Intervalos de confianza
Ningún estudio pregunta a toda la población: una encuesta, un control de calidad o un sondeo trabajan siempre con una muestra. La inferencia estadística es el puente que va de ese dato muestral a una afirmación sobre toda la población, con un margen de error explícito y un nivel de confianza que dice cuánto te puedes fiar de ese margen.
La media muestral como variable aleatoria
Un analista de redes sociales quiere estudiar el tiempo diario que pasan los adolescentes españoles de entre 15 y 18 años en TikTok*. Para ello, selecciona al azar a 400…
Un analista de redes sociales quiere estudiar el tiempo diario que pasan los adolescentes españoles de entre 15 y 18 años en TikTok. Para ello, selecciona al azar a 400 usuarios de esta franja de edad en todo el país y registra sus tiempos de conexión.
Identifica de forma clara los siguientes elementos del estudio estadístico:
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La población objeto de estudio.
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La muestra seleccionada.
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El tamaño muestral.
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El estadístico que se calcularía para resumir la información de la muestra.
Se sabe que el tiempo de espera en la fila de una popular atracción de un parque temático sigue una distribución normal con una media de $\mu = 45$ minutos y una…
Se sabe que el tiempo de espera en la fila de una popular atracción de un parque temático sigue una distribución normal con una media de $\mu = 45$ minutos y una desviación típica de $\sigma = 12$ minutos.
Si elegimos una muestra aleatoria de $n = 36$ visitantes que han pasado por la atracción:
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¿Cuál es la distribución que sigue la media muestral $\bar{X}$? Indica su media y su desviación típica (error estándar).
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Calcula la probabilidad de que el tiempo medio de espera de esa muestra sea superior a $48$ minutos.
Intervalo de confianza para una media
En inferencia estadística, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ es fundamental para determinar la amplitud de un intervalo de confianza. Utilizando la tabla de la…
En inferencia estadística, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ es fundamental para determinar la amplitud de un intervalo de confianza. Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, obtén los valores críticos correspondientes a los siguientes niveles de confianza:
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Un nivel de confianza del $90\%$.
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Un nivel de confianza del $95\%$.
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Un nivel de confianza del $99\%$.
Una empresa de mensajería está estudiando el peso de los paquetes que entrega en una ciudad. Se supone que la población sigue una distribución normal con una desviación…
Una empresa de mensajería está estudiando el peso de los paquetes que entrega en una ciudad. Se supone que la población sigue una distribución normal con una desviación típica de $\sigma = 0,8$ kg. Se toma una muestra aleatoria de $n = 64$ paquetes y se obtiene una media muestral de $\bar{x} = 4,2$ kg.
Calcula un intervalo de confianza para el peso medio de todos los paquetes entregados por la empresa, utilizando un nivel de confianza del $95\%$.
Un conocido creador de contenido está analizando el tiempo de permanencia de sus seguidores en sus transmisiones en directo de e-sports. Se sabe que el tiempo de…
Un conocido creador de contenido está analizando el tiempo de permanencia de sus seguidores en sus transmisiones en directo de e-sports. Se sabe que el tiempo de conexión sigue una distribución normal con una desviación típica de $12$ minutos. Tras analizar una muestra aleatoria de $144$ usuarios, se ha obtenido un intervalo de confianza para la media poblacional de $(32,35; 36,25)$.
- a) Determina el valor de la media muestral obtenida y el nivel de confianza utilizado para construir dicho intervalo.
- b) Si el streamer desea reducir la amplitud de este intervalo a la cuarta parte manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra?
- c) Explica, sin realizar cálculos adicionales, qué ocurriría con la precisión de la estimación si aumentáramos el tamaño de la muestra pero también quisiéramos trabajar con un nivel de confianza superior al calculado en el apartado a).
Intervalo de confianza para una proporción
En un instituto de educación secundaria, se sospecha que el $15\%$ de los alumnos son zurdos. Se selecciona una muestra aleatoria de $n = 100$ alumnos para comprobarlo.…
En un instituto de educación secundaria, se sospecha que el $15\%$ de los alumnos son zurdos. Se selecciona una muestra aleatoria de $n = 100$ alumnos para comprobarlo.
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¿Qué distribución sigue la proporción muestral $\hat{p}$ de alumnos zurdos? Indica su media y su desviación típica.
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Calcula la probabilidad de que en la muestra seleccionada la proporción de alumnos zurdos sea inferior al $18\%$.
Se desea estimar la proporción de hogares de una ciudad que separan los residuos orgánicos para reciclar. Para ello, se encuesta a una muestra aleatoria de $n = 400$…
Se desea estimar la proporción de hogares de una ciudad que separan los residuos orgánicos para reciclar. Para ello, se encuesta a una muestra aleatoria de $n = 400$ hogares, de los cuales $160$ afirman realizar dicha separación.
Determina el intervalo de confianza para la proporción de hogares que reciclan materia orgánica en toda la ciudad, utilizando un nivel de confianza del $90\%$.
En una encuesta realizada a $400$ estudiantes de un instituto sobre el uso de plataformas de streaming, $260$ afirmaron que prefieren ver series antes que películas. a)…
En una encuesta realizada a $400$ estudiantes de un instituto sobre el uso de plataformas de streaming, $260$ afirmaron que prefieren ver series antes que películas.
- a) Halla la estimación puntual de la proporción de alumnos que prefieren las series.
- b) Obtén un intervalo de confianza al $97 \%$ para la proporción real de estudiantes que prefieren las series en ese instituto.
Tamaño de muestra y margen de error
Se quiere realizar una estimación de la proporción de ciudadanos que estarían dispuestos a utilizar el transporte público si este fuera gratuito. En un estudio previo se…
Se quiere realizar una estimación de la proporción de ciudadanos que estarían dispuestos a utilizar el transporte público si este fuera gratuito. En un estudio previo se desconoce la proporción esperada, por lo que se asume el caso de máxima varianza ($p = q = 0,5$).
Determina el tamaño mínimo de la muestra necesario para estimar dicha proporción con un error máximo del $4 \%$ y un nivel de confianza del $95,44 \%$ (que corresponde a un valor crítico $z_{\alpha/2} = 2$).
Una empresa de telefonía móvil quiere estimar la proporción de adolescentes que utilizan el "modo oscuro" en sus dispositivos durante la noche. En una muestra inicial de…
Una empresa de telefonía móvil quiere estimar la proporción de adolescentes que utilizan el "modo oscuro" en sus dispositivos durante la noche. En una muestra inicial de $100$ usuarios, el $60\%$ confirmó usarlo.
- a) Calcula el intervalo de confianza al $98\%$ para la proporción poblacional de usuarios de este modo.
- b) Supongamos que no se tiene ninguna información previa sobre la proporción (situación de máxima incertidumbre). Determina el tamaño de la muestra necesario para que el error máximo admisible sea de $0,02$ con un nivel de confianza del $95\%$.
- c) Si se utiliza la proporción obtenida en la muestra inicial ($0,6$) para el cálculo del tamaño muestral bajo las mismas condiciones del apartado b) (error $0,02$ y confianza $95\%$), ¿cuántos usuarios menos habría que encuestar respecto al caso de máxima incertidumbre?
Relación entre confianza, error y tamaño muestral
El margen de error, el nivel de confianza y el tamaño de muestra están atados entre sí: no se puede mejorar uno sin tocar otro. Subir la confianza (más seguridad) agranda $z_{\alpha/2}$ y, con todo lo demás igual, ensancha el intervalo; la única forma de ganar precisión sin perder confianza es aumentar $n$.
Dos institutos, A y B, miden el tiempo medio que sus alumnos de 2º de Bachillerato dedican a estudiar matemáticas a la semana. En ambos se sabe que la desviación típica…
Dos institutos, A y B, miden el tiempo medio que sus alumnos de 2º de Bachillerato dedican a estudiar matemáticas a la semana. En ambos se sabe que la desviación típica poblacional es de $1,5$ horas.
Se toma una muestra de $100$ alumnos en cada instituto. En el instituto A, el intervalo de confianza obtenido para la media tiene una amplitud de $0,588$ horas. En el instituto B, el intervalo de confianza obtenido para la media es $(6,2; 7,2)$.
- a) Determina el nivel de confianza utilizado en el instituto A.
- b) Determina el nivel de confianza utilizado en el instituto B.
- c) ¿Cuál de los dos centros ha realizado una estimación más precisa? Justifica tu respuesta.
Una marca de ropa "eco-friendly" afirma que el $30 \%$ de sus clientes son menores de $20$ años. Para verificarlo, se toma una muestra aleatoria de $500$ clientes y se…
Una marca de ropa "eco-friendly" afirma que el $30 \%$ de sus clientes son menores de $20$ años. Para verificarlo, se toma una muestra aleatoria de $500$ clientes y se observa que $135$ de ellos tienen menos de $20$ años.
- a) Construye un intervalo de confianza al $99 \%$ para la proporción de clientes menores de $20$ años basándote en los datos de la muestra.
- b) A la vista del resultado, ¿podemos considerar que la afirmación de la marca es coherente con los datos obtenidos con un nivel de confianza del $99 \%$? Explica por qué.
El tiempo de reacción de los pilotos de un simulador de vuelo de última generación sigue una distribución normal con media desconocida y desviación típica de $0,05$…
El tiempo de reacción de los pilotos de un simulador de vuelo de última generación sigue una distribución normal con media desconocida y desviación típica de $0,05$ segundos. Al tomar una muestra de $64$ pilotos, se observa una media de $0,42$ segundos.
- a) Obtén el intervalo de confianza para la media poblacional a un nivel de confianza del $97\%$.
- b) El fabricante del simulador afirma que el tiempo medio de reacción es de $0,40$ segundos. ¿Es esta afirmación compatible con el intervalo obtenido en el apartado anterior? Justifica tu respuesta basándote en la relación entre intervalos de confianza y parámetros poblacionales.
- c) Si se decide duplicar el tamaño de la muestra y reducir el nivel de confianza al $90\%$, ¿cómo afectará esto a la amplitud del intervalo? Calcula el factor de reducción o aumento de la amplitud.
Laboratorio: intervalos, simulación y decisión
Una encuesta ficticia selecciona al azar 400 hogares de una población grande; 160 declaran separar materia orgánica. Supón observaciones independientes. Diseña antes la ficha: población, marco, selección, no respuesta, variable y confianza. Una selección voluntaria por una red social no queda validada por calcular un intervalo estrecho.
from math import sqrt, ceil, comb
from statistics import NormalDist
from random import Random
normal = NormalDist()
n, exitos, confianza = 400, 160, 0.90
p = exitos/n
z = normal.inv_cdf((1+confianza)/2)
E = z*sqrt(p*(1-p)/n)
print('IC proporción:', p-E, p+E)
print('n para error 0.04 al 95%:', ceil(normal.inv_cdf(.975)**2*.25/.04**2))
print('Binomial: exactamente 6 de 10, p=.4:', comb(10,6)*.4**6*.6**4)
print('Normal: P(X<=4.4), mu=4.2, sigma=.8:', NormalDist(4.2,.8).cdf(4.4))
# Simulación del IC de una media con sigma conocida:
rng = Random(2026)
mu, sigma, tamano, repeticiones = 50, 10, 25, 1000
margen = normal.inv_cdf(.975)*sigma/sqrt(tamano)
cubren = 0
for _ in range(repeticiones):
media = sum(rng.gauss(mu,sigma) for _ in range(tamano))/tamano
cubren += media-margen <= mu <= media+margen
print('Fracción de intervalos que cubren mu:', cubren/repeticiones)
Los intervalos cambian de muestra; el parámetro del modelo permanece fijo:
Modifica n y la confianza, manteniendo la misma proporción observada, y compara amplitudes. Distingue error estándar de margen. Para datos cuantitativos, calcula también media y cuasidesviación típica con una hoja: esta última estima σ, pero no convierte automáticamente un intervalo normal en exacto si σ es desconocida. Entrega datos, procedimiento, controles y límites de la decisión.