilizando la fórmula geométrica del área de un rectángulo.
Calcula el área de la región plana limitada por la parábola $f(x) = x^2 + 2$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. Al ser la función siempre positiva en…
Calcula el área de la región plana limitada por la parábola $f(x) = x^2 + 2$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. Al ser la función siempre positiva en ese intervalo, plantea directamente la integral definida según la Regla de Barrow.
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 + 2x$, halla el área limitada por su gráfica y el eje $OX$ en el intervalo $[1, 2]$. Comprueba que, en dicho intervalo, la…
Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 + 2x$, halla el área limitada por su gráfica y el eje $OX$ en el intervalo $[1, 2]$. Comprueba que, en dicho intervalo, la función no corta al eje $OX$ (es decir, siempre es positiva), lo que facilita el cálculo directo.
El signo de la integral: partir en tramos
Si $f$ cambia de signo dentro de $[a,b]$, la integral sobre todo el intervalo mezcla partes positivas y negativas y no da el área real: hay que localizar dónde se anula $f$ y trocear.
Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas. Ten en cuenta que la función puede tomar valores positivos y negativos, por lo…
Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas. Ten en cuenta que la función puede tomar valores positivos y negativos, por lo que deberás calcular el área de cada región por separado y sumarlas en valor absoluto.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$ Calcula el área de la región…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0, 3]$.
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 4|$, el eje de abscisas y las rectas $x = -1$ y $x = 3$. Consejo: Identifica los intervalos donde la…
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 4|$, el eje de abscisas y las rectas $x = -1$ y $x = 3$.
Consejo: Identifica los intervalos donde la expresión dentro del valor absoluto cambia de signo y divide la integral definida en la suma de varias integrales según corresponda.
Aplicaciones: ingresos, parámetros y magnitudes acumuladas
Área bajo una curva e "importe total acumulado" son, en el fondo, la misma cuenta cuando la función representa un ritmo (ingreso marginal, consumo, ahorro).
El departamento de marketing de una nueva App de música ha determinado que el ingreso marginal por cada mil suscriptores nuevos es $I'(x) = 10 - x$ (en cientos de…
El departamento de marketing de una nueva App de música ha determinado que el ingreso marginal por cada mil suscriptores nuevos es $I'(x) = 10 - x$ (en cientos de euros), donde $x$ es el número de miles de suscriptores. Calcula el beneficio total acumulado (área bajo la curva) cuando el número de suscriptores pasa de $x = 1$ a $x = 4$ mil.
Halla el valor de un parámetro positivo $k$ para que el área del recinto limitado por la función $f(x) = kx^2$, el eje $OX$ y la recta vertical $x=3$ sea igual a 18…
Halla el valor de un parámetro positivo $k$ para que el área del recinto limitado por la función $f(x) = kx^2$, el eje $OX$ y la recta vertical $x=3$ sea igual a 18 unidades cuadradas.
La función de ingresos marginales de una cooperativa agrícola viene dada por $I'(x) = 100 - 0,2x^2$ (en euros por unidad vendida), donde $x$ representa el número de…
La función de ingresos marginales de una cooperativa agrícola viene dada por $I'(x) = 100 - 0,2x^2$ (en euros por unidad vendida), donde $x$ representa el número de toneladas de producto.
- a) Calcula la función de ingresos totales $I(x)$ sabiendo que para una venta nula los ingresos son cero.
- b) Determina el área encerrada por la curva $I'(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo donde el ingreso marginal es positivo. Explica el significado económico de este valor.