Exercicis: Àrea sota una corba

Un atleta està entrenant per a una marató. La seva velocitat en un tram de 15 minuts és constant i ve donada per la funció $v(t) = 12$ km/h, on $t$ és el temps en hores. Utilitza la integral definida per calcular la distància recorreguda (l'àrea sota la corba de velocitat) entre els instants $t = 0$ i $t = 0,25$ hores. Comprova el resultat utilitzant la fórmula geomètrica de l'àrea d'un rectangle.

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics ha comprovat que el ritme de consum d'energia d'un dels seus models segueix la funció $f(x) = 2x + 1$, on $x$ representa els quilòmetres recorreguts. Calcula l'àrea enclosa per la gràfica de $f(x)$, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 3$. A quina figura geomètrica correspon aquesta regió?

Calcula l'àrea de la regió plana limitada per la paràbola $f(x) = x^2 + 2$, l'eix d'abscisses i les rectes $x = 0$ i $x = 2$. Com que la funció és sempre positiva en aquest interval, planteja directament la integral definida segons la regla de Barrow.

El departament de màrqueting d'una nova aplicació de música ha determinat que l'ingrés marginal per cada mil subscriptors nous és $I'(x) = 10 - x$ (en centenars d'euros), on $x$ és el nombre de milers de subscriptors. Calcula el benefici total acumulat (àrea sota la corba) quan el nombre de subscriptors passa de $x = 1$ a $x = 4$ mil.

Troba l'àrea del recinte limitat per la funció constant $f(x) = 4$, l'eix $OX$ i les rectes $x = -1$ i $x = 2$. Raona el resultat gràficament calculant l'àrea del rectangle resultant sense fer servir integrals.

Calcula l'àrea del recinte ombrejat en la figura següent, sabent que la corba correspon a la funció $f(x) = \sqrt{x}$ i està limitada per l'eix $OX$ i la recta vertical $x = 4$.

Donada la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 + 2x$, troba l'àrea limitada per la seva gràfica i l'eix $OX$ en l'interval $[1, 2]$. Comprova que, en aquest interval, la funció no talli l'eix $OX$ (és a dir, sempre és positiva), la qual cosa facilita el càlcul directe.

Un dissenyador gràfic està creant un logotip que inclou una forma delimitada per la funció $f(x) = e^x$. Calcula l'àrea de la part del logotip que queda entre l'eix $OX$, la mateixa corba i les rectes $x = 0$ i $x = 1$. (Recorda que la integral de $e^x$ és ella mateixa).

En Marcos ha de calcular l'àrea del recinte pla limitat per la corba $f(x) = x^2 - 2x$, l'eix d'abscisses ($OX$) i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 3$. Al seu examen escriu el següent:

«$\text{Àrea} = \int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^3 = \left(\frac{27}{3} - 9\right) - 0 = 0\text{ u}^2$».

En obtenir zero, conclou que la funció no tanca cap superfície amb l'eix en aquest interval.

1. a) Assenyala raonadament l'error conceptual comès per en Marcos i explica per què una integral definida pot donar zero mentre que l'àrea geomètrica compresa és estrictament positiva.
2. b) Corregeix el procediment d'en Marcos: localitza els punts de tall de la funció amb l'eix $OX$, divideix l'interval en les regions corresponents i calcula el valor exacte de l'àrea real.

L'accés a un túnel de ventilació subterrani té un perfil parabòlic modelitzat per la funció $f(x) = 9 - x^2$ (on $x$ i $f(x)$ es mesuren en metres), delimitat inferiorment pel terra horitzontal ($y = 0$). Es vol determinar l'àrea de la secció transversal d'aquest accés.

1. a) Abans d'integrar, fes una estimació raonada de l'àrea acotant-la entre dos valors numèrics: troba l'àrea del rectangle que circumscriu la paràbola (utilitzant els punts de tall amb el terra i l'altura del vèrtex) i l'àrea d'un triangle isòsceles inscrit amb aquesta mateixa base i altura. Justifica per què l'àrea real s'ha de trobar dins d'aquest interval.
2. b) Calcula l'àrea exacta mitjançant la integral definida aplicant la regla de Barrow.
3. c) Comprova si el resultat obtingut confirma la teva estimació prèvia i determina quin percentatge exacte de l'àrea del rectangle circumscrit ocupa la paràbola.

Un dissenyador de pistes de skate vol calcular l'àrea de la secció lateral d'una nova rampa. El perfil de la rampa segueix la corba de la funció $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 1$ en l'interval $[0, 4]$, on $x$ i $y$ es mesuren en metres. Calcula l'àrea de la paret lateral compresa entre la rampa, l'eix d'abscisses ($OX$) i les rectes verticals $x=0$ i $x=4$.

Calcula l'àrea de la regió del pla tancada entre la gràfica de la funció $f(x) = -x^2 + 4x$ i la recta $g(x) = x$. Per fer-ho, identifica primer els punts de tall entre totes dues funcions i fes un esboç del recinte.

Una empresa d'energia solar ha determinat que la taxa d'estalvi mensual (en milers d'euros) que genera un dels seus panells després de la seva instal·lació ve donada per la funció $S(t) = t^2 - 6t + 8$, on $t$ és el temps en mesos.

1. a) Determina en quins mesos l'estalvi és negatiu (hi ha costos de manteniment superiors a l'estalvi).
2. b) Calcula l'estalvi net total (àrea total sobre l'eix menys l'àrea sota l'eix) durant els primers 4 mesos.
3. c) Calcula l'àrea física total compresa entre la gràfica i l'eix $OX$ en l'interval $[0, 4]$.

Troba l'àrea del recinte limitat per la corba $f(x) = x^3 - 4x$ i l'eix d'abscisses. Tingues en compte que la funció pot prendre valors positius i negatius, per la qual cosa hauràs de calcular l'àrea de cada regió per separat i sumar-les en valor absolut.

Es considera la funció marginal de beneficis d'una botiga d'aplicacions per a mòbils $B'(x) = 100 - 2x$, on $x$ és el nombre de subscriptors diaris.

1. a) Calcula la funció de beneficis $B(x)$ sabent que per a 0 subscriptors el benefici és de $-500$ euros (despeses fixes).
2. b) Utilitza la integral definida per calcular l'augment total del benefici quan el nombre de subscriptors passa de 20 a 40.

Troba el valor d'un paràmetre positiu $k$ perquè l'àrea del recinte limitat per la funció $f(x) = kx^2$, l'eix $OX$ i la recta vertical $x=3$ sigui igual a 18 unitats quadrades.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$

Calcula l'àrea de la regió limitada per la gràfica de $f(x)$ i l'eix d'abscisses en l'interval $[0, 3]$.

Calcula l'àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = e^x$ i $g(x) = e^{-x}$ i la recta vertical $x = 1$. Representa gràficament el recinte abans de fer el càlcul.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una explotació agrícola de regadiu a la Regió de Múrcia, una instal·lació solar fotovoltaica proveeix les bombes d'aigua. En un dia clar d'estiu, la potència elèctrica instantània subministrada es modelitza mitjançant la funció $P(t) = -2(t - 14)^2 + 50$, on $t$ representa l'hora solar del dia ($t \in [9, 19]$) i $P(t)$ la potència en quilowatts ($\text{kW}$). L'energia total acumulada (en $\text{kWh}$) coincideix amb l'àrea sota la corba de potència.

1. a) Interpreta el significat físic i temporal de les coordenades del vèrtex de la paràbola en el context de l'explotació.
2. b) Planteja i calcula la integral definida que proporciona l'energia total acumulada durant les hores centrals del dia, entre les $11:00$ i les $17:00$ hores ($t = 11$ i $t = 17$).
3. c) Si el cost de l'electricitat procedent de la xarxa en aquest horari punta és de $0,18$ € per cada $\text{kWh}$, calcula l'estalvi econòmic total generat pel bombament solar en aquest interval de sis hores.

Un arquitecte dissenya el perfil lateral d'una graderia descoberta per a un auditori municipal. L'estructura està delimitada pel terra ($eix\ OX$) i la corba $f(x) = k \cdot (6x - x^2)$ en l'interval $[0, 6]$, on $x$ i $y$ estan en metres i $k > 0$ és una constant d'altura que s'ha de determinar.

1. a) Planteja l'equació integral que representa l'àrea lateral sota la corba en funció de $k$ i obtén el valor exacte d'aquest paràmetre perquè la secció ocupi exactament $72\text{ m}^2$.
2. b) Amb el valor de $k$ trobat, es preveu cobrir amb una lona impermeable la primera meitat de l'auditori (una àrea de $36\text{ m}^2$), des de $x = 0$ fins a una línia vertical $x = c$. Sense necessitat de plantejar cap integral addicional, dedueix i justifica el valor de $c$ utilitzant les propietats de simetria de la paràbola.
3. c) Si la lona hagués de cobrir únicament una quarta part de l'àrea total ($18\text{ m}^2$) des de $x = 0$ fins a $x = c_1$, planteja l'equació polinòmica que hauria de satisfer $c_1$ i raona, sense resoldre-la, per què aquesta solució ha de complir estrictament $0 < c_1 < 3$.

S'està dissenyant un nou logotip per a una empresa de tecnologia financera. La base del disseny està delimitada per les gràfiques de les funcions $f(x) = -x^2 + 6x$ i $g(x) = 2x$, que es mostren a la figura.

1. a) Determina els punts d'intersecció de totes dues funcions.
2. b) Calcula l'àrea de la regió tancada per totes dues gràfiques, que representarà la zona principal del logotip.
3. c) Si es decideix afegir una línia vertical $x = k$ (amb $0 < k < 4$) que divideixi aquesta regió en dues àrees exactament iguals, planteja l'equació integral que permetria trobar el valor de $k$.

Una plataforma de streaming ha analitzat que el ritme de creixement de nous subscriptors diaris (en milers) segueix la funció $f(t) = t \cdot e^{-t/4}$, on $t$ és el temps en dies des del llançament d'una sèrie d'èxit.

Calcula el nombre total de subscriptors acumulats durant els primers 8 dies. Per fer-ho, hauràs de trobar l'àrea sota la corba $f(t)$ en l'interval $[0, 8]$. Nota: Utilitza la integració per parts.

Considera la funció racional $f(x) = \frac{2x + 5}{x + 1}$ definida per a $x > -1$.

1. a) Troba l'àrea de la regió limitada per la gràfica de $f(x)$, l'eix $OX$ i les rectes verticals $x = 0$ i $x = 3$.
2. b) Determina l'equació de la recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 0$.
3. c) Calcula l'àrea del triangle format per aquesta recta tangent, l'eix $OX$ i l'eix $OY$, i compara-la amb l'àrea obtinguda en l'apartat (a).

Un arquitecte vol dissenyar un finestral amb una forma parabòlica invertida donada per la funció $f(x) = 4 - x^2$. Per donar-li estabilitat, s'hi col·locarà un travesser horitzontal seguint la recta $y = a$ (amb $0 \le a < 4$).

Troba el valor de la constant $a$ perquè l'àrea de la regió del finestral que queda per sobre del travesser sigui exactament de $\frac{9}{2}$ unitats de superfície.

La funció d'ingressos marginals d'una cooperativa agrícola ve donada per $I'(x) = 100 - 0,2x^2$ (en euros per unitat venuda), on $x$ representa el nombre de tones de producte.

1. a) Calcula la funció d'ingressos totals $I(x)$ sabent que per a una venda nul·la els ingressos són zero.
2. b) Determina l'àrea tancada per la corba $I'(x)$ i l'eix d'abscisses en l'interval on l'ingrés marginal és positiu. Explica el significat econòmic d'aquest valor.

Troba l'àrea del recinte limitat per la funció $f(x) = |x^2 - 4|$, l'eix d'abscisses i les rectes $x = -1$ i $x = 3$.

Consell: Identifica els intervals on l'expressió de dins del valor absolut canvia de signe i divideix la integral definida en la suma de diverses integrals segons correspongui.

Donada la paràbola $f(x) = x^2 - 4x + 3$, la gràfica de la qual es mostra a continuació:

1. a) Troba l'equació de la recta tangent a la paràbola en el punt on aquesta talla l'eix $OY$.

1. b) Calcula l'àrea de la regió finita limitada per la paràbola, la recta tangent trobada a l'apartat a) i l'eix d'abscisses $OX$.

Calcula l'àrea de la regió del primer quadrant delimitada per la funció $f(x) = \ln(x)$, l'eix d'ordenades $OY$, l'eix d'abscisses $OX$ i la recta horitzontal $y = 2$.

Nota: Pot ser útil calcular l'àrea integrant respecte de l'eix Y o, alternativament, restant àrees de rectangles coneguts.

Es vol calcular l'àrea del recinte pla situat en el primer quadrant que està limitat simultàniament per la corba $y = x^2$, la recta $y = 6 - x$ i l'eix d'abscisses ($y = 0$).

1. a) Analitza i compara les següents tres estratègies possibles per resoldre el problema:

• Estratègia 1: Localitzar la intersecció de les dues funcions, dividir el recinte en dos trams verticals respecte a l'eix $OX$ i sumar dues integrals definides.

• Estratègia 2: Aïllar $x$ en funció de $y$ en totes dues equacions i integrar respecte a l'eix $OY$ mitjançant una única integral definida.

• Estratègia 3: Integrar la paràbola fins al punt de tall amb la recta i sumar l'àrea geomètrica del triangle que forma la recta amb l'eix $OX$, sense integrar la recta.

Justifica quina de les tres estratègies resulta més eficient i amb menor risc d'error algebraic.

1. b) Resol el problema aplicant l'estratègia que hagis seleccionat com a òptima.
2. c) Un estudiant assegura que l'àrea demanada es pot obtenir directament calculant $\int_0^6 ((6 - x) - x^2)\,dx$. Explica amb rigor analític i geomètric quin és el doble error conceptual que conté aquesta proposta i quina regió del pla representaria en realitat aquesta integral.

En sociologia econòmica, la corba de Lorenz $L(x)$ descriu la distribució de la renda d'un país, on $x \in [0, 1]$ representa la proporció acumulada de població ordenada de menor a major ingrés i $L(x) \in [0, 1]$ la proporció acumulada de la renda total que aquesta població percep. La recta $y = x$ representa l'equitat perfecta. L'índex de Gini, que mesura la desigualtat, es defineix mitjançant l'expressió $G = 2 \cdot \int_0^1 (x - L(x))\,dx$, de manera que $G \in [0, 1]$ (on $0$ és igualtat absoluta i $1$ desigualtat extrema).

Un estudi de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) modelitza la renda d'una comarca abans d'impostos mitjançant la corba $L(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^3$.

1. a) Comprova analíticament que la funció satisfà les condicions de contorn de tota corba de Lorenz ($L(0) = 0$ i $L(1) = 1$) i calcula l'índex de Gini inicial de la comarca.
2. b) Per combatre la bretxa social, l'administració aplica una reforma fiscal amb transferències directes, i projecta que la nova corba de Lorenz adopti la forma potencial $L_k(x) = x^k$ amb $k > 1$. Planteja l'equació integral corresponent i determina el valor exacte del paràmetre $k$ necessari perquè l'índex de Gini es redueixi a $0,25$.
3. c) Interpreta què passaria amb l'àrea compresa entre la corba i la recta d'equitat si el paràmetre $k$ s'aproximés progressivament a $1$, i raona quina implicació econòmica tindria aquest comportament en el repartiment de la riquesa.